IntroduçãoNesta aula continuamos o estudo da amortização de empréstimos. Depois do sistema de amortizações constantes (SAC), veremos outros dois sistemas muito usados: o francês, conhecido no Brasil como Tabela Price, em que as prestações são iguais, e o americano, em que o principal é devolvido de uma só vez no final.Sistema francês (Tabela Price)De acordo com Poitras (2000), as tabelas de juros que dão base ao sistema francês foram publicadas pelo matemático e engenheiro flamengo Simon Stevin, no século XVI. No século XVIII, o filósofo e matemático galês Richard Price usou cálculos desse tipo em seus estudos sobre pensões e seguros de vida na Inglaterra, e por isso o sistema ficou conhecido no Brasil como Sistema Price ou Tabela Price.Nesse sistema, as prestações são iguais e periódicas a partir do instante em que começam a ser pagas.Assim, considerando um principal P a ser pago nos instantes 1, 2, 3, …, n, a uma taxa de juros i (na unidade de tempo dos pagamentos), as prestações constantes formam uma sequência uniforme, cuja parcela indicamos por R. Lembrando a fórmula do valor presente:\[ P = R \left[\frac{(1 + i)^n - 1}{(1 + i)^n \cdot i}\right] \]Em cada período, os juros são calculados sobre o saldo devedor anterior, e a amortização é o que sobra da prestação depois de pagos os juros. Como o saldo cai a cada período, os juros caem e a amortização cresce, enquanto a prestação continua a mesma.Para calcular o saldo devedor em um determinado instante, basta calcular o valor presente das prestações que ainda faltam pagar. Ao trazê-las a valor presente, eliminamos os juros que estão embutidos nelas, e o que sobra é exatamente o saldo a ser amortizado, ou seja, o saldo devedor.ExemplosUm empréstimo de R$ 800.000,00 foi obtido por uma empresa por ocasião da compra de um prédio. O empréstimo deve ser devolvido pelo sistema francês em cinco prestações semestrais à taxa de 4% a.s. Obtenha a planilha.A prestação é:\[ R = \frac{800.000}{4{,}451822} = 179.701{,}69 \]SemestreSaldo devedorAmortizaçãoJurosPrestação0800.000,00---1652.298,31147.701,6932.000,00179.701,692498.688,55153.609,7626.091,93179.701,693338.934,40159.754,1519.947,54179.701,694172.790,09166.144,3113.557,38179.701,695-172.790,096.911,60179.701,69Total-800.000,0098.508,45898.508,45Em um empréstimo de R$ 100.000,00 a ser pago pelo sistema francês, em 40 meses e à taxa de 3% a.m., qual o saldo devedor no 25º mês? (Supor paga a prestação deste mês.)Primeiro, a prestação:\[ 100.000 = R \left[\frac{(1 + 0{,}03)^{40} - 1}{(1 + 0{,}03)^{40} \cdot 0{,}03}\right] \]\[ 100.000 = R \cdot 23{,}114772 \]\[ R = \frac{100.000}{23{,}114772} = 4.326{,}24 \]Depois de paga a 25ª prestação, faltam 15. O saldo devedor é o valor presente dessas 15 prestações:\[ S_{25} = 4.326{,}24 \left[\frac{(1 + 0{,}03)^{15} - 1}{(1 + 0{,}03)^{15} \cdot 0{,}03}\right] = 51.646{,}37 \]Um empréstimo de R$ 10.000,00 será pago pela Tabela Price em 4 prestações mensais a 2% a.m. A prestação é de R$ 2.626,24. Quanto se amortiza na 1ª prestação?Gabarito: R$ 2.426,24 — os juros do 1º mês são 2% de 10.000 = 200, e a amortização é a prestação menos os juros: 2.626,24 − 200 = 2.426,24. R$ 2.500,00 seria a amortização do SAC (10.000 / 4), e R$ 200,00 são os juros.Em um financiamento pela Tabela Price, já foram pagas 25 das 40 prestações mensais de R$ 4.326,24, a 3% a.m. Como se calcula o saldo devedor?Gabarito: Valor presente, a 3% a.m., das 15 prestações que faltam — trazer as prestações a valor presente retira os juros embutidos nelas. 