Aplicando a Distribuição de Poisson na vida real

A Distribuição de Poisson é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e são independentes do tempo desde o último evento. É ideal para situações em que eventos raros ocorrem de forma aleatória.

A probabilidade de ocorrerem exatamente $k$ eventos em um intervalo é dada por:

$$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda }\cdot {\lambda }^k}{k!}$$

Onde:

- $\lambda$: Taxa média de ocorrências no intervalo.

- $k$: Número de eventos desejados.

- $e$: Número de Euler (aproximadamente 2,71828).

- $k!$: Fatorial de $k$.

Exemplo 1: Chamadas telefônicas

- Situação: Um call center recebe, em média, 5 chamadas por hora.

- Pergunta: Qual a probabilidade de receber exatamente 3 chamadas em uma hora?

Resolução:

$$\lambda =5,k=3$$

$$P(X=3)=\frac{e^{-5}\cdot 5^3}{3!}=\frac{0,0067\cdot 125}{6}\approx 0,1404(14,04\mathrm{\%})$$

Exemplo 2: Acidentes em uma rodovia

- Situação: Em uma rodovia, ocorrem, em média, 2 acidentes por dia.

- Pergunta: Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 4 acidentes em um dia?

Resolução:

$$\lambda =2,k=4$$

$$P(X=4)=\frac{e^{-2}\cdot 2^4}{4!}=\frac{0,1353\cdot 16}{24}\approx 0,0902(9,02\mathrm{\%})$$

Exemplo 3: Defeitos em uma linha de produção

- Situação: Uma fábrica produz, em média, 1 peça defeituosa a cada 10 horas.

- Pergunta: Qual a probabilidade de encontrar exatamente 2 peças defeituosas em 20 horas?

Resolução:

$$\lambda =2(\text{20 horas}÷\text{10 horas por defeito})$$

$$P(X=2)=\frac{e^{-2}\cdot 2^2}{2!}=\frac{0,1353\cdot 4}{2}\approx 0,2707(27,07\mathrm{\%})$$

A escolha entre usar a Distribuição Binomial e a Distribuição de Poisson depende das características do problema que você está analisando. Ambas são usadas para modelar o número de eventos, mas em contextos diferentes.

Quando usar Distribuição Binomial

A Distribuição Binomial é usada quando:

1. Número fixo de tentativas ($n$): O experimento consiste em um número fixo e conhecido de tentativas.

2. Dois resultados possíveis: Cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.

3. Probabilidade constante ($p$): A probabilidade de sucesso ($p$) é a mesma em cada tentativa.

4. Tentativas independentes: O resultado de uma tentativa não afeta o resultado das outras.

Exemplos de aplicação:

- Jogar uma moeda $n$ vezes e contar o número de caras.

- Testar $n$ produtos e contar quantos estão defeituosos.

- Realizar $n$ tentativas de chute a gol e contar quantos gols são marcados.

Quando usar Distribuição de Poisson

A Distribuição de Poisson é usada quando:

1. Eventos raros: O evento de interesse é raro em relação ao intervalo de tempo ou espaço.

2. Taxa média conhecida ($\lambda$): O número médio de ocorrências ($\lambda$) em um intervalo é conhecido.

3. Eventos independentes: A ocorrência de um evento não afeta a ocorrência de outros.

4. Intervalo contínuo: Os eventos podem ocorrer em qualquer ponto de um intervalo contínuo (tempo, espaço, etc.).

Exemplos de aplicação:

- Número de chamadas recebidas em um call center por hora.

- Número de acidentes em uma rodovia por dia.

- Número de erros de digitação em uma página de texto.

- Número de clientes que chegam a um restaurante por minuto.

1. Chamadas telefônicas:

- Um call center recebe, em média, 4 chamadas por hora. Qual a probabilidade de receber exatamente 6 chamadas em uma hora?

2. Acidentes em uma rodovia:

- Em uma rodovia, ocorrem, em média, 3 acidentes por dia. Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 5 acidentes em um dia?

3. Defeitos em uma linha de produção:

- Uma fábrica produz, em média, 2 peças defeituosas a cada 8 horas. Qual a probabilidade de encontrar exatamente 3 peças defeituosas em 24 horas?

4. Chegadas de clientes:

- Um restaurante recebe, em média, 10 clientes por hora. Qual a probabilidade de receber exatamente 12 clientes em uma hora?

5. E-mails recebidos:

- Um funcionário recebe, em média, 8 e-mails por hora. Qual a probabilidade de receber exatamente 10 e-mails em uma hora?

6. Falhas em um sistema:

- Um sistema falha, em média, 1 vez por dia. Qual a probabilidade de o sistema falhar exatamente 2 vezes em um dia?

7. Nascimentos em um hospital:

- Um hospital registra, em média, 5 nascimentos por dia. Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 7 nascimentos em um dia?

8. Carros passando por um pedágio:

- Um pedágio registra, em média, 20 carros por minuto. Qual a probabilidade de passarem exatamente 25 carros em um minuto?

9. Erros de digitação:

- Um digitador comete, em média, 3 erros por página. Qual a probabilidade de cometer exatamente 5 erros em uma página?

10. Chuva em uma cidade:

- Em uma cidade, chove, em média, 4 dias por mês. Qual a probabilidade de chover exatamente 6 dias em um mês?

1. 10,42%

2. 10,08%

3. 8,92%

4. 9,48%

5. 9,93%

6. 18,39%

7. 10,44%

8. 4,46%

9. 10,08%

10. 10,42%