Inferência estatística: intervalo de confiança

18/10/2024, editado 29/10/2026 •0•0

Entenda o intervalo de confiança: distribuição da média amostral, erro padrão, nível de confiança, como calcular e interpretar, com exercícios.

Escrito porLeon

O que é inferência estatística

Inferir é tirar uma conclusão a partir de indícios. Na inferência estatística, tiramos conclusões sobre uma população inteira a partir dos dados de uma amostra, com a ajuda de modelos de probabilidade.

A inferência estatística faz afirmações sobre uma população usando dados extraídos de uma amostra. Dada uma pergunta sobre essa população, a inferência consiste em, primeiro, escolher um modelo estatístico do processo que gera os dados e, em seguida, deduzir as afirmações a partir desse modelo, sempre acompanhadas de uma medida da incerteza.

Uma das ferramentas mais importantes da inferência estatística é o intervalo de confiança (IC), que fornece uma faixa de valores que provavelmente contém o verdadeiro parâmetro da população, como a média ou a proporção. O intervalo de confiança não apenas estima o parâmetro, mas também expressa a incerteza associada a essa estimativa.

Nesta aula, veremos o conceito de intervalo de confiança, como ele é construído e interpretado, além de suas aplicações.

Quando utilizar o intervalo de confiança

Intervalos de confiança são usados para indicar a precisão de uma estimativa. Por exemplo, um IC pode ser usado para descrever o quanto os resultados de uma pesquisa são precisos. Mantido o mesmo nível de confiança, uma pesquisa que resulta num IC estreito é mais precisa do que uma que resulta num IC largo.

Podemos interpretar o intervalo de confiança como um intervalo que contém os valores "plausíveis" para a média da população. Assim, a amplitude do intervalo está associada à incerteza que temos a respeito do parâmetro.

Vamos entender esse intervalo com um exemplo: qual a média do lançamento de um dado de 6 faces? A média é 3,5; em outras palavras, a população tem média 3,5. Agora, imagine que, lançando um dado 5 vezes, coletamos os seguintes dados:

\[ 1, 6, 3, 2, 1 \]

A média da amostra é 13/5 = 2,6!

Agora, lançamos de novo 5 dados:

\[ 5, 3, 6, 3, 1 \]

Dessa vez, a média da amostra é 18/5 = 3,6!

Cada amostra dá uma média diferente, e nenhuma delas é exatamente 3,5. A pergunta é: como essas médias amostrais se comportam?

Simulações com a média amostral

E se começarmos a guardar o resultado de cada média? Vamos fazer algumas simulações:

Simulações para amostra de tamanho 5

Para 10 grupos de 5 lançamentos de dados (amostra de tamanho 5)

Para 30 grupos de 5 lançamentos de dados (amostra de tamanho 5)

Para 70 grupos de 5 lançamentos de dados (amostra de tamanho 5)

Para 200 grupos de 5 lançamentos de dados (amostra de tamanho 5)

Para 2000 grupos de 5 lançamentos de dados (amostra de tamanho 5)

Depois de uma certa quantidade de grupos, é possível ver uma curva normal surgindo, com as médias espalhadas entre 1 e 6. E se usarmos uma amostra de tamanho 200? Isto é, vamos calcular a média depois de lançar 200 dados; espera-se que ela fique em volta de 3,5, como a média da população. Vamos às simulações:

Simulações para amostra de tamanho 200

Para 10 grupos de 200 lançamentos de dados (amostra de tamanho 200)

Para 70 grupos de 200 lançamentos de dados (amostra de tamanho 200)

Para 200 grupos de 200 lançamentos de dados (amostra de tamanho 200)

Para 2000 grupos de 200 lançamentos de dados (amostra de tamanho 200)

De novo o gráfico é similar a uma normal, mas agora as médias ficam todas entre 3,1 e 4,0!

Conclusões sobre as simulações

Percebem-se dois pontos:

O gráfico é similar à normal. É de novo o teorema central do limite: em experimentos repetidos, a média de uma amostra tende a seguir uma distribuição normal.

