IntroductionDans le cours sur les coûts de stockage, nous avons vu le dilemme : les grosses commandes réduisent les coûts de passation, mais augmentent les coûts de possession du stock ; les petites commandes produisent l’effet inverse. Pour trouver le bon équilibre, on peut calculer, pour chaque article, une quantité optimale à commander : la quantité économique de commande (LEC), appelée economic order quantity (EOQ) en anglais.Le LEC correspond à la quantité qui minimise le coût total lorsqu’elle est commandée à chaque réapprovisionnement. Cette formule ancienne est généralement attribuée à Ford W. Harris, qui l’a publiée en 1913. Elle est aussi connue sous le nom de formule de Wilson, d’après R. H. Wilson, le consultant qui l’a diffusée dans les entreprises. Plus de cent ans après, elle reste intégrée aux logiciels de gestion des stocks et aux ERP.Les hypothèses du modèlePour obtenir une formule simple, le modèle repose sur plusieurs hypothèses concernant le stock :la demande annuelle (D) est connue et la consommation est constante : la même quantité sort du stock chaque jour ;le stock est toujours réapprovisionné de la même quantité (Q) ;le réapprovisionnement est instantané et intervient exactement lorsque le stock atteint zéro ;il n’y a aucune rupture de stock : toute la demande est satisfaite ;le coût de passation de chaque commande (Cp) et le coût annuel de possession par unité (Cm) sont fixes, et le prix ne varie pas selon la quantité achetée (cette dernière hypothèse sera levée dans la section consacrée aux remises).Dans ces conditions, le niveau du stock suit la célèbre courbe « en dents de scie » : un lot Q arrive, le stock diminue régulièrement jusqu’à zéro, puis un nouveau lot Q arrive, et ainsi de suite. Si la consommation quotidienne est d et le délai entre deux réapprovisionnements est t, alors Q = d × t.Dans la réalité, aucune entreprise ne connaît une demande parfaitement constante ni des livraisons instantanées. Le modèle reste néanmoins utile, car le coût total varie peu en cas d’erreur dans les données, comme nous le verrons plus loin. Les hypothèses les moins réalistes seront par ailleurs prises en compte dans les cours suivants : le délai de livraison et l’incertitude de la demande interviennent dans le calcul du stock de sécurité et du point de commande.La formule de la quantité économique de commandePour satisfaire une demande annuelle D avec des lots de Q unités, l’entreprise passe D ÷ Q commandes par an. Puisque le stock diminue régulièrement de Q à zéro, le stock moyen est de Q ÷ 2. On obtient donc :Coût annuel de passation des commandes = (D ÷ Q) × CpCoût annuel de possession du stock = (Q ÷ 2) × CmLe Cm peut être exprimé de deux façons. Il faut bien les distinguer :en montant par unité : « conserver une unité en stock coûte R$ 2 par an » → Cm = R$ 2 ;en pourcentage du prix : « le coût de possession est de 20% par an » et l’article coûte R$ 5 → Cm = 20% × 5 = R$ 1 par unité et par an.Le coût du stock est la somme de ces deux composantes :Coût du stock = (Q ÷ 2) × Cm + (D ÷ Q) × CpLe coût de possession augmente avec la taille du lot, tandis que le coût de passation des commandes diminue ; leur somme est minimale au LECLe graphique montre comment ces coûts évoluent lorsque Q varie : le coût de possession augmente de façon linéaire, le coût de passation des commandes diminue, et leur somme atteint un minimum. Dans