A matemática financeira em concursos: logaritmo

Em concursos, por alguns desses não permitirem o uso de calculadoras, se utiliza logarítmo para o cálculo dos montates em juros compostos. O estudo do logaritmo surgiu, sobretudo, como um auxílio na solução de equações exponenciais. Ele está presente, também, em modelos matemáticos utilizados várias áreas.

Em outras palavras, o logarítmo consegue transformar equações exponenciais em equações lineares! Daí vem sua utilidade.

> Sendo a e b números reais positivos, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente em que a deve ser elevado de modo que a potência obtida de base a seja igual a b.

\[log_a b = x <=> a^{x} = b\]

Assim, o logaritmo nada mais é que um expoente. Dizemos que "a" é a base do logaritmo, "b" é o logaritmando e "x" é o logaritmo.

Propriedades do logaritmo

I) O logaritmo cujo o logaritmando é igual a 1 e a base é qualquer, é igual a zero;

II) O logaritmo cujo a base e o logaritmando são iguais é igual a um;

III) Dois logaritmos são iguais, numa mesma base, se os logaritmandos são iguais;

IV) Logaritmo do produto:

\[log_c(a · b) = log_c(a) + log_c(b)\]

V) Logaritmo da divisão:

\[log_c(\frac{a}{b}) = log_c(a) - log_c(b)\]

VI) Logaritmo da potência:

\[log_c(a^{b}) = b · log_c(a)\]

VII) Logaritmo de uma raiz:

\[log_c(a^{\frac{1}{b}}) = \frac{log_c(a)}{b}\]

Partindo da equação já conhecida de juros compostos:

\[ M_t = C · (1 + i)^{t} \]

\[ log(M_t) = log(C · (1 + i)^{t}) \]

\[ log(M_t) = log(C) + log((1 + i)^{t}) \]

\[ log(M_t) = log(C) + t · log(1 + i) \]

Percebe-se que a equação anteriormente exponencial passa a ser linear. Em outras palavras, toda vez que aumenta 1 no tempo, se adiciona log(1 + i) ao capital, sempre somando essa mesma quantia não importa o momento.

Exemplos

Uma importância de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros compostos de 2% ao mês durante 125 meses. Sabendo-se que log(1,02) = 0,008, qual o montante dessa operação?

\[ log(M_t) = log(C) + t · log(1 + i) \]

\[ log(M_t) = log(10.000) + 125 · log(1 + 0,02) \]

\[ log(M_t) = 4 + 125 · 0,008 \]

\[ log(M_t) = 4 + 125 · 0,008 = 5 \]

\[ M_t = 100.000 \]

Júlio dispõe de uma quantia Q, em reais, e pretende aplicá-la, no sistema de juros compostos, à taxa de 4% ao mês. Considerando log 2 = 0,3010 e log 1,04 = 0,0086, quanto tempo será necessário para que essa quantia seja quadruplicada?

\[ log(M_t) = log(C) + t · log(1 + i) \]

\[ log(4 · C) = log(C) + t · log(1 + 0,04) \]

\[ log(4 · C) - log(C) = t · log(1,04) \]

\[ log(\frac{4 · C}{C}) = t · log(1,04) \]

\[ log(\frac{4}{1}) = t · log(1,04) \]

\[ log(2^{2}) = t · 0,0086 \]

\[ 2 · log(2) = t · 0,0086 \]

\[ 2 · 0,3010 = t · 0,0086 \]

\[ t = \frac{2 · 0,3010}{0,0086} = \text{5 anos e 10 meses} \]

Queremos saber o prazo de uma transação, apenas pelos juros, montante e capital:

- Juros: 1% aos 30 dias;

- Montante: R$ 10.803,46;

- Capital: R$ 10.000,00;

\[ M = C · (1 + i)^{\frac{n}{m}}\]

\[ \frac{M}{C} = (1 + i)^{\frac{n}{m}}\]

\[ ln(\frac{M}{C}) = \frac{n}{m} · ln(1 + i)\]

\[ n = m · \frac{ln(\frac{M}{C})}{ln(1 + i)}\]

O número exato de dias entre a data do empréstimo e a data de recebimento é 233,00 dias, resultado obtido com:

\[ n = 30 · \frac{ln(\frac{10.803,46}{10.000})}{ln(1 + 0,01)} = 233,0014\]

1) Um investimento rende juros compostos a uma taxa de 6% ao ano. Depois de quantos anos, um valor inicial de R$ 1.000,00 chegará ao valor de R$ 10.000,00 com esse investimento? (Use log(1,06) = 0,025 )

2) Um investidor comprou por R$ 1000,00 um lote de ações de uma empresa e o revendeu, após n meses, por R$ 4000,00. Admitindo-se que a valorização mensal dessas ações tenha sido de 8% ao mês e utilizando as aproximações log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, o valor de n é?

3) Saulo aplicou R$ 45 000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava R$ 135 000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa? Dado: (Use a aproximação: log 3 = 0,48)

4) (PUC-SP) Um capital C, aplicado a juros compostos a uma taxa i por período, produz, ao final de n períodos, o montante M, dado por M = C . (1+ i)n. Nessas condições, utilizando-se Log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o capital de R$ 2.000,00, aplicado a juro composto à taxa de 20%a.a., produzirá o montante R$ 5.000, 00, ao final de um período de?

5) (CESGRANRIO-2008) Um investimento de R$1.000,00 foi feito sob taxa de juros compostos de 3% ao mês. Após um período t, em meses, o montante foi de R\$1.159,27. Qual o valor de t? (Dados: ln(1.000) = 6,91; ln(1.159,27) = 7,06 ; ln(1,03) = 0,03)

6) (ESPM) Uma importância de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros compostos de 4% ao mês durante 10 meses. Sabendo-se que log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17, podemos concluir que os juros obtidos nessa aplicação foram de?

7) (Pode usar calculadora) Para liquidar o financiamento de R$175.000 foi pago o valor de R$197.338,77. Considerando a taxa de juro de 2% aos 30 dias, calcule o prazo desse financiamento.

8) (Pode usar calculadora) Em quanto tempo por cada R$1 depositado numa conta remunerada pelo resultado de uma carteira de ações serão resgatados R$2,12023 considerando que o histórico de remuneração dessa carteira é de 4,20% aos 30 dias?

9) (Pode usar calculadora) Calcule em quanto tempo um capital pode gerar 40% de juro se for investido na taxa juro de 35,02% aos 365 dias.

1) 40 anos.

2) 15 meses.

3) 12 anos.

4) 5 anos.

5) t = 5.

6) R$ 4.800,00

7) 181 dias.

8) 547 dias.

9) 409 dias.