A amplitude do primeiro é diferente da amplitude do segundo. Quanto maior a amostra, menor o desvio padrão da média amostral.

Média amostral

Assim, dizemos que a média amostral tem distribuição aproximadamente normal (exatamente normal, se a população for normal). Sua média é a média da população, μ, e sua variância é a variância da população dividida pelo tamanho da amostra:

\[ \text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \]

Ou seja, o desvio padrão da média amostral, chamado erro padrão, é o desvio padrão da população dividido pela raiz do tamanho da amostra, σ/√n. Em resumo:

\[ \bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \]

No dado, o desvio padrão da população é cerca de 1,71. Com amostras de 5 lançamentos, o erro padrão é 1,71/√5 ≈ 0,76; com 200 lançamentos, cai para 1,71/√200 ≈ 0,12, o que explica por que o segundo grupo de histogramas é tão mais estreito.

Uma população tem desvio padrão 12. Qual é o desvio padrão da média de amostras de tamanho 36?

Gabarito: 2 — o erro padrão é σ/√n = 12/√36 = 12/6 = 2. O 0,33 vem de dividir por n em vez de √n, e 12 é o desvio padrão de uma observação isolada, não da média.

O nível de confiança do intervalo para a média

O tamanho do intervalo é definido pela distribuição da média amostral e pelo nível de confiança escolhido. É comum usar 95% de confiança. Isso quer dizer que, se repetíssemos a amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo a cada vez, cerca de 95% desses intervalos conteriam a verdadeira média da população. A média da população é um valor fixo; o que varia de amostra para amostra é o intervalo.

Confiança e significância são complementares: a significância, indicada por α (alfa), é a probabilidade de erro, isto é, de o intervalo não conter o parâmetro. Uma confiança de 95% corresponde a uma significância de 5% (α = 0,05), e em geral confiança = 1 − α.

Procuramos, então, um intervalo que tenha probabilidade 1 − α de abranger a média populacional:

Assim, dado o nível de confiança desejado (90%, 95%, 98%, 99% etc.), procuramos os pontos que delimitam um intervalo com essa confiança. Num intervalo bilateral (bicaudal), que se estende para os dois lados da média, deixamos metade da probabilidade de erro, α/2, em cada cauda, como na figura.

Logo, temos como limite inferior (a):

\[ a = \bar{X} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

E como limite superior (b):

\[ b = \bar{X} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Com esses dois pontos, montamos um intervalo que indica onde a média da população provavelmente se encontra. Os valores de z mais usados são 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,33 (98%) e 2,576 (99%).

Um intervalo de 95% de confiança para a média foi calculado como 48 a 52. Qual é a interpretação correta?

Gabarito: O método usado produz intervalos que contêm a média da população em 95% das amostras — a confiança se refere ao procedimento: a média da população é fixa e cada amostra gera um intervalo diferente. O IC também não descreve onde estão 95% dos dados, e a média da amostra está sempre no centro do intervalo.

Exemplo real

Uma pesquisa de opinião entrevistou 2500 pessoas sobre se votarão ou não no candidato A. Na amostra, 20% dos entrevistados disseram que votarão no candidato A. Como cada resposta é uma variável de Bernoulli, o desvio padrão é √(0,2 × 0,8) = 0,4, ou 40%; com uma amostra tão grande, podemos usar esse valor como desvio padrão populacional. Uma empresa de consultoria quer construir um intervalo de confiança para a proporção de eleitores do candidato A na população total, com 5% de significância, ou 95% de confiança.

Um intervalo bicaudal de 95% de confiança deixa 2,5% de erro à esquerda e 2,5% à direita. Como a média de uma amostra se comporta como uma normal, o z que deixa 2,5% à esquerda é −1,96 e o z que deixa 2,5% à direita é 1,96. Em resumo:

\[ -1,96 < Z < 1,96 \]

Esse intervalo está na normal reduzida. Devemos transformá-lo para a escala do problema, cuja média é 20%:

\[ \text{limite inferior} = 20\% - 1,96 \cdot \frac{40\%}{\sqrt{2500}} = 20\% - 1,57\% = 18,43\% \]

\[ \text{limite superior} = 20\% + 1,96 \cdot \frac{40\%}{\sqrt{2500}} = 20\% + 1,57\% = 21,57\% \]

Com 95% de confiança, a proporção de eleitores do candidato A na população está entre 18,43% e 21,57%.

