Distribuição normal e sua história

24/09/2022, editado 29/10/2026 •0•0

Da Bernoulli e da binomial ao teorema central do limite: como surgiu a distribuição normal, de De Moivre a Gauss, e onde ela aparece.

Escrito porLeon

Introdução

Nas aulas anteriores, estudamos as variáveis aleatórias discretas, que se adaptam muito bem a uma série de problemas práticos. Para algumas dessas distribuições existem tabelas e gráficos que facilitam o cálculo das probabilidades e a comunicação dos seus parâmetros. Nesta aula, partimos de três modelos discretos (uniforme, Bernoulli e binomial) para chegar à distribuição mais importante da estatística: a distribuição normal, e contamos como ela surgiu.

Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas

Distribuição uniforme discreta

É o caso mais simples de variável aleatória: cada um dos k valores possíveis ocorre com a mesma probabilidade.

\[ P(X = x_i) = p(x_i) = p = \frac{1}{k}\]

Como exemplo, qual a probabilidade de cada número ao lançar um dado?

Número no dado	Probabilidade
1	1/6
2	1/6
3	1/6
4	1/6
5	1/6
6	1/6

Ou, graficamente:

probabilidade do dado

Distribuição de Bernoulli

A distribuição de Bernoulli, assim chamada em homenagem ao matemático suíço Jakob Bernoulli, descreve um experimento com apenas dois resultados: o resultado apresenta ou não uma determinada característica. Exemplos:

uma moeda é lançada: o resultado é cara ou não (ocorrendo, então, coroa);
um dado é lançado: ocorre a face 5 ou não (ocorrendo, então, uma das outras faces);
uma peça é escolhida ao acaso de um lote com 500 peças: ela é defeituosa ou não;
uma pessoa escolhida ao acaso entre 1.000 é ou não do sexo masculino;
uma pessoa é escolhida ao acaso entre os moradores de uma cidade e verifica-se se ela é favorável ou não a um projeto municipal.

Em cada experimento há um sucesso (valor 1) ou um fracasso (valor 0).

Chamamos de p a probabilidade de sucesso. Assim:

\[ p(1) = P(X = 1) = p \]

\[ p(0) = P(X = 0) = 1 - p \]

Ou seja, se a probabilidade de sucesso é p, a probabilidade de fracasso é 1 − p.

A média (esperança) de uma variável de Bernoulli é a própria probabilidade de sucesso:

\[ E(X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p \]

E a variância é a média dos quadrados dos desvios em relação a essa média:

\[ Var(X) = (1 - p)^2 \cdot p + (0 - p)^2 \cdot (1 - p) = p(1 - p)\left[(1 - p) + p\right] = p(1 - p) \]

A notação para uma variável de Bernoulli é:

\[ X \sim Ber(p) \]

Distribuição binomial

Ao repetir o ensaio de Bernoulli n vezes (ou, o que dá no mesmo, ao obter uma amostra de tamanho n de uma distribuição de Bernoulli), o resultado é uma sequência de sucessos e fracassos. Se as repetições forem independentes, isto é, se o resultado de um ensaio não interferir no de outro, o número de sucessos segue a distribuição binomial. Em resumo, ela exige as seguintes características:

O experimento é repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n).
As repetições são independentes: o resultado de uma não afeta o das seguintes.
Em cada repetição aparece um de dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.
Ao longo do experimento, a probabilidade p de sucesso e a probabilidade q = 1 − p de fracasso permanecem constantes.

Situações com essas características:

uma moeda é lançada três vezes; qual é a probabilidade de se obterem duas caras?
um dado é lançado cinco vezes; qual é a probabilidade de se obter a face 5 no máximo três vezes?
dez peças são extraídas ao acaso, com reposição, de um lote com 500 peças; qual é a probabilidade de que todas sejam defeituosas, sabendo-se que 10% das peças do lote são defeituosas?
cinco pessoas são escolhidas ao acaso entre 1.000; qual é a probabilidade de que duas sejam do sexo masculino?
sabe-se que 90% das pessoas de uma cidade são favoráveis a um projeto municipal; escolhendo-se 100 moradores ao acaso, qual é a probabilidade de que pelo menos 80 sejam favoráveis?

Nos dois últimos casos, as extrações são feitas sem reposição, mas de um conjunto muito grande, e por isso podemos supor que sejam praticamente independentes. Se o conjunto fosse pequeno, o modelo adequado seria outro: a distribuição hipergeométrica.

Uma característica interessante dessas situações é que interessa apenas o número total de sucessos, e não a ordem em que eles ocorrem. Numa amostra de tamanho n, uma sequência específica com k sucessos tem:

\[ \text{probabilidade dos } k \text{ sucessos: } p^{k} \]

\[ \text{probabilidade dos } n - k \text{ fracassos: } (1 - p)^{n - k} \]

\[ \text{probabilidade da sequência: } p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \]

Resta saber quantas sequências com k sucessos podemos formar. Por combinação simples, existem:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Consequentemente:

\[ \text{probabilidade de } k \text{ sucessos: } P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \]

Com a notação:

\[ X \sim B(n, p) \]

Exemplos

Exemplo 1: uma moeda é lançada três vezes; qual é a probabilidade de se obterem duas caras?