ce modèle, ce minimum se situe exactement au point où les deux coûts sont égaux :(Q ÷ 2) × Cm = (D ÷ Q) × CpEn isolant Q, on obtient la formule de la quantité économique de commande :LEC = √(2 × D × Cp ÷ Cm)(Si vous connaissez les dérivées, vous pouvez le vérifier : en dérivant le coût par rapport à Q, puis en posant cette dérivée égale à zéro, vous retrouvez la même expression.)Deux autres grandeurs se calculent à partir du LEC :Nombre de commandes par an = D ÷ LECIntervalle entre les commandes = LEC ÷ D (en années ; multipliez par 365, ou par le nombre de jours ouvrés, pour l’obtenir en jours). Cet intervalle constitue la base du système de révision périodique, abordé dans un autre cours de la série.Attention aux unités : D, Cp et Cm doivent correspondre à la même période. Si la demande est mensuelle et que le Cm est annuel, convertissez l’un des deux avant de calculer.Exemple corrigéUne entreprise achète des pièces pour panneaux à R$ 5,00 l’unité. Sa consommation prévue pour l’année prochaine est de 4.000 unités. Chaque commande passée au fournisseur coûte R$ 30,00, et conserver une pièce en stock coûte R$ 1,50 par an. Déterminez : a) la quantité économique de commande ; b) le nombre de commandes par an ; c) le coût total correspondant à cette quantité.a) LEC = √(2 × 4.000 × 30 ÷ 1,5) = √160.000 = 400 unitésb) Nombre de commandes = 4.000 ÷ 400 = 10 commandes par an (soit environ une tous les 36,5 jours)c) En ajoutant le coût d’achat aux coûts du stock :CT = D × P + (Q ÷ 2) × Cm + (D ÷ Q) × Cp = 4.000 × 5 + 200 × 1,5 + 10 × 30 = 20.000 + 300 + 300 = R$ 20.600Notez qu’au LEC, le coût de possession (R$ 300) est égal au coût de passation des commandes (R$ 300), conformément à la théorie. Cette égalité permet de vérifier le calcul.Une entreprise consomme 7.200 unités d’un article par an. Chaque commande coûte R$ 100, et conserver une unité en stock coûte R$ 4 par an. Combien de commandes doit-elle passer chaque année si elle applique la quantité économique de commande ?Réponse : 12 commandes — LEC = √(2 × 7.200 × 100 ÷ 4) = √360.000 = 600 unités, et 7.200 ÷ 600 = 12 commandes par an. 600 correspond à la taille du lot, pas au nombre de commandes.Le coût total varie peu au voisinage du LECUne objection revient souvent : « Les coûts de passation et de possession ne sont que des estimations, donc le LEC est faux. » Il peut effectivement être légèrement inexact. Mais la courbe du coût total est presque plate autour de son minimum. Voici les coûts du stock de l’exemple précédent pour différentes tailles de lot :Lot QCommandes (D ÷ Q × 30)Possession (Q ÷ 2 × 1,5)Coût du stockÉcart par rapport au minimum200R$ 600R$ 150R$ 750+25%300R$ 400R$ 225R$ 625+4%400 (LEC)R$ 300R$ 300R$ 600—500R$ 240R$ 375R$ 615+2,5%600R$ 200R$ 450R$ 650+8%800R$ 150R$ 600R$ 750+25%Un lot supérieur ou inférieur de 25% à la quantité optimale (300 ou 500) n’augmente le coût que de 2,5% à 4%. Cela a deux conséquences pratiques :on peut arrondir le LEC pour respecter le conditionnement, la taille des palettes ou les multiples de vente du fournisseur sans grande crainte ;le LEC est robuste face aux erreurs d’estimation : comme la formule comporte une racine carrée, si le Cp estimé est deux fois plus élevé que le coût réel, le lot calculé n’est supérieur que de 41% (√2 ≈ 1,41), et son coût ne dépasse que légèrement le minimum.La demande annuelle d’un article a été multipliée