Distribuição de Bernoulli e Binomial: Aplicações na Vida Real

É uma função que associa a cada resultado possível de uma variável aleatória discreta a sua probabilidade de ocorrência.

- Variável aleatória (X): Número da face (1, 2, 3, 4, 5, 6).

- Probabilidade de cada face: \( P(X = x) = \frac{1}{6} \).

A função de probabilidade é a tabela ou fórmula que mostra essa associação.

Para ser válida, a função deve satisfazer:

1. Não-negatividade:

\( P(X = x) \geq 0 \) para todo \( x \).

(Exemplo: Não existe probabilidade negativa, como -0,2 para sair o número 5 no dado.)

2. Soma igual a 1:

\( \sum_{\text{todos } x} P(X = x) = 1 \).

(Exemplo: \( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{6} = 1 \)).

3. Diferença para Variáveis Contínuas

- Em variáveis discretas (como dados, moedas), usamos função de probabilidade (\( P(X = x) \)).

- Em variáveis contínuas (como altura, peso), usamos função densidade de probabilidade (f.d.p.), pois \( P(X = x) = 0 \) para qualquer \( x \) específico.

A Distribuição de Bernoulli é usada para modelar situações em que há apenas dois resultados possíveis: sucesso (1) ou fracasso (0). Cada tentativa é independente, e as probabilidades de sucesso (\( p \)) e fracasso (\(q\)) são constantes.

Fórmula da Distribuição de Bernoulli

A probabilidade de um evento de Bernoulli é dada por:

\[ P(X = 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - q = p \]

Onde:

- \( k = 1 \) (sucesso) ou \( k = 0 \) (fracasso).

- \( p \): Probabilidade de sucesso.

- \( q \): Probabilidade de fracasso (também escrita como \( 1 - p \)).

Como todo evento de bernoulli procuramos só 1 ou 0 sucessos (n sendo o total de tentativas, 1 em bernoulli, e k sendo o total de sucessos). Assim também podemos escrever a probabilidade como:

\[ P(X = k) = p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

Exemplos da Vida Real

Exemplo 1: Jogar uma moeda

- Sucesso: Cara (\( k = 1 \)).

- Fracasso: Coroa (\( k = 0 \)).

- Probabilidade de sucesso (\( p \)): 0,5.

Qual a probabilidade de obter cara em um único lançamento?

\[ P(X = 1) = 0,5^1 \cdot (1 - 0,5)^{1 - 1} = 0,5 \quad (50\%) \]

Exemplo 2: Chutar uma questão de múltipla escolha

- Sucesso: Acertar (\( k = 1 \)).

- Fracasso: Errar (\( k = 0 \)).

- Probabilidade de sucesso (\( p \)): 0,25 (4 opções).

Qual a probabilidade de acertar a questão?

\[ P(X = 1) = 0,25^1 \cdot (1 - 0,25)^{1 - 1} = 0,25 \quad (25\%) \]

A Distribuição Binomial é usada para modelar o número de sucessos em \( n \) tentativas independentes de um experimento de Bernoulli, onde cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso \( p \).

Fórmula da Distribuição Binomial

A probabilidade de obter exatamente \( k \) sucessos em \( n \) tentativas é dada por:

\[ P(X = k) = C_{n,k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

Onde:

- \( C_{n,k} \): Combinação de \( n \) elementos tomados \( k \) a \( k \).

- \( p \): Probabilidade de sucesso em uma única tentativa.

- \( 1 - p \): Probabilidade de fracasso.

- \( n \): Número total de tentativas.

- \( k \): Número de sucessos desejados.

Exemplos da Vida Real

Exemplo 1: Jogar uma moeda 5 vezes

- Sucesso: Cara (\( k = 1 \)).

- Fracasso: Coroa (\( k = 0 \)).

- Probabilidade de sucesso (\( p \)): 0,5.

- Número de tentativas (\( n \)): 5.

Qual a probabilidade de obter exatamente 3 caras?

\[ C_{5,3} = \frac{5!}{3! \cdot (5 - 3)!} = 10 \]

\[ P(X = 3) = 10 \cdot 0,5^3 \cdot (1 - 0,5)^{5 - 3} = 10 \cdot 0,125 \cdot 0,25 = 0,3125 \quad (31,25\%) \]

Exemplo 2: Acertar 2 questões em 5 chutes

- Sucesso: Acertar (\( k = 1 \)).

- Fracasso: Errar (\( k = 0 \)).

- Probabilidade de sucesso (\( p \)): 0,25 (4 opções).

- Número de tentativas (\( n \)): 5.

Qual a probabilidade de acertar exatamente 2 questões?

\[ C_{5,2} = \frac{5!}{2! \cdot (5 - 2)!} = 10 \]

\[ P(X = 2) = 10 \cdot 0,25^2 \cdot (1 - 0,25)^{5 - 2} = 10 \cdot 0,0625 \cdot 0,421875 = 0,2637 \quad (26,37\%) \]

- Sucesso: Obter o número 6 (\( k = 1 \)).

- Fracasso: Não obter o número 6 (\( k = 0 \)).

- Probabilidade de sucesso (\( p \)): \( \frac{1}{6} \).

- Número de tentativas (\( n \)): 4.

Qual a probabilidade de obter exatamente 2 vezes o número 6?

\[ C_{4,2} = \frac{4!}{2! \cdot (4 - 2)!} = 6 \]

\[ P(X = 2) = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4 - 2} = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} \approx 0,1157 \quad (11,57\%) \]

1. Jogar uma moeda 8 vezes:

- Qual a probabilidade de obter exatamente 5 caras?

- Qual a probabilidade de obter menos de 3 caras?

2. Chutar 10 questões de múltipla escolha (4 opções):

- Qual a probabilidade de acertar exatamente 4 questões?

- Qual a probabilidade de acertar pelo menos 5 questões?

3. Lançar um dado 6 vezes:

- Qual a probabilidade de obter exatamente 2 vezes o número 5?

- Qual a probabilidade de obter no máximo 3 vezes o número 5?

4. Um time de futebol tem 70% de chance de vencer cada partida. Em 5 jogos:

- Qual a probabilidade de vencer exatamente 3 partidas?

- Qual a probabilidade de vencer pelo menos 4 partidas?

1. Jogar uma moeda 8 vezes:

- 21,88%

- 14,45%

2. Chutar 10 questões:

- 14,60%

- 7,81%

3. Lançar um dado 6 vezes:

- 20,09%

- 99,13%

4. Time de futebol:

- 30,87%

- 52,82%