Empréstimos e como funciona a amortização

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Um empréstimo período a período: saldo devedor, juros, amortização, prestação e o sistema de amortizações constantes (SAC).

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Introdução

Nas operações de médio e longo prazo, por razões metodológicas ou contábeis, os empréstimos costumam ser analisados período por período: quanto se pagou de juros e quanto se devolveu do capital emprestado, também chamado de principal.

Amortização e saldo devedor

Vamos começar definindo os elementos deste estudo. O primeiro é o saldo devedor (ou estado da dívida), que definimos por recorrência.

Considere os instantes 0, 1, 2, …, n, na unidade de tempo da taxa de juros (em tudo o que segue, o regime é o de capitalização composta). Seja P o principal, isto é, o valor emprestado. O saldo devedor no instante 0, indicado por S0, é o próprio principal P. O saldo devedor no instante t é o saldo do instante anterior (t − 1), acrescido dos juros que ele produziu, menos o pagamento feito no instante t.

Notação:

  • St: saldo devedor no instante t
  • St−1: saldo devedor no instante t − 1
  • i: taxa de juros
  • Rt: pagamento feito no instante t
  • Jt: juros do período que vai de t − 1 a t, isto é, Jt = St−1 · i

Simbolicamente:

\[ S_t = S_{t-1} + J_t - R_t \]

Se os juros de cada período são pagos no fim do período, chamamos de amortização no instante t (indicada por At) a diferença entre o pagamento e os juros:

\[ A_t = R_t - J_t \]

A amortização é quanto do empréstimo você de fato devolveu naquele período: o valor pago menos os juros. Substituindo na primeira equação:

\[ S_t = S_{t-1} - A_t \]

Ou seja, a cada período o saldo devedor cai exatamente o valor amortizado. Como a dívida termina zerada, a soma de todas as amortizações é igual ao principal:

\[ P = A_1 + A_2 + A_3 + ... + A_n \]

Existem, portanto, inúmeras sequências de amortizações possíveis: qualquer uma cuja soma seja o principal. Cada sistema de amortização é uma regra para escolher essa sequência.

Na prática, o nome prestação costuma designar o pagamento acrescido de impostos e outros encargos (seguros, tarifas). Desconsiderando esses encargos, a prestação se reduz ao pagamento Rt, que é a soma da amortização com os juros do período.

Por fim, chamamos de planilha o quadro que mostra, em cada instante, os juros, a amortização, o saldo devedor e a prestação (e, quando houver, os impostos e encargos).

Exemplos

Um empréstimo de R\$ 50.000,00 deve ser devolvido em quatro prestações semestrais à taxa de juros de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações são semestrais, com os seguintes valores:

  • A1 = 5.000
  • A2 = 10.000
  • A3 = 15.000
  • A4 = 20.000

Os juros de cada semestre são 5% do saldo devedor do semestre anterior; a prestação é a amortização mais os juros.

SemestreSaldo devedorAmortizaçãoJurosPrestação
050.000---
145.0005.0002.5007.500
235.00010.0002.25012.250
320.00015.0001.75016.750
4-20.0001.00021.000
Total-50.0007.50057.500

Um empréstimo de R\$ 50.000,00 deve ser devolvido em quatro prestações semestrais à taxa de juros de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações semestrais são iguais.

  • A1 = A2 = A3 = A4 = 50.000 / 4 = 12.500
SemestreSaldo devedorAmortizaçãoJurosPrestação
050.000---
137.50012.5002.50015.000
225.00012.5001.87514.375
312.50012.5001.25013.750
4-12.50062513.125
Total-50.0006.25056.250

Um empréstimo de R\$ 50.000,00 deve ser devolvido em quatro prestações semestrais à taxa de 5% a.s., com juros pagos semestralmente. Obtenha a planilha, sabendo-se que:

  • A1 = 0
  • A2 = 0
  • A3 = 0
  • A4 = 50.000
SemestreSaldo devedorAmortizaçãoJurosPrestação
050.000---
150.00002.5002.500
250.00002.5002.500
350.00002.5002.500
4-50.0002.50052.500
Total-50.00010.00060.000

Compare os três exemplos: o principal e a taxa são os mesmos, mas o total de juros vai de R$ 6.250 a R$ 10.000. Quanto mais devagar se amortiza, mais tempo o saldo devedor fica alto e mais juros ele gera.

Um empréstimo de R$ 10.000,00 cobra 3% ao mês. No primeiro mês, o devedor amortiza R$ 4.000,00. Quanto ele paga nesse mês e qual o saldo devedor depois do pagamento?