par quatre, tandis que les coûts de passation des commandes et de possession par unité sont restés inchangés. Qu’advient-il de la quantité économique de commande ?Réponse : Elle double — la demande se trouve sous la racine carrée : √4 = 2. Le nombre de commandes par an double lui aussi (demande multipliée par 4 �� lot multiplié par 2). La quantité serait multipliée par quatre si le LEC était proportionnel à la demande, ce qui n’est pas le cas.Les achats avec remises sur quantitéUn fournisseur accorde souvent une remise à partir d’une quantité minimale commandée. Le prix dépend alors de la taille du lot, et l’hypothèse d’un prix fixe ne tient plus. La remise réduit le coût d’achat, qui représente la plus grande part du coût total, mais impose des lots plus importants et augmente ainsi le coût de possession.Il existe des formules élaborées pour ce cas, mais la méthode la plus simple et la plus sûre consiste à calculer le coût total, coût d’achat compris, pour chaque tranche de prix, puis à retenir le plus faible :Pour chaque tranche de prix, calculez le LEC avec le Cm correspondant à ce prix (lorsque le Cm est un pourcentage, il varie avec le prix).Si le LEC calculé est inférieur à la quantité minimale de la tranche, retenez cette quantité minimale : c’est le plus petit lot donnant droit à la remise. Si le LEC se situe dans la tranche, retenez-le.Calculez le coût total CT = D × P + (Q ÷ 2) × Cm + (D ÷ Q) × Cp pour chaque lot envisagé.Choisissez celui dont le coût total est le plus faible.Exemple corrigéUne entreprise achète un produit destiné à la revente à R$ 5,00 l’unité. Son fournisseur propose les tarifs suivants : R$ 4,80 l’unité pour les commandes de 1.000 à 1.999 unités, et R$ 4,75 à partir de 2.000 unités. Chaque commande coûte R$ 49,00, le coût de possession est de 20% par an et la demande prévue est de 5.000 unités par an. Quelle quantité faut-il commander pour minimiser le coût total ?Tranche à R$ 5,00 (Cm = 20% × 5 = R$ 1,00) : LEC = √(2 × 5.000 × 49 ÷ 1) = √490.000 = 700 unités, ce qui se situe dans la tranche.Tranche à R$ 4,80 (Cm = R$ 0,96) : le LEC serait de √(490.000 ÷ 0,96) ≈ 714, soit moins que le minimum de 1.000. On retient Q = 1.000.Tranche à R$ 4,75 (Cm = R$ 0,95) : le LEC serait de ≈ 718, soit moins que le minimum de 2.000. On retient Q = 2.000.QAchatPossessionCommandesCoût total700 à R$ 5,00R$ 25.000350 × 1,00 = R$ 3505.000 ÷ 700 × 49 = R$ 350R$ 25.7001.000 à R$ 4,80R$ 24.000500 × 0,96 = R$ 4805 × 49 = R$ 245R$ 24.7252.000 à R$ 4,75R$ 23.7501.000 × 0,95 = R$ 9502,5 × 49 = R$ 122,50R$ 24.822,50La meilleure option consiste à commander 1.000 unités à chaque fois. La seconde remise abaisse encore le coût d’achat de R$ 250, mais oblige à conserver deux fois plus de stock : le surcoût de possession annule cette économie.Un article fait l’objet d’une demande de 1.200 unités par an. Le coût de passation est de R$ 50 par commande et le coût de possession de 20% par an. Son prix est de R$ 10, mais passe à R$ 9,50 pour les commandes d’au moins 500 unités. Au prix normal, le LEC est d’environ 245 unités et le coût total d’environ R$ 12.490. Que doit faire l’entreprise ?Réponse : Commander 500 unités à R$ 9,50, pour un coût total de R$ 11.995 — achat 1.200 × 9,50 = R$ 11.400 ; commandes 1.200 ÷ 500 × 50 = R$ 120 ; possession 250 × 1,90 = R$ 475 ; total R$ 11.995, soit moins que R$ 12.490. Commander 251 unités à R$ 9,50 n’est