Descontos compostos: valor do título ao seu valor líquido

No regime de juros compostos, os descontos de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d por período, sobre o capital existente no início do período de desconto. Seguindo as mesmas nomenclaturas:

- Valor total do desconto de: D

- Valor total do título: N

- Valor líquido do título: Vd

- taxa de desconto: d

- Número de períodos: t

Assim, temos:

a) no 1o período de desconto (n = 1):

capital no início do período = N

desconto do período = N x d

capital no final do período = Vd = N – N x d = N (1 – d)

b) no 2o período de desconto (n = 2):

capital no início do período = N (1 – d)

juros do período = N (1 – d) x d

capital no final do período = Vd = N (1 – d) – N (1 – d) x d = N (1 – d) x (1 – d)

e, portanto,

\[ Vd = N (1 – d)^{2} \]

c) A expressão para o valor presente N, no final do 3o período de desconto, pode ser deduzida de forma análoga:

\[ Vd = N (1 – d)^{3} \]

d) No enésimo período de desconto:

\[ Vd = N (1 – d)^{t} \]

Exemplos

Um título com o valor de $ 10.000,00, com 60 dias para seu vencimento, é descontado no regime de juros compostos, com uma taxa de desconto “por fora” igual a 1,2% ao mês. Calcule o valor presente do título e o valor do desconto composto, expresso em $.

\[ t = 60\text{ dias}; d = 1,2\% a.m. ; N = 10.000; Vd = ?; D = ?; \]

\[ Vd = N (1 – d)^{t} = 10.000 · (1-0,012)^{2} = 10.000 · 0,97614 = 9.761,44 \]

\[ D = N - Vd = 10.000 - 9.761,44 = 238,56 \]

Valor nominal (N) é o valor de compromisso na data de seu vencimento, enquanto valor atual(Vd) seria seu valor presente, onde, aplicado a juros compostos a partir desta data até seu vencimento, produz um montante de valor igual ao Nominal.

Logo:

\[ Vd (1 + i)^{t} = N \]

\[ Vd = \frac{ N}{(1 + i)^{t}}\]

Se fizermos uma comparação com a taxa de desconto:

\[ Vd = \frac{ N}{(1 + i)^{t}} = N (1 – d)^{t} \]

\[ \frac{1}{(1 + i)^{t}} = (1 – d)^{t} \]

\[ \frac{1}{(1 + i)} = 1 – d \]

\[ d = 1 - \frac{1}{(1 + i)} \]

Exemplos

uma pessoa tem uma dívida de R$ 10.000,00 vencível daqui a três meses. Qual seu valor atual hoje, considerando uma taxa de juros de 1,5% a.m.?

\[ Vd = \frac{ N}{(1 + i)^{t}} = \frac{10.000}{(1,015)^{3}} = 9.563,17 \]

Um banco comercial realiza suas operações de crédito com uma taxa de juros de 6,00% ao semestre. Entretanto, os juros são pagos antecipadamente, por ocasião da liberação dos recursos. Assim, para cada $ 1.000,00 de empréstimo, a ser liquidado no prazo de seis meses, esse banco libera um principal de $ 940,00. Calcule a taxa efetiva mensal cobrada nessas operações, no regime de juros compostos.

\[ d = 6\% a.s. \]

\[ 0,06 = 1 - \frac{1}{(1 + i)} \]

\[ - 0,94 = - \frac{1}{(1 + i)} \]

\[ 0,94 + 0,94 · i = 1 \]

\[ 0,94 · i = 0,06 \]

\[ i_{\text{semestral}} = \frac{0,06}{0,94} = 6,38\% \]

\[ i_{\text{mensal}} = (1 + 0,0638)^{\frac{1}{6}} = 1,036\% \]

1) A relação entre o presente e o futuro da operação financeira com dois capitais no regime de juro composto é igual a 2. Se o prazo dessa operação foi de 730 dias, calcule a taxa de juro com período de 30 dias.

2) Foram investidos $120.000 para comprar ações. Depois de 276 dias as ações foram vendidas pelo valor de $140.981,02. Calcule a taxa de juro com período de 365 dias.

3) Uma dívida de R$ 80.000,00 vence daqui a 5 meses. Considerando uma taxa de juros de 1,3% a.m., obtenha seu valor atual nas seguintes datas:

a) Hoje.

b) Daqui a 2 meses.

c) Dois meses antes do vencimento.

4) Quanto devo aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 1,5% a.m., para fazer frente a um compromisso de R$ 27.000,00 daqui a dois meses?

5) Quanto devo aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 3% a.m., para fazer frente a um compromisso de R$ 27.000,00 daqui a dois meses?

6) Uma dívida de R$ 50.000,00 vence daqui a dois meses e outra de R$ 60.000,00 vence daqui a 4 meses. Quanto devo aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 0,8% a.m. para fazer frente a esses compromissos?

7) Uma dívida de R$ 60.000,00 vence daqui a dois meses, outra de R$ 70.000,00 vence daqui a 3 meses e R$ 80.000 para daqui 4 meses. Quanto devo aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 0,8% a.m. para fazer frente a esses compromissos?

8) Um equipamento é vendido por R$ 50.000,00 para pagamento daqui a dois meses. À vista há um desconto de 3,5%. Qual a melhor opção de pagamento para um comprador que consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,8% a.m.

9) Um equipamento é vendido por R$ 50.000,00 para pagamento daqui a dois meses. À vista há um desconto de 3,5%. Qual a melhor opção de pagamento para um comprador que consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,4% a.m.

10) O que é melhor para um comprador: pagar um valor daqui a 45 dias ou pagar à vista com 3% de desconto? Suponha que o comprador consiga aplicar seu dinheiro à taxa de 1,3% a.m.

11) Qual taxa de aplicação deixa um comprador indiferente entre as alternativas se elas são: pagar um valor daqui a 45 dias ou pagar à vista com 3% de desconto.

12) Rogério possui um título de dívida com vencimento daqui a 6 meses e de valor nominal igual a R$ 85.000,00. Ernesto propõe-lhe trocar por um título vencível daqui a três meses, de valor igual a R$ 82.000,00. Sendo de 1% a.m. a taxa de juros compostos de mercado, verifique se a troca é vantajosa para Rogério.

1) 2,8895% aos 30 dias

2) 23,75%

3) a) R$ 74.996,80 ; b) R$ 76.959,40; c) R$ 77.959,87;

4) R$ 26.207,87

5) R$ 25.450,09

6) R$ 107.327,29

7) R$ 204.888,32

8) A prazo

9) À vista

10) À vista

11) 2,05% a.m.

12) É vantajosa.