15 × 4.326,24 inclui juros futuros que ainda não correram, e amortizações iguais são do SAC, não da Price.Sistema americanoNeste sistema, o principal é devolvido de uma só vez, no final do prazo do empréstimo. Em geral, os juros são pagos periodicamente; eles também podem ser capitalizados e pagos de uma só vez, junto com o principal (tudo depende do acordo entre as partes).ExemploPor um empréstimo de 800 mil dólares, um cliente propõe-se a devolver o principal daqui a dois anos e meio, pagando semestralmente somente os juros à taxa de 4% a.s. Obtenha a planilha.SemestreSaldo devedorAmortizaçãoJurosPrestação0800.000---1800.000-32.00032.0002800.000-32.00032.0003800.000-32.00032.0004800.000-32.00032.0005-800.00032.000832.000Total-800.000160.000960.000Comparando os três sistemasPara o mesmo empréstimo de 800 mil a 4% a.s. em cinco semestres, o total de juros foi de 96 mil no SAC (aula anterior), 98,5 mil no sistema francês e 160 mil no americano. Isso não quer dizer que um sistema seja sempre "mais caro": à mesma taxa, todos têm o mesmo valor presente, igual ao principal. Paga-se mais juros quando o dinheiro fica mais tempo emprestado. Por isso a escolha depende da situação: o americano serve a quem só terá o dinheiro para devolver no fim (e precisa de prestações baixas até lá); a Price, a quem quer prestações iguais e previsíveis; o SAC, a quem consegue pagar prestações maiores no início para reduzir a dívida mais depressa.Um empréstimo de R$ 200.000,00 pelo sistema americano, por 3 anos a 8% a.a., com juros pagos anualmente. Qual o valor do último pagamento e o total de juros?Gabarito: R$ 216.000,00 e R$ 48.000,00 — os juros anuais são 8% de 200.000 = 16.000; no último ano paga-se o principal mais esses juros, e no total são 3 × 16.000 = 48.000. R$ 251.942,40 é o que se pagaria se os juros fossem capitalizados e pagos só no fim.Para o mesmo principal, taxa e prazo, o sistema americano gera mais juros totais que o SAC. Por quê?Gabarito: Porque o saldo devedor não diminui ao longo do prazo, e os juros incidem sobre o principal inteiro em todos os períodos — a taxa é a mesma nos dois; o que muda é por quanto tempo o dinheiro fica emprestado. Prestações iguais são da Price, não do americano.Exercícios1) Um banco libera um crédito de R$ 60.000,00 a uma empresa, para pagamento pelo Sistema Price em 20 trimestres, sendo a taxa de 6% a.t. Obtenha a planilha até o terceiro trimestre.2) Na compra de um apartamento, o Sr. Almeida recebeu um empréstimo de R$ 280.000,00, que deverá ser pago pelo sistema Price em 240 meses à taxa de 0,9% a.m. Qual o saldo devedor após o pagamento da 51ª prestação?3) O senhor Moura recebeu um financiamento de R$ 500.000,00 para a compra de uma casa, sendo adotado o Sistema Price à taxa de 1,5% a.m. para pagamento em 180 meses. Qual o estado da dívida após o pagamento da 64ª prestação? (despreze os centavos)4) O valor de R$ 1.500.000,00 é financiado à taxa de 10% a.a., para ser amortizado pelo sistema americano em três anos: os juros são pagos anualmente e o principal é devolvido de uma só vez ao fim do terceiro ano. Construa a planilha.5) Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ 120.000,00 a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, que deverá ser pago em 10 parcelas iguais. Qual o valor dos juros pagos na 8ª parcela?6) (BNDES) Assinale a opção correta. O Sistema Francês de Amortização é caracterizado por:a) Juros crescentes e prestação crescente.b) Prestação decrescente e juros crescentes.c) Amortização e juros decrescentes.d) Juros e amortização crescentes.e) Amortização crescente e prestação constante.7) O valor de 3.600 UR pode ser financiado pelo SAC ou pelo sistema francês. Sabendo-se que a taxa de juros é de 1% a.m. e que serão pagas 180 prestações mensais, obtenha:a) O valor da prestação pelo sistema francês.b) Os valores das três primeiras prestações pelo SAC.c) O mês a partir do qual a prestação pelo SAC se torna inferior à prestação pelo sistema francês.Gabarito1) Prestação: R$ 5.231,07. Trimestre 1: juros R$ 3.600,00, amortização R$ 1.631,07, saldo R$ 58.368,93. Trimestre 2: juros R$ 3.502,14, amortização R$ 1.728,94, saldo R$ 56.639,99. Trimestre 3: juros R$ 3.398,40, amortização R$ 1.832,67, saldo R$ 54.807,31.2) R$ 258.624,973) R$ 441.361,004) Anos 1 e 2: juros e prestação de R$ 150.000,00, saldo de R$ 1.500.000,00. Ano 3: juros de R$ 150.000,00, amortização de R$ 1.500.000,00, prestação de R$ 1.650.000,00. Total de juros: R$ 450.000,00.5) R$ 770,536) E7) a) 43,21 UR; b) 56,00 UR; 55,80 UR; 55,60 UR; c) 65º mês.
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