Assimetria em distribuiçõesDepois de saber onde os dados estão (média, mediana, moda) e o quanto estão espalhados (desvio padrão), a pergunta seguinte é sobre a forma da distribuição: ela é simétrica ou tem uma cauda mais comprida de um dos lados?Quando uma distribuição é simétrica, a média, a mediana e a moda coincidem. Quando é assimétrica à esquerda (negativa), a cauda comprida fica do lado dos valores pequenos e puxa a média para baixo: a média fica menor que a mediana, que fica menor que a moda. Quando é assimétrica à direita (positiva), acontece o contrário: a média é maior que a mediana, que é maior que a moda.Assim, a diferença entre a média e a moda já indica o tipo de assimetria:\[ \bar{x} - Mo = 0 \text{ → assimetria nula ou distribuição simétrica} \]\[ \bar{x} - Mo < 0 \text{ → assimetria negativa ou à esquerda} \]\[ \bar{x} - Mo > 0 \text{ → assimetria positiva ou à direita} \]Exemplos dos três tipos de assimetriaVejamos três distribuições de frequência com as mesmas classes. Em todas, a moda usada é a moda bruta (o ponto médio da classe de maior frequência), a mediana foi calculada por interpolação dentro da classe mediana e s é o desvio padrão amostral.ClassesFrequência2 ⊢ 666 ⊢ 101210 ⊢ 142414 ⊢ 181218 ⊢ 226Temos:\[ \bar{x} = 12 \]\[ Md = 12 \]\[ Mo = 12 \]\[ s = 4,42 \]Como média, mediana e moda são iguais, a distribuição é simétrica.ClassesFrequência2 ⊢ 666 ⊢ 101210 ⊢ 142414 ⊢ 183018 ⊢ 226Temos:\[ \bar{x} = 12,92 \]\[ Md = 13,5 \]\[ Mo = 16 \]\[ s = 4,22 \]Como a média é menor que a moda, a distribuição é assimétrica negativa.ClassesFrequência2 ⊢ 666 ⊢ 103010 ⊢ 142414 ⊢ 181218 ⊢ 226Temos:\[ \bar{x} = 11,08 \]\[ Md = 10,5 \]\[ Mo = 8 \]\[ s = 4,22 \]Como a média é maior que a moda, a distribuição é assimétrica positiva.Uma distribuição tem média 40, mediana 43 e moda 46. Que tipo de assimetria ela apresenta?Gabarito: Assimétrica negativa, porque a média é menor que a moda — x̄ − Mo = 40 − 46 = −6 < 0: a cauda comprida está à esquerda e puxa a média para baixo. A opção tentadora, positiva, confunde a moda grande com cauda à direita; o que importa é a posição da média em relação à moda.Coeficiente de assimetria de PearsonA diferença entre média e moda (ou entre média e mediana) é uma medida absoluta: ela vem na unidade dos dados. Por isso tem a mesma deficiência do desvio padrão sozinho — não permite comparar distribuições diferentes para dizer qual é mais assimétrica.Para comparar, dividimos a diferença pelo desvio padrão, obtendo o coeficiente de assimetria de Pearson (na versão que usa a mediana):\[ As = \frac{3 · (\bar{x} - Md)}{s} \]Dos exemplos anteriores:\[ As_1 = \frac{3 · (12-12)}{4,42} = 0 \]\[ As_2 = \frac{3 · (12,92-13,5)}{4,22} = -0,41 \]\[ As_3 = \frac{3 · (11,08 - 10,5)}{4,22} = 0,41 \]O sinal diz o lado da assimetria e o tamanho diz a intensidade. Uma regra prática comum: |As| menor que 0,15 indica assimetria fraca (quase simétrica); entre 0,15 e 1, assimetria moderada; acima de 1, assimetria forte. Os exemplos 2 e 3 têm assimetria moderada, de mesma intensidade e sentidos opostos — o que faz sentido, já que uma tabela é o espelho da outra.Uma distribuição tem média 60, mediana 57 e desvio padrão 12. Qual é o coeficiente de assimetria de Pearson?Gabarito: 0,75 — As = 3 · (60 − 57) / 12 = 9 / 12 = 0,75, assimetria positiva moderada. Quem esquece o fator 3 chega a 0,25.CurtoseTradicionalmente, a curtose é apresentada como o grau de achatamento de uma distribuição em comparação com a distribuição normal, e é assim que aparece na maioria dos livros e na figura abaixo:Tipo de curtoseNome técnicoCaracterísticasAltaLeptocúrticaCaudas pesadas: além do miolo concentrado, aparecem mais valores extremos do que numa normal. Costuma ter o pico mais alto.NormalMesocúrticaCaudas semelhantes às da curva normal.BaixaPlaticúrticaCaudas leves: os dados se espalham de modo mais uniforme e quase não há valores extremos. Costuma parecer achatada.Exemplos:Notas de uma prova em que quase todos os alunos tiram perto de 7, mas alguns poucos tiram 0 ou 10, bem longe dos demais → leptocúrtica (miolo concentrado e caudas com extremos).Altura de adultos de um mesmo sexo, que tem forma muito próxima da normal → mesocúrtica.Idade dos participantes de um evento em que todas as faixas etárias aparecem com frequência parecida → platicúrtica (próxima de uma distribuição uniforme).Coeficiente de curtose e excesso de curtoseA