Fenômeno aleatórioÉ aquele que, repetido várias vezes nas mesmas condições, apresenta resultados imprevisíveis.Ex.: ao lançarmos um dado, podemos obter qualquer uma das faces. Não é possível prever qual será.Espaço amostralÉ o conjunto universo de todos os resultados possíveis do fenômeno aleatório. É representado por \(U\).Ex.: no lançamento de um dado, \(U = \{1,2,3,4,5,6\}\).EventoÉ qualquer subconjunto do espaço amostral.Ex.: obter um número par no lançamento de um dado: \(E = \{2,4,6\}\).Complementar do evento EChama-se complementar do evento \(E\) o evento \(\overline{E}\) tal que:\[ \overline{E} = U - E \]Assim, \(\overline{E}\) é o conjunto dos elementos de \(U\) que não pertencem a \(E\). Ex.: se \(E\) = "sair número par" = \(\{2,4,6\}\), então \(\overline{E}\) = "sair número ímpar" = \(\{1,3,5\}\).Evento impossível\[ E = \varnothing \]É o evento que não tem nenhum elemento. Ex.: tirar o número 7 no lançamento de um dado.Evento certo\[ E = U \]É o próprio espaço amostral. Ex.: tirar cara ou coroa no lançamento de uma moeda.Eventos mutuamente exclusivosDois eventos \(A\) e \(B\) são mutuamente exclusivos quando não podem acontecer ao mesmo tempo, isto é, quando não têm elementos em comum:\[ A \cap B = \varnothing \]Ex.: no lançamento de uma moeda, os eventos "sair cara" e "sair coroa" são mutuamente exclusivos — não dá para tirar cara e coroa num único lançamento. Um evento e o seu complementar são sempre mutuamente exclusivos.Probabilidade de que ocorra o evento EÉ a razão entre o número de elementos do conjunto \(E\) e o número de elementos do espaço amostral \(U\):\[ P(E) = \frac{n(E)}{n(U)} = \frac{\text{número de elementos do conjunto E}}{\text{número de elementos do conjunto U}} \]Esta definição só é válida se todos os elementos de \(U\) tiverem a mesma probabilidade de acontecer, isto é, se o espaço amostral for equiprovável.A probabilidade é um número real entre 0 e 1 (0 para o evento impossível, 1 para o evento certo), muitas vezes expresso em porcentagem para facilitar a leitura.ExemplosExemplo 1: qual é a probabilidade de se obter o número 3 no lançamento de um dado?Solução:\[ U = \{1,2,3,4,5,6\} \]\[ E = \{3\} \]Resposta:\[ P(3) = \frac{n(E)}{n(U)} = \frac{1}{6} \]Exemplo 2: qual é a probabilidade de se obter um número par no lançamento de um dado?E = {2,4,6} ---------------→ n(E) = 3U = {1,2,3,4,5,6} -------→ n(U) = 6\[ P(\text{par}) = \frac{n(E)}{n(U)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]Exemplo 3: qual é a probabilidade de se obter cara no lançamento de uma moeda?E = {cara} --------------------→ n(E) = 1U = {cara, coroa} ----------→ n(U) = 2\[ P(\text{cara}) = \frac{n(E)}{n(U)} = \frac{1}{2} \]Exemplo 4: qual é a probabilidade de se obter soma 5 no lançamento de dois dados?E = { (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) } --------→ n(E) = 4U = todos os pares de resultados: 6 × 6 = 36 ----→ n(U) = 36\[ P(\text{soma 5}) = \frac{n(E)}{n(U)} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \]Repare que (1,4) e (4,1) são resultados diferentes: no primeiro, o 1 saiu no primeiro dado; no segundo, no segundo dado.Lançando dois dados, qual é a probabilidade de a soma ser 8?Gabarito: 5/36 — os pares com soma 8 são (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) e (6,2), ou seja, 5 de 36 resultados. O erro mais comum é contar (3,5) e (5,3) como um só e chegar a 3/36 = 1/12.Probabilidade do evento complementarComo \(E\) e \(\overline{E}\) não têm elementos em comum e juntos formam todo o espaço amostral, as probabilidades dos dois somam 1:\[ P(\overline{E}) = 1 - P(E) \]Essa regra é muito útil quando é mais fácil calcular a probabilidade de algo não acontecer.Exemplo 5: qual é a probabilidade de não sair 6 no lançamento de um dado?