Pela fórmula, com q = 1 − p, obtemos a tabela:

Nº de sucessos	Probabilidade	p = 1/2
0	q³	1/8
1	3pq²	3/8
2	3p²q	3/8
3	p³	1/8

A probabilidade de obter duas caras é, portanto, 3/8 = 37,5%.

Probabilidade moeda com 3 amostras

Exemplo 2: dez peças são extraídas ao acaso de um lote. Monte a tabela de probabilidade do número de peças defeituosas se 50% das peças do lote são defeituosas.

Pela fórmula, obtemos a tabela:

Nº de sucessos	Probabilidade	p = 50%
0	q¹⁰	0,10%
1	10pq⁹	0,98%
2	45p²q⁸	4,39%
3	120p³q⁷	11,72%
4	210p⁴q⁶	20,51%
5	252p⁵q⁵	24,61%
6	210p⁶q⁴	20,51%
7	120p⁷q³	11,72%
8	45p⁸q²	4,39%
9	10p⁹q	0,98%
10	p¹⁰	0,10%

Probabilidade moeda com 10 amostras

Exemplo 3: 200 peças são extraídas ao acaso de um lote. Monte o gráfico de probabilidade do número de peças defeituosas se 50% das peças do lote são defeituosas.

Probabilidade moeda com 200 amostras

Percebe-se que, quanto maior o número de repetições, mais a distribuição ganha uma forma de sino, simétrica em torno da média (np = 100).

Uma moeda honesta é lançada 4 vezes. Qual é a probabilidade de saírem exatamente 2 caras?

Gabarito: 37,5% — há C(4,2) = 6 sequências com duas caras, cada uma com probabilidade (1/2)^4 = 1/16; logo 6/16 = 0,375. O 50% é a armadilha de pensar que 'metade das vezes' é o resultado mais provável com certeza: ele é o mais provável, mas não tem 50% de chance.

Uma variável de Bernoulli tem probabilidade de sucesso p = 0,3. Qual é a sua variância?

Gabarito: 0,21 — a variância de Bernoulli é p(1 − p) = 0,3 × 0,7 = 0,21. O 0,09 é p², que é só parte da conta, e 0,3 é a média, não a variância.

Teorema central do limite

Esse comportamento não é coincidência: foi ele que levou a estatística ao seguinte teorema.

“Quando o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral da sua média aproxima-se cada vez mais de uma distribuição normal.”

- Teorema Central do Limite

O número de sucessos de uma binomial é a soma de n variáveis de Bernoulli independentes; por isso, para n grande, a binomial se aproxima da normal, como vimos nos gráficos. Mas, afinal, o que é uma distribuição normal? Antes de responder, precisamos entender como funcionam as variáveis contínuas.

Modelos probabilísticos para variáveis contínuas

Quando trabalhamos com variáveis contínuas, há infinitos valores possíveis. Por exemplo, a altura de um ser humano pode ser 1,6 m, ou 1,61, ou 1,612, ou 1,6125, ou 1,61256, e assim por diante.

Por isso, a probabilidade de uma variável contínua assumir exatamente um valor específico é sempre zero: há infinitos valores possíveis disputando uma probabilidade total igual a 1, e um único ponto não tem "largura" para acumular probabilidade.

\[ P(X = x) = 0 \text{ para qualquer valor específico } x \]

Para trabalhar com variáveis contínuas, consideramos então intervalos. Assim, se quisermos estudar a probabilidade de o ponteiro dos minutos de um relógio estar entre o minuto 2 e o minuto 3:

\[ P(2 \leq X < 3) = \frac{1}{60} \]

Dividindo o intervalo [0, 60[ em pequenos subintervalos, podemos construir um histograma das probabilidades da variável aleatória X. A ideia central é: a probabilidade de um intervalo é igual à área sob a curva nesse intervalo.

Probabilidade de cada intervalo de minuto

A curva que descreve como a probabilidade se distribui ao longo dos valores é chamada função densidade de probabilidade (f.d.p.) da variável aleatória X. A área total sob ela é sempre igual a 1.

Por exemplo, considere a seguinte f.d.p., da qual queremos calcular a probabilidade de x estar entre 0 e 0,5:

\[ f(x) = 2x \text{, para } 0 \leq x \leq 1 \]

Probabilidade de cada X

A área é a do triângulo formado entre x = 0 e x = 0,5, cuja altura é f(0,5) = 1:

\[ P(0 \leq X \leq 0,5) = \frac{0,5 \cdot 1}{2} = \frac{1}{4} = 25\% \]

Repare que o eixo vertical do gráfico não é uma probabilidade, e sim uma densidade: ele chega a 2, mas a probabilidade só aparece como área.

