Princípio multiplicativo e combinação simples

21/09/2022, editado 29/10/2026 •0•0

Princípio fundamental da contagem, permutação simples e com repetição, arranjo e combinação: quando usar cada um, com exemplos e 28 exercícios com gabarito.

Escrito porLeon

Princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem

“Se um acontecimento pode ser dividido em duas etapas, sendo que a 1ª etapa pode ocorrer de m maneiras diferentes e, para cada uma dessas m maneiras, a 2ª etapa pode ocorrer de n modos distintos, então o número de maneiras de ocorrência do acontecimento é m × n.”

- Princípio fundamental da contagem

O princípio vale para qualquer número de etapas: basta multiplicar o número de possibilidades de cada uma.

Exemplos

De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode entrar e depois sair de um salão que tem 10 portas?

1ª ETAPA: Entrar —————— 10 maneiras

2ª ETAPA: Sair ——————— 10 maneiras

Entrar e sair do salão: 10 × 10 = 100 maneiras.

Há quatro estradas ligando as cidades A e B e três estradas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B?

Fazer a viagem de A a C pode ser considerado uma ação constituída de duas etapas sucessivas:

1ª - ir de A até B: temos quatro possibilidades.

2ª - ir de B a C: para cada uma das possibilidades anteriores, há três maneiras de chegar a C a partir de B.

Assim, pelo princípio fundamental da contagem (P.F.C.), o resultado procurado é 4 × 3 = 12.

Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos distintos podemos formar?

Formar um número de três algarismos pode ser considerado uma ação constituída de três etapas sucessivas:

1ª - escolha do algarismo das centenas: temos seis possibilidades.

2ª - escolha do algarismo das dezenas: como não pode haver repetição, o algarismo tem de ser diferente do escolhido para a centena. Assim, há cinco possibilidades.

3ª - escolha do algarismo das unidades: o algarismo tem de ser diferente dos dois anteriores (centena e dezena). Assim, há apenas quatro possibilidades.

Pelo P.F.C., o resultado procurado é 6 × 5 × 4 = 120 números.

Uma lanchonete oferece 3 tipos de pão, 4 recheios e 2 molhos. Quantos sanduíches diferentes podem ser montados com um pão, um recheio e um molho?

Gabarito: 24 — são três etapas independentes, então multiplicamos: 3 × 4 × 2 = 24. Somar (3 + 4 + 2 = 9) é o erro mais comum: a soma conta quantas opções existem, não quantas combinações.

Permutação simples [1]

Na permutação, todos os elementos de um conjunto são usados, e o que muda entre um agrupamento e outro é a ordem, ou seja, a posição dos elementos.

A quantidade de permutações possíveis de \(n\) elementos distintos é dada por:

\[ P_n = n! \]

\[ P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \]

Isso é o próprio princípio multiplicativo: para a primeira posição há \(n\) escolhas; para a segunda, uma a menos, porque um elemento já foi usado; e assim por diante, até sobrar um único elemento para a última posição. Por isso o número de possibilidades diminui de 1 em 1 e o resultado é um fatorial.

Exemplos

Numa eleição de representante com 3 candidatos (V, C e F), há 6 resultados possíveis para a ordem de classificação (1º, 2º e 3º lugar), pois 3! = 6. Veja a seguir os possíveis resultados dessa eleição.

Resultado 1	Resultado 2	Resultado 3	Resultado 4	Resultado 5	Resultado 6
VCF	VFC	CVF	CFV	FCV	FVC

De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia em fila para uma foto promocional?

\[ P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \]

De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres, começando com um homem e terminando com uma mulher?

Ao começarmos a fila com um homem e terminarmos com uma mulher, temos:

seis possibilidades de homem para a primeira posição;
seis possibilidades de mulher para a última posição;
as 10 pessoas restantes permutadas nas 10 posições do meio: \(10!\).

\[ 6 \cdot 10! \cdot 6 = 6 \cdot 3.628.800 \cdot 6 = 130.636.800 \]

Permutação com repetição

Quando alguns elementos se repetem, trocar de lugar dois elementos iguais não gera um agrupamento novo. Por isso dividimos a permutação simples pelas permutações de cada grupo de elementos repetidos:

\[ P_n^{n_1, n_2, \ldots} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3! \cdot \ldots} \]

\(n\): total de elementos;
\(n_1, n_2, \ldots\): quantas vezes cada elemento se repete.

Exemplos

Quantos anagramas é possível formar com a palavra CASA?

A palavra CASA tem 4 letras (\(n = 4\)), e a letra A aparece duas vezes (\(n_1 = 2\)).

\[ P_4^{2} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12 \]

CASA	ACSA	ASCA	ASAC	SCAA	CSAA
AASC	AACS	CAAS	SAAC	SACA	ACAS

Quantos anagramas podem ser formados com a palavra COPACABANA?