curtose é quantificada pelo coeficiente do momento de quarta ordem, proposto por Karl Pearson em 1905:\[ K = \frac{ \sum (x_i - \bar{x})^4 }{n · s^4} \]Aqui s é o desvio padrão calculado com divisor n. Como os desvios entram elevados à quarta potência, os valores mais distantes da média pesam muito mais do que os próximos. Por isso esse número está ligado às caudas da distribuição, e não ao formato do pico: uma curtose alta significa desvios extremos (outliers) mais frequentes ou maiores, e não necessariamente um pico mais pontudo. A descrição como "achatamento" é uma simplificação — útil para a intuição, mas imprecisa.Na prática usamos mais o excesso de curtose:\[ \text{Excesso de curtose} = K - 3 \]Se \( K - 3 > 0 \): leptocúrticaSe \( K - 3 = 0 \): mesocúrticaSe \( K - 3 < 0 \): platicúrticaO valor 3 é a curtose da distribuição normal, e por isso serve de padrão para a comparação. Atenção ao ler resultados de programas: muitos (como o Excel e a função kurtosis do scipy) já mostram o excesso de curtose, ou seja, a normal aparece com 0, e não com 3.Um programa informa, para um conjunto de dados, curtose K = 2,1. Como a distribuição se classifica?Gabarito: Platicúrtica, pois K − 3 = −0,9 é negativo — o que se compara com a normal é o excesso K − 3. A opção tentadora, leptocúrtica, olha o sinal de K, que é sempre positivo; só o excesso pode ser negativo.Boxplot (diagrama de caixa) para verificar assimetria e curtoseApresentado por John Tukey em 1970 e popularizado em seu livro Exploratory Data Analysis (1977), o boxplot é uma representação visual que resume a distribuição de um conjunto de dados em cinco medidas: mínimo, primeiro quartil (Q1), mediana, terceiro quartil (Q3) e máximo. Sua simplicidade permite uma análise rápida da dispersão, da assimetria e dos valores atípicos.Boxplot e seus pontos explicadosElementos do boxplot:Caixa: vai de Q1 a Q3 e representa o intervalo interquartil (IQR = Q3 − Q1), que contém os 50% centrais dos dados.Linha da mediana: divide a caixa em duas partes e indica o centro da distribuição.Bigodes (whiskers): vão da caixa até o valor observado mais extremo que ainda esteja dentro das cercas Q1 − 1,5 × IQR e Q3 + 1,5 × IQR. As cercas são limites de referência; o bigode termina num dado real.Valores atípicos (outliers): pontos além das cercas, desenhados um a um.O boxplot é ótimo para avaliar a assimetria porque mostra de imediato a posição da mediana dentro da caixa e o tamanho de cada bigode. Numa distribuição simétrica, a mediana fica aproximadamente no meio da caixa e os dois bigodes têm comprimentos parecidos. Se a mediana estiver mais perto de Q1 e o bigode superior for bem mais comprido que o inferior, a distribuição é assimétrica à direita (positiva). Se a mediana estiver perto de Q3 e o bigode inferior for mais comprido, a assimetria é à esquerda (negativa).Comparações entre distribuições utilizando boxplotO boxplot também dá pistas sobre a curtose, que está ligada ao peso das caudas. Uma caixa estreita (IQR pequeno) acompanhada de muitos outliers dos dois lados indica uma distribuição leptocúrtica: o miolo é concentrado, mas as caudas são pesadas. Já uma caixa larga em relação à amplitude total, com bigodes curtos e nenhum outlier, sugere uma distribuição platicúrtica: os dados estão espalhados de modo uniforme e não há valores muito distantes do centro. É uma leitura aproximada — para quantificar, use o coeficiente de curtose —, mas muito útil na análise exploratória.Montando o boxplot passo a passoVamos usar os seguintes 40 números:1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 391. Coloque os dados em ordemOs dados já estão em ordem crescente.2. Encontre a mediana (Q2)Como temos 40 números (n = 40, par), a mediana é a média dos dois valores centrais:Posições centrais: 20ª e 21ªValores: 19 e 20Mediana (Q2) = (19 + 20) / 2 = 19,53. Encontre o primeiro quartil (Q1)Q1 é a mediana da primeira metade dos dados (os 20 primeiros números):Primeira metade: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19Mediana dos 20 primeiros: média do 10º e do 11º valores, que são 9 e 10Q1 = (9 + 10) / 2 = 9,54. Encontre o terceiro quartil (Q3)Q3 é a mediana da segunda metade dos dados (os 20 últimos números):Segunda metade: 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39Mediana dos 20 últimos: média do 10º e do 11º valores dessa metade, que são 29 e 30Q3 = (29 + 30) / 2 = 29,5Existem