O que é covariânciaA covariância é uma medida de associação (relação) LINEAR entre duas variáveis. Por isso também é chamada de medida de dependência linear: ela diz se as duas variáveis tendem a subir juntas, a andar em sentidos opostos ou a não ter relação linear.Variáveis independentes têm covariância zero. O contrário, porém, não vale: covariância zero significa apenas ausência de relação linear. Duas variáveis podem ter covariância zero e uma relação forte em forma de curva (por exemplo, y = x² com x simétrico em torno de zero).Cálculo da covariância para dados não agrupadosImagine dois conjuntos de dados:X: 2, 4, 6, 8, 10Y: 10, 8, 6, 4, 2Percebe-se de imediato que X e Y têm uma relação negativa: quanto maior X, menor Y.Para calcular a covariância, cada valor de X precisa estar ligado a um valor de Y — os dois foram observados no mesmo indivíduo, evento ou momento (aqui, os valores na mesma posição das listas formam um par). É essa ligação que permite responder à pergunta que nos interessa: quando X aumenta, Y diminui, se mantém ou aumenta? Por isso trabalharemos com os pares de dados originais, e não com distribuições de frequência de cada variável separada, que perdem essa ligação.A forma mais simples de entender a covariância é olhar os desvios em relação à média (as duas médias valem 6):Desvios de X: −4, −2, 0, 2, 4Desvios de Y: 4, 2, 0, −2, −4Quando um conjunto tem desvio negativo, o outro tem desvio positivo, e vice-versa: é isso que revela a relação negativa. A covariância transforma essa observação em um número.A covariância é a média dos produtos dos desvios: o desvio de cada valor de X multiplicado pelo desvio do valor de Y correspondente.Em fórmula matemática:\[ cov(X, Y) = \frac{\sum{(x - \bar{x})(y - \bar{y})}}{n} \]Essa é a covariância populacional. Quando os dados são uma amostra e queremos estimar a covariância da população, divide-se por n − 1 em vez de n — exatamente como na variância. Neste artigo usaremos a divisão por n.Para o exemplo anterior:XYDesvios de XDesvios de YProduto dos desvios210−44−1648−22−466000842−2−41024−4−16\[ cov(X, Y) = \frac{-40}{5} = -8 \]A covariância é negativa e vale −8. O número 8, sozinho, não diz muito: ele depende das unidades das variáveis (se X fosse medido em centímetros em vez de metros, a covariância ficaria 100 vezes maior). O que importa aqui é o sinal: quando uma variável aumenta, a outra diminui. Para medir a força da relação, usaremos a correlação, no próximo artigo.A lógica do sinal fica clara quando olhamos as combinações possíveis:Quando os dois desvios são negativos, o produto é positivo: se as duas variáveis tendem a ficar abaixo da média juntas, a covariância tende a ser positiva.Quando os dois desvios são positivos, o produto também é positivo: se as duas variáveis tendem a ficar acima da média juntas, a covariância tende a ser positiva.Quando os desvios têm sinais opostos, o produto é negativo: se uma variável tende a estar acima da média quando a outra está abaixo, a covariância tende a ser negativa.Para cinco pares de dados, os produtos dos desvios foram 6, −2, 0, 3 e 8. Qual é a covariância (dividindo por n) e o que ela indica?Gabarito: 3, relação positiva — a soma dos produtos é 6 − 2 + 0 + 3 + 8 = 15, e 15 / 5 = 3. O sinal positivo indica que as variáveis tendem a ficar acima (ou abaixo) da média juntas. A opção 15 esquece de dividir por n.Outra fórmula para calcular a covariânciaTambém é possível calcular a covariância de