pas possible : la remise ne s’applique pas en dessous de 500 unités.Les limites du modèleLe LEC est un point de départ, pas une règle absolue. Certaines situations exigent de l’adapter :Délai de livraison. Le modèle suppose que le lot arrive dès que la commande est passée. En pratique, il existe un délai d’approvisionnement : il faut commander avant l’épuisement du stock. Voir le cours sur le délai d’approvisionnement et le stock de sécurité.Demande incertaine. Lorsque la demande varie, le LEC reste utile pour déterminer la taille du lot, mais un stock de sécurité est nécessaire pour éviter les ruptures.Production interne. Lorsqu’un article est fabriqué par l’entreprise et entre progressivement en stock tout en étant consommé, on utilise une variante appelée lot économique de production, qui tient compte de la cadence de production.Contraintes matérielles et financières. L’espace d’entreposage, la durée de conservation du produit, le conditionnement minimal du fournisseur ou la trésorerie disponible peuvent empêcher de commander le lot calculé. Comme le coût varie peu autour de l’optimum, adapter le lot à ces contraintes entraîne généralement un faible surcoût.ExercicesFaciles1) (Épreuve de logistique, CEFET/RJ, 2018) Eletrônica Estrela utilise 3.000 unités d’un article par an. Passer une commande coûte R$ 60,00, et conserver chaque unité en stock coûte R$ 1,00 par an. Pour minimiser le coût total du stock, combien d’unités faut-il commander à chaque fois ?2) La demande annuelle pour un article vendu par une entreprise est de 15.000 unités. Le coût de stockage est de R$ 0,80 par unité et par an, et le coût de passation d’une commande est de R$ 35,00. Déterminez la quantité économique de commande.3) Un article fait l’objet d’une demande de 2.400 unités par an. Le coût de passation d’une commande est de R$ 75,00 et le coût de stockage de R$ 4,00 par unité et par an. Calculez la quantité économique de commande, le nombre de commandes par an et l’intervalle entre deux commandes en jours (année de 365 jours).4) Un article coûte R$ 25,00. Le taux annuel de stockage est de 20%, la demande annuelle de 5.000 unités et chaque commande coûte R$ 40,00. Quelle est la quantité économique de commande ?5) Une entreprise a informatisé ses achats, ce qui a ramené le coût de chaque commande au quart de son montant initial. La demande et le coût de stockage restent inchangés. Quel est l’effet sur la quantité économique de commande ?Questions difficiles6) L’entreprise VendeMais vend un produit dont la demande annuelle est de 40.000 unités. Passer une commande d’achat coûte R$ 30,00. Le coût annuel de stockage est de R$ 0,30 par unité. À cela s’ajoutent des coûts fixes de R$ 50,00 par an pour cet article, indépendants de la taille des lots. Calculez :a) le coût total de gestion des stocks avec des lots de 2.500 unités (hors coût d’achat) ;b) la quantité économique de commande.7) Une usine de matériel électronique utilise 600 circuits imprimés par an. Chaque commande coûte R$ 20,00. Le coût de stockage est de R$ 0,10 par unité et par an, calculé sur le stock moyen. S’y ajoute un coût d’entreposage de R$ 0,025 par unité et par an, calculé sur l’espace nécessaire au stock maximal. Chaque circuit imprimé coûte R$ 1,00. Calculez :a) la quantité économique de commande ;b) le coût total (achat compris) ;c) le nombre de commandes passées par an.8) Un fabricant