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Gabarito: Paga R$ 4.300,00; saldo de R$ 6.000,00 — os juros do mês são 3% de 10.000 = 300, e o pagamento é amortização mais juros. O saldo cai só o valor amortizado, 10.000 − 4.000 = 6.000; os juros pagos não reduzem a dívida.

Sistema de amortizações constantes (SAC)

Entre as inúmeras maneiras de amortizar o principal, o sistema de amortizações constantes (SAC) é um dos mais usados na prática; no Brasil, é comum no financiamento imobiliário. Nele, todas as amortizações são iguais. Considerando um principal P a ser amortizado em n parcelas, com pagamento dos juros em todos os períodos:

\[ A_1 = A_2 = ... = A_n = A = \frac{P}{n} \]

O valor das prestações é:

\[ R_1 = A + J_1 = A + P \cdot i \]

\[ R_2 = A + J_2 = A + (P - A) \cdot i \]

\[ R_3 = A + J_3 = A + (P - 2A) \cdot i \]

e, em geral, como antes do t-ésimo pagamento já foram amortizadas t − 1 parcelas:

\[ R_t = A + J_t = A + (P - (t - 1) \cdot A) \cdot i \]

Repare que o saldo devedor cai A a cada período, então os juros caem A · i a cada período, e as prestações também: no SAC elas são decrescentes, formando uma progressão aritmética.

Exemplo

Um empréstimo de 800 mil dólares deve ser devolvido em cinco prestações semestrais pelo SAC à taxa de 4% a.s. Obtenha a planilha.

A amortização é 800 / 5 = 160 mil dólares por semestre. Valores da tabela em milhares de dólares:

SemestreSaldo devedorAmortizaçãoJurosPrestação
0800---
164016032192
248016025,60185,60
332016019,20179,20
416016012,80172,80
5-1606,40166,40
Total-80096896

Um empréstimo de R$ 60.000,00 será pago pelo SAC em 12 prestações mensais, a 2% a.m. Qual o valor da 5ª prestação?

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Gabarito: R$ 5.800,00 — a amortização é 60.000 / 12 = 5.000; antes da 5ª prestação já foram amortizadas 4 parcelas, então o saldo é 40.000 e os juros são 800. R$ 6.200,00 é a 1ª prestação, e R$ 5.900,00 sai quando se descontam só 3 amortizações.

No mesmo empréstimo (R$ 60.000,00, SAC, 12 meses, 2% a.m.), de quanto a prestação diminui de um mês para o outro?

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Gabarito: R$ 100,00 — a cada mês o saldo cai uma amortização (5.000), e os juros caem 2% disso, 100. Prestação fixa é característica do sistema francês (Price), não do SAC.

Exercícios

1) Um empréstimo de R$ 21.000,00 deve ser pago em seis prestações semestrais à taxa de 8% a.s. Obtenha a planilha, sabendo-se que as amortizações semestrais têm os seguintes valores: 1.000, 2.000, 3.000, 4.000, 5.000 e 6.000.

2) Um banco libera para uma empresa um crédito de R$ 120.000,00 para ser devolvido pelo SAC em seis parcelas trimestrais. Obtenha a planilha, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% a.t.

3) Um empréstimo de R$ 40.000,00 deve ser devolvido pelo SAC em 40 prestações mensais. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.m., obtenha a amortização, os juros, a prestação e o saldo devedor correspondentes ao 21º mês.

4) Um empréstimo de 250 mil dólares deve ser devolvido pelo SAC em 50 prestações mensais, sendo de 2% a.m. a taxa de juros cobrada. Pede-se o valor da 2ª prestação e o valor da 37ª prestação.

Gabarito

1) Prestações: R$ 2.680,00; R$ 3.600,00; R$ 4.440,00; R$ 5.200,00; R$ 5.880,00; R$ 6.480,00. Total de juros: R$ 7.280,00.

2) Amortização de R$ 20.000,00 por trimestre; juros de R$ 6.000,00, 5.000,00, 4.000,00, 3.000,00, 2.000,00 e 1.000,00; prestações de R$ 26.000,00, 25.000,00, 24.000,00, 23.000,00, 22.000,00 e 21.000,00.

3) Amortização: R$ 1.000,00; Juros: R$ 400,00; Prestação: R$ 1.400,00; Saldo devedor: R$ 19.000,00.

4) 9.900 dólares e 6.400 dólares.

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