outra forma. Partindo da definição como valor esperado (média) do produto dos desvios:\[ cov(X, Y) = \frac{\sum{(x - \bar{x})(y - \bar{y})}}{n} \]\[ cov(X, Y) = E[(x - \bar{x})(y - \bar{y})] \]\[ cov(X, Y) = E[x · y - \bar{x} · y - \bar{y} · x + \bar{x} · \bar{y}] \]\[ cov(X, Y) = E[x · y] - E[\bar{x} · y] - E[\bar{y} · x] + E[\bar{x} · \bar{y}] \]\[ cov(X, Y) = E[x · y] - \bar{x} · E[y] - \bar{y} · E[x] + \bar{x} · \bar{y} \]\[ cov(X, Y) = E[x · y] - \bar{x} · \bar{y} - \bar{y} · \bar{x} + \bar{x} · \bar{y} \]\[ cov(X, Y) = E[x · y] - \bar{x} · \bar{y} \]\[ cov(X, Y) = \frac{\sum{x · y}}{n}- \bar{x} · \bar{y} \]Em palavras: a covariância também é a média dos produtos x · y menos o produto das médias.Exemplos1º exemploXYX · Y2102048326636843210220\[ cov(X, Y) = \frac{\sum{x · y}}{n}- \bar{x} · \bar{y} = \frac{140}{5} - 6 · 6 = 28 - 36 = -8 \]O mesmo resultado obtido com os desvios.2º exemploAqui \( \bar{x} = 4 \) e \( \bar{y} = 5 \):XYDesvios de XDesvios de YProduto dos desviosX · Y25−2001026−21−212632−2−4185914445521−3−310\[ cov(X, Y) = \frac{\sum{(x - \bar{x})(y - \bar{y})}}{n} = \frac{-5}{5} = -1 \]Ou:\[ cov(X, Y) = \frac{\sum{x · y}}{n}- \bar{x} · \bar{y} = \frac{95}{5} - 4 · 5 = 19 - 20 = -1 \]Para 4 pares de dados, a soma dos produtos x · y é 120, a média de X é 3 e a média de Y é 8. Qual é a covariância?Gabarito: 6 — cov = 120 / 4 − 3 · 8 = 30 − 24 = 6. A opção 30 para no primeiro termo e esquece de subtrair o produto das médias.Propriedades da covariância1) A covariância de uma variável com ela mesma é a sua variância\[ cov(X, X) = var(X) \]2) A ordem das variáveis não importa\[ cov(X, Y) = cov(Y, X) \]3) Somar constantes às variáveis não altera a covariância\[ cov(X + a, Y + b) = cov(X, Y) \]Somar uma constante desloca a média na mesma quantidade, e os desvios continuam iguais.4) Multiplicar as variáveis por constantes multiplica a covariância\[ cov(a · X, b · Y) = a · b · cov(X, Y) \]A covariância entre o preço de um produto em reais (X) e as unidades vendidas (Y) é −40. Se o preço for convertido para centavos (X multiplicado por 100) e todas as vendas aumentarem 5 unidades, qual a nova covariância?Gabarito: −4000 — multiplicar X por 100 multiplica a covariância por 100, e somar 5 a Y não muda nada: −40 · 100 = −4000. A opção −4005 trata a soma de constante como se mexesse na covariância.Exercícios1) Calcule a covariância dos seguintes conjuntos de dados:XY51010201530255035702) Calcule a covariância dos seguintes conjuntos de dados:XY254015303520104015503) Calcule a covariância dos seguintes conjuntos de dados:XY92835363424) Pedrinho tem dois conjuntos de dados, X e Y, cuja covariância é 10, e resolveu fazer algumas transformações apenas em X. Primeiro subtraiu a média de todos os valores de X, para que a média ficasse zero. Logo depois somou 50 a todos os valores, para que a média fosse 50. Por fim, multiplicou todos os valores de X por 100. Quanto vale agora a covariância entre X e Y?5) Calcule a covariância dos seguintes conjuntos de dados (cotações de duas ações em sete dias):BradescoCanon9,7735,049,6234,939,4634,799,4135,079,4334,349,4534,259,3634,35GabaritoRespostas com divisão por n (covariância populacional):1) 232 (com n − 1: 290);2) −60 (com n − 1: −75);3) −0,04 (com n − 1: −0,05);4) 1000 — subtrair a média e somar 50 não mudam a covariância; multiplicar X por 100 a multiplica por 100: 10 · 100 = 1000;5) 0,0256 (com n − 1: 0,0299).
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