\[ P(\text{não sair 6}) = 1 - P(6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]Exemplo 6: lançando dois dados, qual é a probabilidade de a soma ser diferente de 5?Pelo Exemplo 4, \(P(\text{soma 5}) = 1/9\). Logo:\[ P(\text{soma diferente de 5}) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]Lançando uma moeda 3 vezes, qual é a probabilidade de sair pelo menos uma cara?Gabarito: 7/8 — o complementar de pelo menos uma cara é nenhuma cara, ou seja, coroa nas 3 vezes, com probabilidade 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8. Então a resposta é 1 − 1/8 = 7/8. O 1/8 é a probabilidade do complementar, não a pedida.Adição de probabilidadesSejam \(A\) e \(B\) dois eventos do espaço amostral \(U\). A probabilidade de que ocorra o evento \(A\) ou o evento \(B\) é dada por:\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]Subtraímos \(P(A \cap B)\) porque os elementos que estão em \(A\) e em \(B\) ao mesmo tempo seriam contados duas vezes.Se os eventos \(A\) e \(B\) forem mutuamente exclusivos (sem interseção), \(P(A \cap B) = 0\), e a fórmula fica:\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]ExemplosExemplo 7: qual é a probabilidade de se obter um 6 ou um número par de pontos no lançamento de um dado?\[ U = \{1,2,3,4,5,6\} \]Evento A: \(\{6\}\), com probabilidade \(\frac{1}{6}\).Evento B: \(\{2,4,6\}\), com probabilidade \(\frac{3}{6}\).\(A \cap B = \{6\}\), com probabilidade \(\frac{1}{6}\).\[ P(A \cup B) = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]Exemplo 8: num grupo de 36 torcedores, 18 são flamenguistas, 10 são vascaínos, 6 são tricolores e 2 são botafoguenses. Escolhendo-se ao acaso um desses torcedores, qual é a probabilidade de ele ser flamenguista ou botafoguense?Cada torcedor torce para um só time, então os eventos são mutuamente exclusivos.\[ P(F) = \frac{18}{36} \qquad P(B) = \frac{2}{36} \]\[ P(F \cup B) = \frac{18}{36} + \frac{2}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9} \]Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual é a probabilidade de ela ser de copas ou uma figura (valete, dama ou rei)?Gabarito: 11/26 — há 13 cartas de copas e 12 figuras, mas 3 figuras são de copas e seriam contadas duas vezes: (13 + 12 − 3)/52 = 22/52 = 11/26. A opção 25/52 esquece de subtrair a interseção, e 1/4 conta só as cartas de copas.Multiplicação de probabilidades e eventos independentesDois eventos \(A\) e \(B\) são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Nesse caso, a probabilidade de que ocorram os dois é o produto das probabilidades:\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]Essa igualdade também serve como teste: se ela vale, os eventos são independentes; se não vale, são dependentes. Não confunda independentes com mutuamente exclusivos: dois eventos mutuamente exclusivos (com probabilidades maiores que zero) nunca são independentes, porque saber que um aconteceu garante que o outro não aconteceu.ExemplosExemplo 9: em dois lançamentos de um dado, qual é a probabilidade de obter número par no primeiro e número ímpar no segundo?