A palavra COPACABANA tem 10 letras, com quatro letras A e duas letras C.

\[ P_{10}^{4,2} = \frac{10!}{4! \cdot 2!} = \frac{3.628.800}{24 \cdot 2} = 75.600 \]

Quantos anagramas tem a palavra BANANA?

Gabarito: 60 — são 6 letras, com A repetido 3 vezes e N repetido 2 vezes: 6!/(3! · 2!) = 720/12 = 60. O 720 seria a resposta se todas as letras fossem diferentes.

Arranjo simples [2]

No arranjo simples, escolhemos \(p\) elementos dentre \(n\) elementos distintos, e a ordem em que eles aparecem faz diferença: mudar os elementos de posição gera um agrupamento diferente.

“Em arranjos, a ordem importa!”

- Regra para lembrar

Para saber a quantidade de arranjos de \(n\) elementos tomados \(p\) a \(p\), usamos a fórmula:

\[ A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!} \]

\(n\): número de elementos disponíveis;
\(p\): número de elementos em cada agrupamento.

Repare que \((n-p)\) é o número de elementos que ficam de fora do agrupamento. Em \(n!\), cada agrupamento aparece repetido uma vez para cada ordem possível dos elementos que ficaram de fora; por isso dividimos pelas \((n-p)!\) permutações deles. Na prática, é o princípio multiplicativo parado depois de \(p\) etapas: \(A_{n,p} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-p+1)\).

Exemplos

Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados a partir dos algarismos 2, 4, 6, 8 e 9?

Temos um conjunto de 5 elementos, do qual escolhemos 2. A ordem é importante neste caso, porque 24 é diferente de 42.

\[ A_{5,2} = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \]

Flávia, Maria, Gustavo e Pedro estão participando de uma competição em que há premiação para os três primeiros colocados (1º, 2º e 3º). Quantas são as possibilidades de premiação?

Quantidade de participantes da competição: \(n = 4\)
Quantidade de pessoas em cada agrupamento (premiação): \(p = 3\)

\[ A_{4,3} = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{1} = 24 \]

Combinação simples

Na combinação simples, escolhemos \(p\) elementos dentre \(n\) elementos distintos, mas a ordem dos elementos escolhidos não importa: mudar a ordem não gera um agrupamento novo, só a troca de algum elemento.

“Em combinações, a ordem dos elementos é irrelevante!”

- Regra para lembrar

A fórmula é:

\[ C_{n,p} = \frac{n!}{p!\,(n-p)!} \]

\(n\): número de elementos disponíveis;
\(p\): número de elementos em cada agrupamento.

Assim como no arranjo, dividimos por \((n-p)!\) por causa dos elementos que ficam de fora. Além disso, como a ordem dos \(p\) elementos escolhidos é irrelevante, cada grupo apareceria repetido \(p!\) vezes (uma para cada ordem), e por isso dividimos também por \(p!\). Em outras palavras:

\[ C_{n,p} = \frac{A_{n,p}}{p!} \]

Exemplos

De quantos modos diferentes posso escolher 2 bolinhas, dentre 10 bolinhas de cores distintas, para colocar em um saquinho?

\(n = 10\)
\(p = 2\)
A ordem em que as bolinhas são colocadas no saquinho não importa.

\[ C_{10,2} = \frac{10!}{2!\,(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \]

João está fazendo a mala para viajar e vai levar duas bermudas. Sabendo que ele tem cinco (azul, preta, branca, marrom e listrada), de quantas formas diferentes ele pode escolher as bermudas?

Temos um conjunto de 5 elementos (bermudas), do qual escolhemos 2, e tanto faz qual bermuda ele escolhe primeiro: o que importa é quais duas vão na mala.

Levar a azul e a preta é a mesma coisa que levar a preta e a azul. Logo, trata-se de combinação:

\[ C_{5,2} = \frac{5!}{2!\,(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \]

Numa turma de 10 alunos, quantas comissões diferentes de 3 alunos podem ser formadas?

Gabarito: 120 — numa comissão não há cargos, então a ordem não importa: C(10,3) = 10!/(3! · 7!) = 720/6 = 120. O 720 é o arranjo A(10,3), que seria a resposta se os três escolhidos ocupassem cargos diferentes (presidente, vice e secretário).

Qual destas situações deve ser resolvida com combinação, e não com arranjo?

Gabarito: Escolher 6 números numa aposta da Mega-Sena — a aposta 05-12-23-34-41-58 é a mesma, em qualquer ordem que os números sejam marcados. Nas outras três situações, trocar a ordem gera um resultado diferente (outra senha, outro pódio, outra chapa).

Exercícios

Para ir ao clube, Júnior deseja usar uma camiseta, uma bermuda e um par de tênis. Sabendo que ele dispõe de seis camisetas, quatro bermudas e três pares de tênis, de quantas maneiras distintas poderá vestir-se?

