Distribuição de Poisson
A Distribuição de Poisson é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e são independentes do tempo desde o último evento. É ideal para situações em que eventos raros ocorrem de forma aleatória.
Fórmula da Distribuição de Poisson
A probabilidade de ocorrerem exatamente \( k \) eventos em um intervalo é dada por:
\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!} \]
Onde:
- \( \lambda \): Taxa média de ocorrências no intervalo.
- \( k \): Número de eventos desejados.
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- \( e \): Número de Euler (aproximadamente 2,71828).
- \( k! \): Fatorial de \( k \).
Exemplos da Vida Real
Exemplo 1: Chamadas telefônicas
- Situação: Um call center recebe, em média, 5 chamadas por hora.
- Pergunta: Qual a probabilidade de receber exatamente 3 chamadas em uma hora?
Resolução:\[ \lambda = 5, \quad k = 3 \]
\[ P(X = 3) = \frac{e^{-5} \cdot 5^3}{3!} = \frac{0,0067 \cdot 125}{6} \approx 0,1404 \quad (14,04\%) \]
Exemplo 2: Acidentes em uma rodovia
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- Situação: Em uma rodovia, ocorrem, em média, 2 acidentes por dia.
- Pergunta: Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 4 acidentes em um dia?
Resolução:\[ \lambda = 2, \quad k = 4 \]
\[ P(X = 4) = \frac{e^{-2} \cdot 2^4}{4!} = \frac{0,1353 \cdot 16}{24} \approx 0,0902 \quad (9,02\%) \]
Exemplo 3: Defeitos em uma linha de produção
- Situação: Uma fábrica produz, em média, 1 peça defeituosa a cada 10 horas.
- Pergunta: Qual a probabilidade de encontrar exatamente 2 peças defeituosas em 20 horas?
Resolução:\[ \lambda = 2 \quad (\text{20 horas} \div \text{10 horas por defeito}) \]
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\[ P(X = 2) = \frac{e^{-2} \cdot 2^2}{2!} = \frac{0,1353 \cdot 4}{2} \approx 0,2707 \quad (27,07\%) \]
Quando usar Poisson e quando usar Binomial?
A escolha entre usar a Distribuição Binomial e a Distribuição de Poisson depende das características do problema que você está analisando. Ambas são usadas para modelar o número de eventos, mas em contextos diferentes.
Quando usar Distribuição Binomial
A Distribuição Binomial é usada quando:
1. Número fixo de tentativas (\( n \)): O experimento consiste em um número fixo e conhecido de tentativas.
2. Dois resultados possíveis: Cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.
3. Probabilidade constante (\( p \)): A probabilidade de sucesso (\( p \)) é a mesma em cada tentativa.
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4. Tentativas independentes: O resultado de uma tentativa não afeta o resultado das outras.
Exemplos de aplicação:
- Jogar uma moeda \( n \) vezes e contar o número de caras.
- Testar \( n \) produtos e contar quantos estão defeituosos.
- Realizar \( n \) tentativas de chute a gol e contar quantos gols são marcados.
Quando usar Distribuição de Poisson
A Distribuição de Poisson é usada quando:
1. Eventos raros: O evento de interesse é raro em relação ao intervalo de tempo ou espaço.
2. Taxa média conhecida (\( \lambda \)): O número médio de ocorrências (\( \lambda \)) em um intervalo é conhecido.
3. Eventos independentes: A ocorrência de um evento não afeta a ocorrência de outros.
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4. Intervalo contínuo: Os eventos podem ocorrer em qualquer ponto de um intervalo contínuo (tempo, espaço, etc.).
Exemplos de aplicação:
- Número de chamadas recebidas em um call center por hora.
- Número de acidentes em uma rodovia por dia.
- Número de erros de digitação em uma página de texto.
- Número de clientes que chegam a um restaurante por minuto.
Exercícios
1. Chamadas telefônicas:
- Um call center recebe, em média, 4 chamadas por hora. Qual a probabilidade de receber exatamente 6 chamadas em uma hora?
2. Acidentes em uma rodovia:
- Em uma rodovia, ocorrem, em média, 3 acidentes por dia. Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 5 acidentes em um dia?
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3. Defeitos em uma linha de produção:
- Uma fábrica produz, em média, 2 peças defeituosas a cada 8 horas. Qual a probabilidade de encontrar exatamente 3 peças defeituosas em 24 horas?
4. Chegadas de clientes:
- Um restaurante recebe, em média, 10 clientes por hora. Qual a probabilidade de receber exatamente 12 clientes em uma hora?
5. E-mails recebidos:
- Um funcionário recebe, em média, 8 e-mails por hora. Qual a probabilidade de receber exatamente 10 e-mails em uma hora?
6. Falhas em um sistema:
- Um sistema falha, em média, 1 vez por dia. Qual a probabilidade de o sistema falhar exatamente 2 vezes em um dia?
7. Nascimentos em um hospital:
- Um hospital registra, em média, 5 nascimentos por dia. Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 7 nascimentos em um dia?
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8. Carros passando por um pedágio:
- Um pedágio registra, em média, 20 carros por minuto. Qual a probabilidade de passarem exatamente 25 carros em um minuto?
9. Erros de digitação:
- Um digitador comete, em média, 3 erros por página. Qual a probabilidade de cometer exatamente 5 erros em uma página?
10. Chuva em uma cidade:
- Em uma cidade, chove, em média, 4 dias por mês. Qual a probabilidade de chover exatamente 6 dias em um mês?
Gabarito
1. 10,42%
2. 10,08%
3. 8,92%
4. 9,48%
5. 9,93%
6. 18,39%
7. 10,44%
8. 4,46%
9. 10,08%
10. 10,42%
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