Экономичный размер заказа (LEC): сколько закупать за один раз

30/10/2026 •0•0

Как выводится формула экономичного размера заказа, почему она устойчива к неточностям в данных и как выбрать объём закупки, если поставщик предлагает скидку за количество.

Автор:Leon

ПеревелEditorial

ОтредактированоEditorial

Введение

На занятии, посвящённом затратам на запасы, мы разобрали противоречие: крупные партии снижают затраты на оформление заказов, но увеличивают расходы на хранение; с небольшими партиями всё наоборот. Один из самых известных способов найти баланс — рассчитать для каждого товара оптимальный объём заказа, или экономичный размер заказа (LEC, от английского economic order quantity — EOQ).

LEC — это объём одной закупки, при котором суммарные затраты на запасы минимальны. Формулу обычно связывают с Ford W. Harris, опубликовавшим её в 1913 году. Она также известна как формула Уилсона — по имени консультанта R. H. Wilson, который способствовал её распространению в компаниях. Спустя более ста лет формула по-прежнему используется в системах управления запасами и ERP-системах.

Допущения модели

Чтобы получить простую формулу, модель опирается на несколько допущений:

годовой спрос (D) известен, а расход постоянен: каждый день со склада уходит одинаковое количество товара;
запас всегда пополняется на одну и ту же величину (Q);
пополнение происходит мгновенно — ровно в тот момент, когда запас достигает нуля;
дефицита не бывает: спрос удовлетворяется полностью;
стоимость оформления одного заказа (Cp) и годовые затраты на хранение единицы товара (Cm) постоянны, а цена не зависит от объёма закупки (последнее допущение мы снимем в разделе о скидках).

При таких условиях график уровня запасов напоминает пилу: поступает партия Q, запас равномерно сокращается до нуля, затем поступает следующая партия Q — и цикл повторяется. Если ежедневный расход равен d, а время между пополнениями — t, то Q = d × t.

В реальности спрос не бывает абсолютно постоянным, а поставки — мгновенными. И всё же модель полезна: как мы увидим дальше, ошибки в исходных данных незначительно влияют на суммарные затраты. Менее реалистичные допущения учитываются в следующих занятиях, посвящённых страховому запасу и точке заказа с учётом срока поставки и неопределённости спроса.

Формула экономичного размера заказа

Чтобы покрыть годовой спрос D партиями по Q единиц, компания размещает D ÷ Q заказов в год. Поскольку запас равномерно снижается от Q до нуля, его средний уровень равен Q ÷ 2. Следовательно:

Годовые затраты на оформление заказов = (D ÷ Q) × Cp

Годовые затраты на хранение = (Q ÷ 2) × Cm

Cm может задаваться двумя способами — важно их различать:

суммой на единицу товара: «хранение одной единицы обходится в R$ 2 в год» → Cm = R$ 2;
в процентах от цены: «затраты на хранение составляют 20% в год», а товар стоит R$ 5 → Cm = 20% × 5 = R$ 1 на единицу в год.

Затраты на запасы складываются из этих двух частей:

Затраты на запасы = (Q ÷ 2) × Cm + (D ÷ Q) × Cp

С увеличением партии затраты на хранение растут, затраты на оформление заказов снижаются, а их сумма достигает минимума при LEC

График показывает, как затраты меняются вместе с Q: затраты на хранение растут по прямой, затраты на оформление заказов снижаются, а их сумма достигает минимума. В этой модели минимум находится ровно там, где обе составляющие равны:

(Q ÷ 2) × Cm = (D ÷ Q) × Cp

Выразив Q, получаем формулу экономичного размера заказа:

LEC = √(2 × D × Cp ÷ Cm)

(Если вы знакомы с производными, можете проверить: производная затрат по Q, приравненная к нулю, даёт то же выражение.)

Вместе с LEC обычно рассчитывают ещё два показателя:

Количество заказов в год = D ÷ LEC
Интервал между заказами = LEC ÷ D (в годах; чтобы получить дни, умножьте на 365 или на число рабочих дней). Этот интервал лежит в основе системы периодического пересмотра запасов, которой посвящено другое занятие серии.

Следите за единицами измерения: D, Cp и Cm должны относиться к одному периоду. Если спрос указан за месяц, а Cm — за год, сначала приведите их к одному периоду.