Uma agência de turismo oferece bilhetes aéreos para o trecho São Paulo – Miami por duas companhias aéreas. O passageiro pode escolher também entre primeira classe, classe executiva e classe econômica. De quantas maneiras um passageiro pode fazer tal escolha?
Um jantar terá três partes: entrada, prato principal e sobremesa. De quantas maneiras distintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cinco pratos principais e quatro sobremesas?
O vagão de um trem possui seis portas. De quantas maneiras distintas um passageiro pode entrar no trem e sair dele por uma porta diferente da que entrou?
Uma prova tem dez testes de múltipla escolha. De quantas maneiras distintas a prova pode ser respondida, se cada teste tem cinco alternativas distintas?
Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 8 e 9:

Quantos números de quatro algarismos podemos formar?
Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar?

Com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6 e 7:

Quantos números de quatro algarismos distintos começam por 3?
Quantos números pares de quatro algarismos distintos podemos formar?

Quantos números de três algarismos distintos existem?
Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números ímpares de quatro algarismos podemos formar (os algarismos podem se repetir)?
Deseja-se formar números divisíveis por 5, compostos de quatro algarismos distintos. Quantas são as possibilidades, dispondo-se dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6? (Sugestão: analise dois casos: quando o número termina em zero e quando termina em 5.)
Um ladrão sabe que o segredo de um cofre é formado por uma sequência de três algarismos distintos. Além disso, ele sabe que o algarismo das centenas é igual a 4. Se, em média, o ladrão leva 3 minutos para testar uma possível sequência, qual é o tempo máximo para o ladrão abrir o cofre?

1. Em determinada cidade, as placas de automóveis são formadas por uma sequência de duas letras distintas e três algarismos. Quantas placas podem ser confeccionadas? (Considere o alfabeto com 26 letras.)
2. Para atender ao aumento do número de veículos, decidiu-se acrescentar um algarismo às placas. Se as regras para a confecção das placas permanecerem as mesmas do item anterior, qual o novo total de placas?
Um estudante está procurando as soluções inteiras da equação 2x = a + b. Sabendo que a ∈ {1, 2, 3, 4, 5} e b ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, de quantas maneiras o estudante poderá escolher a e b para obter soluções inteiras?
Quantos conjuntos de iniciais podem ser formados se todas as pessoas têm só um sobrenome e:
1. exatamente um nome?
2. exatamente dois nomes?
As placas de automóveis no modelo antigo (anterior ao padrão Mercosul) tinham sete símbolos: três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de quatro algarismos.
1. Quantas placas distintas podemos ter sem o algarismo zero na 1ª posição reservada aos algarismos?
2. No conjunto de todas as placas distintas possíveis, qual a porcentagem daquelas que têm as duas primeiras letras iguais?
A escrita braile para cegos é um sistema de símbolos em que cada caractere é formado por uma matriz de seis pontos, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos outros. Qual o número máximo de caracteres distintos que podem ser representados nesse sistema de escrita?
Determine quantos são os números de três algarismos, múltiplos de 5, cujo algarismo das centenas pertence a {1, 2, 3, 4} e os demais algarismos pertencem a {0, 5, 6, 7, 8, 9}.

Determine o número de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra ALEMANHA.
Ao preencher um cartão de loteria com 13 colunas, André optou pelas seguintes marcações: em 4 colunas marcou o número 1, em 6 colunas marcou o número 2 e em 3 colunas marcou o número 3. De quantas maneiras distintas André poderá marcar os cartões?
Em um torneio de futsal, um time obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas nas 15 partidas disputadas. De quantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido?
Em uma prova de 20 questões de verdadeiro ou falso, de quantas maneiras distintas teremos doze respostas V e oito respostas F?
Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Eles serão escolhidos pelo voto individual dos membros do conselho da empresa. Determine de quantas maneiras distintas essa escolha pode ser feita.
Um número de telefone é formado por 8 algarismos. Determine quantos números de telefone podemos formar com algarismos diferentes, que comecem com 2 e terminem com 8.
Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas numeradas de 0 a 9. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio, sem reposição das bolas, cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.
Em uma sala de aula existem 12 alunas, uma delas chamada Carla, e 8 alunos, um deles chamado Luiz. Deseja-se formar comissões de 5 alunas e 4 alunos. Determine o número de comissões em que participam, simultaneamente, Carla e Luiz.

Um time de futebol é composto de 11 jogadores, sendo 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meio-campistas e 2 atacantes. Considerando-se que o técnico dispõe de 3 goleiros, 8 zagueiros, 10 meio-campistas e 6 atacantes, determine o número de maneiras possíveis de formar esse time.
Um pesquisador científico precisa escolher três cobaias num grupo de oito. Determine o número de maneiras pelas quais ele pode fazer a escolha.
No basquete, cada time entra em quadra com cinco jogadores. Um time tem 12 jogadores, dos quais 2 são titulares absolutos. Determine o número de equipes que o técnico poderá formar com os outros jogadores para completar o quinteto, sabendo que eles atuam em qualquer posição.