\(A\): o resultado do 1º lançamento é par; \(B\): o resultado do 2º lançamento é ímpar. \(A\) e \(B\) são independentes, pois saber que \(A\) ocorreu não altera a probabilidade de \(B\) ocorrer. Temos:\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} \]Exemplo 10: lançando um dado sucessivamente até obter 6, qual é a probabilidade de que sejam necessárias exatamente três tentativas?Para que sejam necessárias três tentativas, a 1ª tentativa não deve dar 6, a 2ª também não e a 3ª sim. Como o resultado de cada lançamento é independente dos demais, a probabilidade pedida é:\[ P(\text{primeiro 6 na 3ª tentativa}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216} \]Exemplo 11: qual é a probabilidade de, lançando um dado duas vezes, obtermos a face 4 nas duas?\[ P(\text{face 4 duas vezes seguidas}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \]Exemplo 12: numa sala há 20 moças: 3 delas são estudiosas, 11 são cariocas e 7 não têm namorado. Supondo que essas três características sejam independentes entre si, qual é a probabilidade de João escolher ao acaso uma moça que seja estudiosa, carioca e sem namorado?\[ P(\text{estudiosa}) = \frac{3}{20} \qquad P(\text{carioca}) = \frac{11}{20} \qquad P(\text{sem namorado}) = \frac{7}{20} \]\[ P(\text{estudiosa, carioca e sem namorado}) = \frac{3}{20} \cdot \frac{11}{20} \cdot \frac{7}{20} = \frac{231}{8000} \approx 2{,}9\% \]A suposição de independência é essencial: sem ela, só conseguiríamos responder sabendo quantas moças têm as três características ao mesmo tempo.Num dado comum, sejam A = sair número par e B = sair número maior que 4. A e B são independentes?Gabarito: Sim, porque P(A e B) = 1/6 = 1/2 × 1/3 — P(A) = 3/6 = 1/2, P(B) = 2/6 = 1/3 e A ∩ B = 6, com probabilidade 1/6, que é exatamente o produto. Ter elemento em comum não impede a independência; o que decide é a igualdade P(A ∩ B) = P(A) · P(B).Exercícios propostosNo lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter:número de pontos par?número de pontos menor ou igual a 4?Qual é a probabilidade de se lançar uma moeda e obter coroa?Qual é a probabilidade de se lançar um dado branco e outro azul e obter:soma dos pontos igual a 7?2 pontos no dado azul?Qual é a probabilidade de lançar duas moedas e obter resultados iguais?Qual é a probabilidade de retirar uma bola de uma urna contendo 5 bolas vermelhas e 1 branca e obter uma bola vermelha?Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair coroa. Calcule a probabilidade de:ocorrer cara no lançamento dessa moeda;ocorrer coroa no lançamento dessa moeda.Um dado é viciado de modo que todos os números pares têm a mesma probabilidade, e todos os números ímpares também têm a mesma probabilidade. Porém, um número par é três vezes mais provável de ocorrer do que um número ímpar. Lançando-se esse dado, qual é a probabilidade de:ocorrer um número primo?ocorrer um múltiplo de 3?ocorrer um número menor ou igual a 3?Qual é a probabilidade de, num baralho de 52 cartas, retirarmos uma carta de ouros ou um rei?Um grupo de 100 universitários é formado por 52 estudantes de engenharia, 27 de medicina, 10 de filosofia e os demais de direito. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, qual é a probabilidade de ele ser estudante de engenharia ou de medicina?Uma urna contém 40 cartões, numerados de 1 a 40. Se retirarmos ao acaso um cartão dessa urna, qual é a probabilidade de o número escrito no cartão ser múltiplo de 4 ou múltiplo de 3?Um dado é viciado de modo que a probabilidade de observarmos um número na face de cima é proporcional a esse número. Calcule a probabilidade de ocorrer número par ou o número 6.No exercício 11, qual é a probabilidade de ocorrer número par ou o número 5?Gabaritoa) 1/2 b) 2/31/2a) 1/6 b) 1/61/25/6a) 2/3 b) 1/3a) 5/12 b) 1/3 c) 5/124/1379/1001/24/717/21
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