Разбор примера

Компания закупает детали для панелей по R$ 5,00 за единицу. В следующем году ей потребуется 4.000 единиц. Оформление одного заказа у поставщика обходится в R$ 30,00, а хранение одной детали — в R$ 1,50 в год. Определите: а) экономичный размер заказа; б) количество заказов в год; в) суммарные затраты при экономичном размере заказа.

а) LEC = √(2 × 4.000 × 30 ÷ 1,5) = √160.000 = 400 единиц

б) Количество заказов = 4.000 ÷ 400 = 10 заказов в год (примерно один раз в 36,5 дней)

в) Добавим стоимость закупки к затратам на запасы:

CT = D × P + (Q ÷ 2) × Cm + (D ÷ Q) × Cp = 4.000 × 5 + 200 × 1,5 + 10 × 30 = 20.000 + 300 + 300 = R$ 20.600

Обратите внимание: при LEC затраты на хранение (R$ 300) равны затратам на оформление заказов (R$ 300), как и предсказывает модель. По этому равенству удобно проверять расчёты.

Компания расходует 7.200 единиц товара в год. Оформление каждого заказа стоит R$ 100, а хранение одной единицы — R$ 4 в год. Сколько заказов в год ей следует размещать согласно модели экономичного размера заказа?

Правильный ответ: 12 заказов — LEC = √(2 × 7.200 × 100 ÷ 4) = √360.000 = 600 единиц, а 7.200 ÷ 600 = 12 заказов в год. 600 — это размер партии, а не количество заказов.

Вблизи LEC суммарные затраты меняются незначительно

Частое возражение звучит так: «Затраты на оформление заказов и хранение известны лишь приблизительно, значит, рассчитанный LEC неверен». Это правда — но погрешность невелика. Кривая суммарных затрат вблизи минимума довольно пологая. Посмотрим, какими будут затраты на запасы из предыдущего примера при других размерах партии:

Партия Q	Заказы (D ÷ Q × 30)	Хранение (Q ÷ 2 × 1,5)	Затраты на запасы	Превышение минимума
200	R$ 600	R$ 150	R$ 750	+25%
300	R$ 400	R$ 225	R$ 625	+4%
400 (LEC)	R$ 300	R$ 300	R$ 600	—
500	R$ 240	R$ 375	R$ 615	+2,5%
600	R$ 200	R$ 450	R$ 650	+8%
800	R$ 150	R$ 600	R$ 750	+25%

Если партия отличается от оптимальной на 25% в меньшую или большую сторону (300 или 500), затраты вырастут всего на 2,5–4%. Отсюда два практических вывода:

LEC можно без опасений округлять до размера упаковки, палеты или кратного объёма, в котором продаёт поставщик;
LEC устойчив к ошибкам в оценках: в формуле используется квадратный корень, поэтому, если оценка Cp вдвое выше реального значения, рассчитанная партия будет больше лишь на 41% (√2 ≈ 1,41), а затраты лишь немного превысят минимум.

Годовой спрос на товар вырос в четыре раза, а затраты на оформление заказа и хранение единицы товара не изменились. Как изменится экономичный размер заказа?

Правильный ответ: удвоится — спрос находится под квадратным корнем: √4 = 2. Количество заказов в год тоже удвоится (спрос увеличился в 4 раза ÷ размер партии увеличился в 2 раза). В четыре раза LEC вырос бы только при прямой пропорциональности спросу, которой здесь нет.

Закупки со скидками за объём

Поставщики нередко предлагают скидку при заказе от определённого объёма. В этом случае цена зависит от размера партии, и допущение о постоянной цене уже не действует. Скидка снижает стоимость закупки — крупнейшую часть суммарных затрат, — но требует закупать более крупные партии, увеличивая затраты на хранение.

Для таких случаев существуют сложные формулы, но проще и надёжнее рассчитать суммарные затраты, включая стоимость закупки, для каждого ценового диапазона и выбрать наименьшие:

Для каждого ценового диапазона рассчитайте LEC с учётом соответствующего Cm (если Cm задан в процентах, он меняется вместе с ценой).
Если рассчитанный LEC меньше минимального объёма для этого диапазона, возьмите минимальный объём (это наименьшая партия, дающая право на скидку). Если LEC попадает в диапазон, используйте его.
Для каждого варианта рассчитайте суммарные затраты CT = D × P + (Q ÷ 2) × Cm + (D ÷ Q) × Cp.
Выберите вариант с наименьшими суммарными затратами.

