Medidas de assimetria e de curtose

Quando uma distribuição é simétria, a média e a moda coincidem. sendo a distribuição assimétria à esquerda ou negativa, a média é menor que a moda; e sendo assimétrica à direita ou positiva, a média é maior que a moda.

Assim:

\[ \bar{x} - Mo = 0 \text{--> assimetria nula ou distribuição simétrica} \]

\[ \bar{x} - Mo < 0 \text{--> assimetria negativa ou à esquerda} \]

\[ \bar{x} - Mo > 0 \text{--> assimetria positiva ou à direita} \]

Tipos de assimetria

Quais frequências abaixo são simétricas?

Temos:

\[ \bar{x} = 12 \]

\[ Md = 12 \]

\[ Mo = 12 \]

\[ s = 4,42 \]

Logo, a distribuição é simétrica.

Temos:

\[ \bar{x} = 12,9 \]

\[ Md = 13,5 \]

\[ Mo = 16 \]

\[ s = 4,20 \]

Logo, a distribuição é assimétrica negativa.

Temos:

\[ \bar{x} = 11,1 \]

\[ Md = 10,5 \]

\[ Mo = 8 \]

\[ s = 4,20 \]

Logo, a distribuição é assimétrica positiva.

A medida de assimetria anterior, por ser absoluta, apresenta a mesma deficiência do desvio padrão, isto é, não permite comparações com outras distribuições a fim de discutir se uma é mais assimétrica do que outra.

Para comparações, é utilizado o coeficiente de assimetria de Pearson:

\[ As = \frac{3 · (\bar{x} - Md)}{s} \]

Dos exemplos anteriores:

\[ As_1 = \frac{3 · (12-12)}{4,42} = 0 \]

\[ As_2 = \frac{3 · (12,9-13,5)}{4,20} = -0,429 \]

\[ As_3 = \frac{3 · (11,1 - 10,5)}{4,20} = 0,429 \]

> Denominamos curtose o grau de achatamento em relação a uma distribuição padrão normal.

A curtose indica o quão concentrados os dados estão ao redor da média. Ela nos diz se a curva é mais "pontuda" ou "achatada" em comparação com a normal.

Exemplos:

1. Uma distribuição de notas com muitos alunos com média próxima a 7, mas também muitos com nota 0 ou 10 → Leptocúrtica

2. Uma distribuição de altura com pouca variação entre os indivíduos → Mesocúrtica

3. Uma distribuição de idade onde todas as faixas etárias aparecem com frequência semelhante → Platicúrtica

Coeficiente de Curtose (excesso de curtose)

A curtose pode ser quantificada da seguinte forma:

\[ K = \frac{ \sum (x_i - \bar{x})^4 }{n s^4} \]

A medida padrão da curtose de uma distribuição, originada por Karl Pearson, é uma versão em escala do quarto momento da distribuição. Esse número está relacionado às caudas da distribuição, não ao seu pico; portanto, a caracterização, às vezes vista, da curtose como "pico" é incorreta. Para essa medida, uma curtose mais alta corresponde à maior extremidade dos desvios (ou outliers), e não à configuração dos dados próxima à média.

Mas usamos com mais frequência o excesso de curtose, definido como:

\[ \text{Curtose excessiva} = K - 3 \]

- Se \( K - 3 > 0 \): Leptocúrtica

- Se \( K - 3 = 0 \): Mesocúrtica

- Se \( K - 3 < 0 \): Platicúrtica

O valor 3 representa a curtose da distribuição Normal, logo este é o valor utilizado como padrão para comparação.

1) Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de frequência:

Determine o tipo de assimetria de cada uma delas.

2) Uma distribuição de frequência apresenta as seguintes medidas: média = 48,1; mediana = 47,9; e desvio padrão = 2,12. Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson.

3) Em uma distribuição de frequência foram encontradas as seguintes medidas:

Média = 33,18; moda = 27,50; mediana = 31,67; e desvio padrão = 12,25.

a. Classifique o tipo de assimetria.

b. Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson.

4. Uma distribuição tem Curtose = 4,5. Classifique a distribuição (platicúrtica, mesocúrtica ou leptocúrtica).

5. Explique com suas palavras o que significa uma distribuição leptocúrtica com assimetria negativa.