outros métodos para calcular quartis, e programas como Excel, R ou numpy podem dar valores um pouco diferentes (por exemplo, 9,75 e 29,25 aqui). Todos são aceitos; o importante é usar o mesmo método do começo ao fim.5. Calcule o intervalo interquartil (IQR)IQR = Q3 − Q1 = 29,5 − 9,5 = 206. Calcule as cercas para identificar outliersCerca inferior = Q1 − 1,5 × IQR = 9,5 − 1,5 × 20 = 9,5 − 30 = −20,5Cerca superior = Q3 + 1,5 × IQR = 29,5 + 1,5 × 20 = 29,5 + 30 = 59,57. Identifique os valores atípicos (outliers)Verificamos se algum valor está abaixo de −20,5 ou acima de 59,5:Menor valor dos dados: 1Maior valor dos dados: 39Não há outliers neste conjunto, pois todos os valores estão dentro do intervalo [−20,5; 59,5].8. Encontre as pontas dos bigodesBigode inferior: menor valor que está dentro da cerca inferior → 1Bigode superior: maior valor que está dentro da cerca superior → 399. Desenhe o boxplotAgora temos todas as medidas:MedidaValorMínimo (ponta do bigode inferior)1Q19,5Mediana (Q2)19,5Q329,5Máximo (ponta do bigode superior)39Num eixo de 0 a 40, desenhe a caixa de 9,5 a 29,5 com uma linha em 19,5, um bigode de 1 a 9,5 e outro de 29,5 a 39. A mediana fica exatamente no meio da caixa (10 unidades de cada lado) e os bigodes têm quase o mesmo tamanho (8,5 e 9,5): a distribuição é praticamente simétrica. Como não há outliers e os dados se espalham de modo quase uniforme, ela também é platicúrtica.Num boxplot, a mediana está bem perto de Q1 e o bigode superior é três vezes mais comprido que o inferior. O que se conclui sobre a distribuição?Gabarito: Assimetria positiva, com cauda à direita — os valores acima da mediana se espalham por uma faixa muito maior que os de baixo, ou seja, a cauda comprida está do lado dos valores altos. A opção negativa seria o caso espelhado: mediana perto de Q3 e bigode inferior longo.Um conjunto tem Q1 = 20 e Q3 = 32. Qual destes valores seria marcado como outlier pelo critério de 1,5 × IQR?Gabarito: 53 — IQR = 32 − 20 = 12 e 1,5 × 12 = 18, então as cercas são 20 − 18 = 2 e 32 + 18 = 50. Só 53 fica fora delas. O 5 parece distante, mas ainda está acima da cerca inferior, 2.Exercícios1) Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de frequência:DistribuiçãoMédiaModaA5252B4550C4846Determine o tipo de assimetria de cada uma delas.2) Uma distribuição de frequência apresenta as seguintes medidas: média = 48,1; mediana = 47,9; e desvio padrão = 2,12. Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson.3) Em uma distribuição de frequência foram encontradas as seguintes medidas: média = 33,18; moda = 27,50; mediana = 31,67; e desvio padrão = 12,25.a) Classifique o tipo de assimetria.b) Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson.4) Uma distribuição tem coeficiente de curtose K = 4,5. Classifique a distribuição (platicúrtica, mesocúrtica ou leptocúrtica).5) Explique com suas palavras o que significa uma distribuição leptocúrtica com assimetria negativa.6) Monte o boxplot para o seguinte conjunto: [12, 14, 19, 22, 23, 25, 27, 29, 31, 34, 35, 37, 39, 42, 44, 45, 48, 51, 53, 56, 59, 61, 63, 66, 67, 68, 71, 74, 77, 78, 79, 82, 85, 86, 88, 91, 93, 95, 97]7) Monte o boxplot para o seguinte conjunto: [−15, 5, 29, 31, 32, 33, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 88, 120, 150]Gabarito1) A: simétrica (média = moda); B: assimétrica negativa (média menor que a moda); C: assimétrica positiva (média maior que a moda).2) As = 3 · (48,1 − 47,9) / 2,12 ≈ 0,28 (assimetria positiva moderada).3) a) Assimétrica positiva (média maior que a mediana, que é maior que a moda). b) As = 3 · (33,18 − 31,67) / 12,25 ≈ 0,37.4) K − 3 = 1,5, positivo: leptocúrtica.5) Resposta pessoal. Exemplo: a maior parte dos dados está concentrada em torno de valores altos, há uma cauda mais longa do lado dos valores baixos e as caudas são pesadas, ou seja, aparecem com alguma frequência valores muito abaixo do centro.6) n = 39. Mediana = 56 (20º valor); Q1 = 34 e Q3 = 78 (medianas das metades de 19 valores, sem a mediana); IQR = 44; cercas −32 e 144; não há outliers; bigodes de 12 a 97. A mediana fica no meio da caixa: distribuição praticamente simétrica.7) n = 39. Mediana = 49; Q1 = 39; Q3 = 60; IQR = 21; cercas 7,5 e 91,5; outliers: −15, 5, 120 e 150; bigodes de 29 a 88. A caixa é estreita e há outliers dos dois lados: caudas pesadas, distribuição leptocúrtica.
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