Com a densidade f(x) = 2x, para 0 ≤ x ≤ 1, qual é P(0,5 ≤ X ≤ 1)?

Gabarito: 75% — a área total sob a densidade é 1 e a parte de 0 a 0,5 vale 25%, então sobram 1 − 0,25 = 0,75 (ou, pelo trapézio, (1 + 2)/2 × 0,5 = 0,75). O 50% é o erro de achar que metade do intervalo tem metade da probabilidade: isso só vale para a densidade constante.

O modelo gaussiano, ou normal

A distribuição normal apareceu pela primeira vez em 1733, num trabalho de Abraham de Moivre, como aproximação para as probabilidades da binomial quando o número de repetições é grande, exatamente o fenômeno que vimos nos gráficos acima. Por volta de 1809, Carl Friedrich Gauss a usou como modelo para os erros de observações astronômicas, daí o nome distribuição gaussiana. Logo depois, em 1810, Pierre-Simon Laplace demonstrou uma primeira versão do teorema central do limite, explicando por que essa curva aparece com tanta frequência.

Em termos mais formais, a distribuição normal é uma distribuição de probabilidade contínua determinada por dois parâmetros: a esperança matemática (média, μ) e o desvio padrão (σ). Por isso, há infinitas distribuições normais, uma para cada par de parâmetros:

Distribuição normal

A distribuição normal com média zero e desvio padrão um é chamada de distribuição normal padrão, ou normal reduzida.

Como diz o teorema central do limite, tudo o que pode ser visto como a soma de um grande número de pequenas parcelas aleatórias independentes tende a uma distribuição normal. O teorema vale para variáveis independentes e identicamente distribuídas com variância finita, qualquer que seja a distribuição de origem. Por exemplo, a média de muitas variáveis tende à normal:

se as variáveis seguem a distribuição de Bernoulli;
se as variáveis seguem a distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade;
se as variáveis seguem a distribuição exponencial.

A exceção são as distribuições sem variância finita, como a distribuição de Cauchy: nelas, a média de muitas observações não se aproxima da normal. Para dados que não são normais, também existem transformações (como o logaritmo) que os aproximam da normalidade.

Para qual destas distribuições o teorema central do limite NÃO garante que a média de muitas observações independentes se aproxime da normal?

Gabarito: Cauchy — o teorema exige variância finita, e a distribuição de Cauchy não tem nem média nem variância definidas. A exponencial e a qui-quadrado são assimétricas, mas têm variância finita, então a média delas tende à normal.

Onde a gaussiana aparece

Balística: no século XIX, para melhorar a precisão da artilharia, disparavam-se muitos tiros de canhão, e observou-se que os desvios de direção e de alcance se distribuíam de forma semelhante à normal.
Quociente de inteligência: as notas de QI são construídas para seguir uma normal, com média 100 e desvio padrão 15.
Anatomia humana: tamanho da orelha, altura (separando homens e mulheres) etc.
Anatomia animal: tamanho de um ovo, por exemplo.
Economia e finanças: os retornos diários de ativos e commodities são frequentemente modelados pela normal como primeira aproximação, embora na prática tenham caudas mais pesadas (os preços em si não são normais).
Sinais e medições físicas: o ruído térmico que se soma a um sinal transmitido por um cabo elétrico e os erros de medição de instrumentos seguem aproximadamente a normal.

A distribuição normal é encontrada em todos os lugares inclusive na sua academia local

Critérios para verificar a normalidade

O critério mais simples consiste em traçar um histograma dos dados e verificar visualmente se ele tem forma de sino, simétrica em relação ao centro. Esse critério é subjetivo: serve para descartar distribuições claramente não gaussianas, mas não para confirmar a normalidade. Critérios mais rigorosos incluem:

o gráfico Q-Q (quantil-quantil), em que dados normais ficam aproximadamente sobre uma reta;
as medidas de assimetria e curtose, que na normal valem 0 e 3 (curtose em excesso igual a 0);
a proporção de dados nas faixas da normal: cerca de 68% a até 1 desvio padrão da média, 95% a até 2 e 99,7% a até 3;
testes estatísticos de normalidade, como Shapiro-Wilk, Anderson-Darling e Kolmogorov-Smirnov (na versão de Lilliefors).

Numa amostra grande que segue uma distribuição normal, aproximadamente qual proporção dos dados deve estar a mais de 2 desvios padrão da média, somando os dois lados?

Gabarito: 5% — cerca de 95% dos dados ficam a até 2 desvios padrão da média, então sobram 5%, divididos em 2,5% em cada cauda. O 2,5% é a armadilha de contar só um lado; 0,3% corresponde a 3 desvios padrão.

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