O que aconteceria se usássemos os mesmos parâmetros, mas com 40% dos entrevistados declarando voto no candidato A?

O desvio padrão também muda, pois depende da proporção: √(0,4 × 0,6) ≈ 0,49, ou 49%.

\[ \text{limite inferior} = 40\% - 1,96 \cdot \frac{49\%}{\sqrt{2500}} = 40\% - 1,92\% = 38,08\% \]

\[ \text{limite superior} = 40\% + 1,96 \cdot \frac{49\%}{\sqrt{2500}} = 40\% + 1,92\% = 41,92\% \]

O que aconteceria se usássemos os mesmos parâmetros do exemplo anterior, mas com significância de 2%?

Significância de 2% significa deixar 1% de erro em cada cauda, o que corresponde a z = 2,33:

\[ \text{limite inferior} = 40\% - 2,33 \cdot \frac{49\%}{\sqrt{2500}} = 40\% - 2,28\% = 37,72\% \]

\[ \text{limite superior} = 40\% + 2,33 \cdot \frac{49\%}{\sqrt{2500}} = 40\% + 2,28\% = 42,28\% \]

Repare que, com mais confiança, o intervalo fica mais largo: para ter mais certeza de capturar o parâmetro, abrimos mão de precisão.

Uma pesquisa com 400 pessoas encontrou 50% de aprovação, com desvio padrão de 50%. Qual é a margem de erro do intervalo de 95% de confiança?

Gabarito: 4,9 pontos percentuais — o erro padrão é 50%/√400 = 50%/20 = 2,5%, e a margem é 1,96 × 2,5% = 4,9%. O 2,5 é só o erro padrão, sem multiplicar por z, e o 9,8 é a largura total do intervalo, não a margem.

Exercícios

1) Uma amostra aleatória de tamanho n = 25 tem média amostral 51,3, e o desvio padrão populacional é σ = 2. Construa o intervalo com 95% de confiança para a média populacional μ.

2) Sabe-se que a vida, em horas, de uma lâmpada de 75 W tem distribuição aproximadamente normal, com desvio padrão σ = 25. Uma amostra aleatória de 20 lâmpadas tem vida média de 1.014 horas. Construa um intervalo de confiança de 95% para a vida média.

3) Qual deve ser o tamanho da amostra para que o intervalo com 99,5% de confiança para a média populacional tenha uma semiamplitude não superior a 1,5? Sabe-se que a variância populacional é 23.

4) Qual deve ser o tamanho de uma amostra, sabendo que o desvio padrão populacional é 10, para que a diferença entre a média amostral e a média da população, em valor absoluto, seja menor que 1, com coeficiente de confiança igual a:

a) 95%

b) 99%

5) Uma variável aleatória X tem distribuição normal com média populacional 100 e desvio padrão populacional 10. Se o tamanho da amostra é de 16 elementos, calcule a probabilidade de a média amostral ficar entre 90 e 110, isto é, P(90 < X̄ < 110).

6) Que tamanho deveria ter a amostra do exercício anterior (média populacional 100 e desvio padrão populacional 10) para que P(90 < X̄ < 110) = 95%?

7) Uma amostra aleatória de 625 donas de casa revela que 70% delas preferem a marca A de detergente; o desvio padrão é √(0,7 × 0,3) ≈ 45,8%. Construa um intervalo de confiança para p = proporção das donas de casa que preferem A, com coeficiente de confiança γ = 90%.

8) Suponha que estejamos interessados em estimar a porcentagem de consumidores de um certo produto. Se uma amostra de tamanho 300 forneceu 100 indivíduos que consomem o produto, determine o intervalo de confiança para a proporção populacional, com coeficiente de confiança de 95%, e interprete o resultado. (O desvio padrão de uma proporção é dado por √(p(1 − p)).)