Разбор примера

Компания закупает товар для перепродажи по R$ 5,00 за единицу. Поставщик предлагает такую шкалу цен: при заказе от 1.000 до 1.999 единиц цена составляет R$ 4,80, а при заказе от 2.000 единиц — R$ 4,75. Оформление каждого заказа стоит R$ 49,00, годовые затраты на хранение составляют 20% от цены, а ожидаемый спрос — 5.000 единиц в год. Какой объём заказа будет наиболее выгодным?

Цена R$ 5,00 (Cm = 20% × 5 = R$ 1,00): LEC = √(2 × 5.000 × 49 ÷ 1) = √490.000 = 700 единиц; это значение попадает в диапазон.

Цена R$ 4,80 (Cm = R$ 0,96): LEC составил бы √(490.000 ÷ 0,96) ≈ 714 — меньше минимального объёма 1.000. Берём Q = 1.000.

Цена R$ 4,75 (Cm = R$ 0,95): LEC составил бы ≈ 718 — меньше минимального объёма 2.000. Берём Q = 2.000.

Q	Закупка	Хранение	Заказы	Суммарные затраты
700 по R$ 5,00	R$ 25.000	350 × 1,00 = R$ 350	5.000 ÷ 700 × 49 = R$ 350	R$ 25.700
1.000 по R$ 4,80	R$ 24.000	500 × 0,96 = R$ 480	5 × 49 = R$ 245	R$ 24.725
2.000 по R$ 4,75	R$ 23.750	1.000 × 0,95 = R$ 950	2,5 × 49 = R$ 122,50	R$ 24.822,50

Лучший вариант — заказывать по 1.000 единиц. Вторая скидка сокращает стоимость закупки ещё на R$ 250, но требует держать вдвое больший запас, и дополнительные затраты на хранение съедают эту экономию.

Годовой спрос на товар составляет 1.200 единиц, оформление заказа стоит R$ 50, а годовые затраты на хранение составляют 20% от цены. Цена равна R$ 10, но при заказе от 500 единиц снижается до R$ 9,50. При полной цене LEC составляет около 245 единиц, а суммарные затраты — около R$ 12.490. Как следует поступить компании?

Правильный ответ: заказывать по 500 единиц за R$ 9,50 при суммарных затратах R$ 11.995 — закупка 1.200 × 9,50 = R$ 11.400; оформление заказов 1.200 ÷ 500 × 50 = R$ 120; хранение 250 × 1,90 = R$ 475; всего R$ 11.995, что меньше R$ 12.490. Купить 251 единицу по R$ 9,50 нельзя: при заказе меньше 500 единиц скидка не действует.

Ограничения модели

LEC — отправная точка, а не универсальное правило. Важно понимать, когда модель расходится с реальностью:

Срок поставки. Модель предполагает, что партия поступает в момент оформления заказа. На практике поставка занимает время, поэтому заказ нужно разместить до того, как запас закончится. Подробнее — в занятии о сроках поставки и страховом запасе.
Неопределённый спрос. При колебаниях спроса LEC по-прежнему помогает определить размер партии, но для предотвращения дефицита нужен страховой запас.
Собственное производство. Если товар производится внутри компании и поступает на склад постепенно, одновременно с расходованием, используют вариант модели — экономичный размер производственной партии, учитывающий темп производства.
Физические и финансовые ограничения. Площадь склада, срок годности товара, минимальная упаковка поставщика и доступные средства могут не позволить заказать рассчитанную партию. Поскольку вблизи оптимума затраты меняются незначительно, подстроить размер партии под эти ограничения обычно обходится недорого.

Задания

Простые

1) (Экзамен по логистике, CEFET/RJ, 2018) Компания Eletrônica Estrela расходует 3.000 единиц товара в год. Оформление каждого заказа стоит R$ 60,00, а хранение одной единицы — R$ 1,00 в год. Сколько единиц нужно заказывать каждый раз, чтобы минимизировать суммарные затраты на запасы?

