Medidas de assimetria ou de curtose

Quando uma distribuição é simétria, a média e a moda coincidem. sendo a distribuição assimétria à esquerda ou negativa, a média é menor que a moda; e sendo assimétrica à direita ou positiva, a média é maior que a moda.

Assim:

$$\overline{x}-Mo=0\text{--> assimetria nula ou distribuição simétrica}$$

$$\overline{x}-Mo<0\text{--> assimetria negativa ou à esquerda}$$

$$\overline{x}-Mo>0\text{--> assimetria positiva ou à direita}$$

Tipos de assimetria

Quais frequências abaixo são simétricas?

Temos:

$$\overline{x}=12$$

$$Md=12$$

$$Mo=12$$

$$s=4,42$$

Logo, a distribuição é simétrica.

Temos:

$$\overline{x}=12,9$$

$$Md=13,5$$

$$Mo=16$$

$$s=4,20$$

Logo, a distribuição é assimétrica negativa.

Temos:

$$\overline{x}=11,1$$

$$Md=10,5$$

$$Mo=8$$

$$s=4,20$$

Logo, a distribuição é assimétrica positiva.

A medida de assimetria anterior, por ser absoluta, apresenta a mesma deficiência do desvio padrão, isto é, não permite comparações com outras distribuições a fim de discutir se uma é mais assimétrica do que outra.

Para comparações, é utilizado o coeficiente de assimetria de Pearson:

$$As=\frac{3·(\overline{x}-Md)}{s}$$

Dos exemplos anteriores:

$$A{s}_1=\frac{3·(12-12)}{4,42}=0$$

$$A{s}_2=\frac{3·(12,9-13,5)}{4,20}=-0,429$$

$$A{s}_3=\frac{3·(11,1-10,5)}{4,20}=0,429$$

> Denominamos curtose o grau de achatamento em relação a uma distribuição padrão normal.

Devido à distribuição normal só ser estudada mais tarde, neste momento só será estudado o significado de curtose. Existem três classificações para curtose:

- Leptocúrtica

- Mesocúrtica

- Platicúrtica

1) Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de frequência:

Determine o tipo de assimetria de cada uma delas.

2) Uma distribuição de frequência apresenta as seguintes medidas: média = 48,1; mediana = 47,9; e desvio padrão = 2,12. Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson.

3) Em uma distribuição de frequência foram encontradas as seguintes medidas:

Média = 33,18; moda = 27,50; mediana = 31,67; e desvio padrão = 12,25.

a. Classifique o tipo de assimetria.

b. Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson.