Distribuição de Bernoulli e Binomial: Aplicações na Vida Real

A Distribuição de Bernoulli é usada para modelar situações em que há apenas dois resultados possíveis: sucesso (1) ou fracasso (0). Cada tentativa é independente, e a probabilidade de sucesso ($p$) é constante.

Fórmula da Distribuição de Bernoulli

A probabilidade de um evento de Bernoulli é dada por:

$$P(X=k)=p^k\cdot (1-p{)}^{1-k}$$

Onde:

- $k=1$ (sucesso) ou $k=0$ (fracasso).

- $p$: Probabilidade de sucesso.

- $1-p$: Probabilidade de fracasso.

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Exemplos da Vida Real

Exemplo 1: Jogar uma moeda

- Sucesso: Cara ($k=1$).

- Fracasso: Coroa ($k=0$).

- Probabilidade de sucesso ($p$): 0,5.

Pergunta:

Qual a probabilidade de obter cara em um único lançamento?

Resolução:

$$P(X=1)=0,5^1\cdot (1-0,5{)}^{1-1}=0,5(50\mathrm{\%})$$

Exemplo 2: Chutar uma questão de múltipla escolha

- Sucesso: Acertar ($k=1$).

- Fracasso: Errar ($k=0$).

- Probabilidade de sucesso ($p$): 0,25 (4 opções).

Pergunta:

Qual a probabilidade de acertar a questão?

Resolução:

$$P(X=1)=0,{25}^1\cdot (1-0,25{)}^{1-1}=0,25(25\mathrm{\%})$$

A Distribuição Binomial é usada para modelar o número de sucessos em $n$ tentativas independentes de um experimento de Bernoulli, onde cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso $p$.

Fórmula da Distribuição Binomial

A probabilidade de obter exatamente $k$ sucessos em $n$ tentativas é dada por:

$$P(X=k)=C_{n,k}\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

Onde:

- $C_{n,k}$: Combinação de $n$ elementos tomados $k$ a $k$.

- $p$: Probabilidade de sucesso em uma única tentativa.

- $1-p$: Probabilidade de fracasso.

- $n$: Número total de tentativas.

- $k$: Número de sucessos desejados.

Exemplos da Vida Real

Exemplo 1: Jogar uma moeda 5 vezes

- Sucesso: Cara ($k=1$).

- Fracasso: Coroa ($k=0$).

- Probabilidade de sucesso ($p$): 0,5.

- Número de tentativas ($n$): 5.

Pergunta:

Qual a probabilidade de obter exatamente 3 caras?

Resolução:

$$C_{5,3}=\frac{5!}{3!\cdot (5-3)!}=10$$

$$P(X=3)=10\cdot 0,5^3\cdot (1-0,5{)}^{5-3}=10\cdot 0,125\cdot 0,25=0,3125(31,25\mathrm{\%})$$

Exemplo 2: Acertar 2 questões em 5 chutes

- Sucesso: Acertar ($k=1$).

- Fracasso: Errar ($k=0$).

- Probabilidade de sucesso ($p$): 0,25 (4 opções).

- Número de tentativas ($n$): 5.

Pergunta:

Qual a probabilidade de acertar exatamente 2 questões?

Resolução:

$$C_{5,2}=\frac{5!}{2!\cdot (5-2)!}=10$$

$$P(X=2)=10\cdot 0,{25}^2\cdot (1-0,25{)}^{5-2}=10\cdot 0,0625\cdot 0,421875=0,2637(26,37\mathrm{\%})$$

- Sucesso: Obter o número 6 ($k=1$).

- Fracasso: Não obter o número 6 ($k=0$).

- Probabilidade de sucesso ($p$): $\frac{1}{6}$.

- Número de tentativas ($n$): 4.

Pergunta:

Qual a probabilidade de obter exatamente 2 vezes o número 6?

Resolução:

$$C_{4,2}=\frac{4!}{2!\cdot (4-2)!}=6$$

$$P(X=2)=6\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^2\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^{4-2}=6\cdot \frac{1}{36}\cdot \frac{25}{36}\approx 0,1157(11,57\mathrm{\%})$$

1. Jogar uma moeda 8 vezes:

- Qual a probabilidade de obter exatamente 5 caras?

- Qual a probabilidade de obter menos de 3 caras?

2. Chutar 10 questões de múltipla escolha (4 opções):

- Qual a probabilidade de acertar exatamente 4 questões?

- Qual a probabilidade de acertar pelo menos 5 questões?

3. Lançar um dado 6 vezes:

- Qual a probabilidade de obter exatamente 2 vezes o número 5?

- Qual a probabilidade de obter no máximo 3 vezes o número 5?

4. Um time de futebol tem 70% de chance de vencer cada partida. Em 5 jogos:

- Qual a probabilidade de vencer exatamente 3 partidas?

- Qual a probabilidade de vencer pelo menos 4 partidas?

1. Jogar uma moeda 8 vezes:

- 21,88%

- 14,45%

2. Chutar 10 questões:

- 14,60%

- 7,81%

3. Lançar um dado 6 vezes:

- 20,09%

- 99,13%

4. Time de futebol:

- 30,87%

- 52,82%