2) Годовой спрос на товар торговой компании составляет 15.000 единиц. Затраты на хранение — R$ 0,80 на единицу в год, затраты на оформление заказа — R$ 35,00. Определите экономичный размер заказа.

3) Годовой спрос на товар составляет 2.400 единиц, затраты на оформление заказа — R$ 75,00, а затраты на хранение — R$ 4,00 на единицу в год. Рассчитайте экономичный размер заказа, количество заказов в год и интервал между заказами в днях (в году 365 дней).

4) Товар стоит R$ 25,00, годовые затраты на хранение составляют 20% его стоимости, годовой спрос — 5.000 единиц, а оформление каждого заказа обходится в R$ 40,00. Каков экономичный размер заказа?

5) Компания автоматизировала закупки, и затраты на оформление каждого заказа сократились до четверти прежней суммы. Спрос и затраты на хранение не изменились. Как изменится экономичный размер заказа?

Сложные задачи

6) Компания VendeMais продаёт товар, годовой спрос на который составляет 40.000 единиц. Оформление заказа на закупку обходится в R$ 30,00. Затраты на хранение составляют R$ 0,30 на единицу в год. Кроме того, на этот товар приходятся постоянные затраты в размере R$ 50,00 в год, не зависящие от размера партии. Рассчитайте:
a) общие затраты на управление запасами при партиях по 2.500 единиц (без учёта закупочной стоимости);
b) экономичный размер заказа.

7) Завод электронного оборудования использует 600 печатных плат в год. Оформление одного заказа обходится в R$ 20,00. Затраты на хранение составляют R$ 0,10 на единицу в год и рассчитываются исходя из среднего запаса. Кроме того, складские затраты составляют R$ 0,025 на единицу в год и рассчитываются исходя из площади, необходимой для размещения максимального запаса. Каждая плата стоит R$ 1,00. Рассчитайте:
a) экономичный размер заказа;
b) общие затраты (включая закупочную стоимость);
c) количество заказов в год.

8) Завод бытовой техники планирует в следующем году продавать по 4.500 холодильников в месяц. Для каждого холодильника нужен один компрессор стоимостью R$ 18,00 за штуку; компрессоры закупаются партиями экономичного размера. Хранение одного компрессора обходится в R$ 1,536 в год, а оформление заказа — в R$ 200,00.
a) Сколько компрессоров должно быть в одной партии?
b) Сколько заказов будет оформлено за год?

9) Компания закупает товар партиями экономичного размера. Годовой спрос составляет 1.800 единиц, экономичный размер заказа — 600 единиц, затраты на хранение — R$ 2,50 на единицу в год, а затраты на оформление заказа — R$ 250,00. Рассматривается новый вариант: поставлять товар непосредственно на производственную линию партиями по 100 единиц в контейнерах стоимостью R$ 35,00 каждый (это и будет стоимость каждой поставки). Какой вариант выгоднее для компании?

10) Супермаркет закупает рис в упаковках по 5 кг и рассчитывает продавать 25.000 кг в год. Поставщик принимает заказы только трёх размеров: 10.000 кг по R$ 7,00 за упаковку; 15.000 кг по R$ 6,50 за упаковку; или 20.000 кг по R$ 6,00 за упаковку. Обработка заказа на рис обходится в R$ 3.500,00, а затраты на хранение и стоимость капитала в сумме составляют 50% от цены в год. Какой размер заказа следует выбрать супермаркету?

Ответы

1) Экономичный размер заказа = √(2 × 3.000 × 60 ÷ 1) = √360.000 = 600 единиц.

2) Экономичный размер заказа = √(2 × 15.000 × 35 ÷ 0,80) = √1.312.500 ≈ 1.146 единиц.

3) Экономичный размер заказа = √(2 × 2.400 × 75 ÷ 4) = √90.000 = 300 единиц. Заказов в год: 2.400 ÷ 300 = 8. Интервал: 365 ÷ 8 ≈ 45,6 дня (или 300 ÷ 2.400 = 0,125 года × 365).

4) Сначала рассчитаем затраты на хранение: 20% × 25 = R$ 5,00 на единицу в год. Экономичный размер заказа = √(2 × 5.000 × 40 ÷ 5) = √80.000 ≈ 283 единицы.

