Assimetria em distribuições
Quando uma distribuição é simétria, a média e a moda coincidem. sendo a distribuição assimétria à esquerda ou negativa, a média é menor que a moda; e sendo assimétrica à direita ou positiva, a média é maior que a moda.

Assim:
\[ \bar{x} - Mo = 0 \text{--> assimetria nula ou distribuição simétrica} \]
\[ \bar{x} - Mo < 0 \text{--> assimetria negativa ou à esquerda} \]
\[ \bar{x} - Mo > 0 \text{--> assimetria positiva ou à direita} \]
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Tipos de assimetria
Quais frequências abaixo são simétricas?
classes | Frequência |
---|---|
2-6 | 6 |
6-10 | 12 |
10-14 | 24 |
14-18 | 12 |
18-22 | 6 |
Temos:
\[ \bar{x} = 12 \]
\[ Md = 12 \]
\[ Mo = 12 \]
\[ s = 4,42 \]
Logo, a distribuição é simétrica.
classes | Frequência |
---|---|
2-6 | 6 |
6-10 | 12 |
10-14 | 24 |
14-18 | 30 |
18-22 | 6 |
Temos:
\[ \bar{x} = 12,9 \]
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\[ Md = 13,5 \]
\[ Mo = 16 \]
\[ s = 4,20 \]
Logo, a distribuição é assimétrica negativa.
classes | Frequência |
---|---|
2-6 | 6 |
6-10 | 30 |
10-14 | 24 |
14-18 | 12 |
18-22 | 6 |
Temos:
\[ \bar{x} = 11,1 \]
\[ Md = 10,5 \]
\[ Mo = 8 \]
\[ s = 4,20 \]
Logo, a distribuição é assimétrica positiva.
Coeficiente de assimetria
A medida de assimetria anterior, por ser absoluta, apresenta a mesma deficiência do desvio padrão, isto é, não permite comparações com outras distribuições a fim de discutir se uma é mais assimétrica do que outra.
Para comparações, é utilizado o coeficiente de assimetria de Pearson:
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\[ As = \frac{3 · (\bar{x} - Md)}{s} \]
Dos exemplos anteriores:
\[ As_1 = \frac{3 · (12-12)}{4,42} = 0 \]
\[ As_2 = \frac{3 · (12,9-13,5)}{4,20} = -0,429 \]
\[ As_3 = \frac{3 · (11,1 - 10,5)}{4,20} = 0,429 \]
Curtose
> Denominamos curtose o grau de achatamento em relação a uma distribuição padrão normal.
A curtose indica o quão concentrados os dados estão ao redor da média. Ela nos diz se a curva é mais "pontuda" ou "achatada" em comparação com a normal.
Tipo de curtose | Nome técnico | Características |
---|---|---|
Alta | Leptocúrtica | Pico alto e caudas longas – mais dados concentrados na média, mas muitos valores extremos. |
Normal | Mesocúrtica | Formato semelhante ao da curva normal. |
Baixa | Platicúrtica | Curva achatada – dados mais dispersos, poucos extremos. |
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Exemplos:
1. Uma distribuição de notas com muitos alunos com média próxima a 7, mas também muitos com nota 0 ou 10 → Leptocúrtica
2. Uma distribuição de altura com pouca variação entre os indivíduos → Mesocúrtica
3. Uma distribuição de idade onde todas as faixas etárias aparecem com frequência semelhante → Platicúrtica
Coeficiente de Curtose (excesso de curtose)
A curtose pode ser quantificada da seguinte forma:
\[ K = \frac{ \sum (x_i - \bar{x})^4 }{n s^4} \]
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A medida padrão da curtose de uma distribuição, originada por Karl Pearson, é uma versão em escala do quarto momento da distribuição. Esse número está relacionado às caudas da distribuição, não ao seu pico; portanto, a caracterização, às vezes vista, da curtose como "pico" é incorreta. Para essa medida, uma curtose mais alta corresponde à maior extremidade dos desvios (ou outliers), e não à configuração dos dados próxima à média.
Mas usamos com mais frequência o excesso de curtose, definido como:
\[ \text{Curtose excessiva} = K - 3 \]
- Se \( K - 3 > 0 \): Leptocúrtica
- Se \( K - 3 = 0 \): Mesocúrtica
- Se \( K - 3 < 0 \): Platicúrtica
O valor 3 representa a curtose da distribuição Normal, logo este é o valor utilizado como padrão para comparação.
Exercícios
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1) Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de frequência:
Distribuições | média | Moda |
---|---|---|
A | 52 | 52 |
B | 45 | 50 |
C | 48 | 46 |
Determine o tipo de assimetria de cada uma delas.
2) Uma distribuição de frequência apresenta as seguintes medidas: média = 48,1; mediana = 47,9; e desvio padrão = 2,12. Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson.
3) Em uma distribuição de frequência foram encontradas as seguintes medidas:
Média = 33,18; moda = 27,50; mediana = 31,67; e desvio padrão = 12,25.
a. Classifique o tipo de assimetria.
b. Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson.
4. Uma distribuição tem Curtose = 4,5. Classifique a distribuição (platicúrtica, mesocúrtica ou leptocúrtica).
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5. Explique com suas palavras o que significa uma distribuição leptocúrtica com assimetria negativa.
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