5) Экономичный размер заказа сокращается вдвое. Затраты на оформление заказа находятся под корнем: если они умножаются на 1/4, экономичный размер заказа умножается на √(1/4) = 1/2. Компания будет закупать партии меньшего размера, оформлять вдвое больше заказов и держать вдвое меньший средний запас.

6) a) Оформление заказов: 40.000 ÷ 2.500 = 16 × 30 = R$ 480; хранение: 2.500 ÷ 2 = 1.250 × 0,30 = R$ 375; постоянные затраты — R$ 50. Итого R$ 905.
b) Экономичный размер заказа = √(2 × 40.000 × 30 ÷ 0,30) = √8.000.000 ≈ 2.828 единиц. Постоянные затраты в размере R$ 50 в формулу не входят, поскольку не зависят от размера партии.

7) Здесь учитываются два вида затрат на хранение: R$ 0,10 исходя из среднего запаса (Q ÷ 2) и R$ 0,025 исходя из максимального запаса (Q). Затраты, связанные с запасом, составляют (Q ÷ 2) × 0,10 + Q × 0,025 + (600 ÷ Q) × 20. Это равносильно использованию в формуле затрат на хранение, равных 0,10 + 2 × 0,025 = 0,15.
a) Экономичный размер заказа = √(2 × 600 × 20 ÷ 0,15) = √160.000 = 400 единиц.
b) Закупка: 600 × 1,00 = R$ 600; хранение: 200 × 0,10 = R$ 20; складские затраты: 400 × 0,025 = R$ 10; оформление заказов: 1,5 × 20 = R$ 30. Итого R$ 660.
c) 600 ÷ 400 = 1,5 заказа в год (3 заказа за 2 года).

8) Сначала рассчитаем годовой спрос: 4.500 × 12 = 54.000 компрессоров (затраты на хранение указаны за год).
a) Экономичный размер заказа = √(2 × 54.000 × 200 ÷ 1,536) = √14.062.500 = 3.750 компрессоров.
b) 54.000 ÷ 3.750 = 14,4 заказа в год.
Цена R$ 18,00 в формулу не входит, поскольку затраты на хранение уже указаны в реалах.

9) Текущий вариант: 1.800 ÷ 600 = 3 заказа × 250 = R$ 750; хранение: 600 ÷ 2 = 300 × 2,50 = R$ 750; R$ 1.500 в год.
Новый вариант: 1.800 ÷ 100 = 18 поставок × 35 = R$ 630; хранение: 50 × 2,50 = R$ 125; R$ 755 в год.
Поставки партиями по 100 единиц выгоднее: затраты почти вдвое ниже. Снижение стоимости каждой поставки с R$ 250 до R$ 35 меняет оптимальный размер партии и позволяет компании держать значительно меньший запас.

10) Годовой спрос в упаковках: 25.000 ÷ 5 = 5.000. Возможные размеры заказа — 2.000, 3.000 и 4.000 упаковок (10, 15 и 20 тыс. кг). Затраты на хранение в каждом случае составляют 50% от соответствующей цены:
2.000 по R$ 7,00 (затраты на хранение = 3,50): 5.000 × 7 = 35.000 + 2,5 заказа × 3.500 = 8.750 + 1.000 × 3,50 = 3.500; итого R$ 47.250;
3.000 по R$ 6,50 (затраты на хранение = 3,25): 32.500 + 1,667 × 3.500 = 5.833,33 + 1.500 × 3,25 = 4.875; итого R$ 43.208,33;
4.000 по R$ 6,00 (затраты на хранение = 3,00): 30.000 + 1,25 × 3.500 = 4.375 + 2.000 × 3,00 = 6.000; итого R$ 40.375.
Минимальные затраты достигаются при заказе 4.000 упаковок (20.000 кг) за раз. Экономия при закупке (R$ 5.000 в год по сравнению с ценой без скидки) с большим запасом покрывает дополнительные затраты на хранение.

Что вы думаете об этой статье?

0^%

Оценка пользователей (0)

Поделитесь этой статьёй!

Темы lote econômico LEC EOQ estoque compras custo logística

Отправьте свои новости

Leon

Business Professor and Website Full Stack Programmer

Social

Реакции

0 Комментарии

Войдите и присоединяйтесь к беседе

Прокомментируйте первым