d’électroménager prévoit de vendre 4.500 réfrigérateurs par mois l’année prochaine. Chaque réfrigérateur contient un compresseur acheté R$ 18,00 l’unité, selon la quantité économique de commande. Stocker un compresseur coûte R$ 1,536 par an et passer une commande coûte R$ 200,00.a) Quelle quantité de compresseurs faut-il commander à chaque fois ?b) Combien de commandes seront passées par an ?9) Une entreprise commande actuellement la quantité économique. La demande annuelle est de 1.800 unités, la quantité économique de commande de 600 unités, le coût de stockage de R$ 2,50 par unité et par an, et le coût de passation d’une commande de R$ 250,00. Elle envisage une nouvelle politique : des livraisons directement sur la ligne de production, par lots de 100 unités placées dans des conteneurs coûtant R$ 35,00 chacun (ce montant devient le coût de chaque livraison). Quelle option est la plus avantageuse pour l’entreprise ?10) Un supermarché achète du riz en paquets de 5 kg et prévoit d’en vendre 25.000 kg par an. Le fournisseur n’accepte que trois tailles de commande : 10.000 kg, à R$ 7,00 le paquet ; 15.000 kg, à R$ 6,50 le paquet ; ou 20.000 kg, à R$ 6,00 le paquet. Le traitement d’une commande de riz coûte R$ 3.500,00, et les coûts de stockage et de financement représentent ensemble 50% du prix par an. Quelle taille de commande le supermarché doit-il choisir ?Corrigé1) QEC = √(2 × 3.000 × 60 ÷ 1) = √360.000 = 600 unités.2) QEC = √(2 × 15.000 × 35 ÷ 0,80) = √1.312.500 ≈ 1.146 unités.3) QEC = √(2 × 2.400 × 75 ÷ 4) = √90.000 = 300 unités. Commandes par an : 2.400 ÷ 300 = 8. Intervalle : 365 ÷ 8 ≈ 45,6 jours (ou 300 ÷ 2.400 = 0,125 an × 365).4) Calculons d’abord le coût de stockage : 20% × 25 = R$ 5,00 par unité et par an. QEC = √(2 × 5.000 × 40 ÷ 5) = √80.000 ≈ 283 unités.5) La quantité économique de commande est divisée par deux. Le coût de passation d’une commande figure sous la racine carrée : s’il est multiplié par 1/4, la QEC est multipliée par √(1/4) = 1/2. L’entreprise commande donc de plus petits lots, passe deux fois plus de commandes et réduit de moitié son stock moyen.6) a) Commandes : 40.000 ÷ 2.500 = 16 × 30 = R$ 480 ; stockage : 2.500 ÷ 2 = 1.250 × 0,30 = R$ 375 ; coûts fixes : R$ 50. Total : R$ 905.b) QEC = √(2 × 40.000 × 30 ÷ 0,30) = √8.000.000 ≈ 2.828 unités. Les coûts fixes de R$ 50 n’entrent pas dans la formule, car ils ne varient pas selon la taille du lot.7) Deux coûts sont à prendre en compte : R$ 0,10 calculé sur le stock moyen (Q ÷ 2) et R$ 0,025 calculé sur le stock maximal (Q). Le coût de gestion du stock est donc de (Q ÷ 2) × 0,10 + Q × 0,025 + (600 ÷ Q) × 20. Cela revient à utiliser un coût de stockage de 0,10 + 2 × 0,025 = 0,15 dans la formule.a) QEC = √(2 × 600 × 20 ÷ 0,15) = √160.000 = 400 unités.b) Achat : 600 × 1,00 = R$ 600 ; stockage : 200 × 0,10 = R$ 20 ; entreposage : 400 × 0,025 = R$ 10 ; commandes : 1,5 × 20 = R$ 30. Total : R$ 660.c) 600 ÷ 400 = 1,5 commande par an (3 commandes tous les 2 ans).8) Calculons d’abord la demande annuelle : 4.500 × 12 = 54.000 compresseurs (le coût de stockage est annuel).a) QEC = √(2 × 54.000 × 200 ÷ 1,536) = √14.062.500 = 3.750 compresseurs.b) 54.000 ÷ 3.750 = 14,4 commandes par an.Le prix de R$ 18,00 n’entre pas dans la formule, car le coût de stockage est déjà exprimé en réaux.9) Politique actuelle : 1.800 ÷ 600 = 3 commandes × 250 = R$ 750 ; stockage : 600 ÷ 2 = 300 × 2,50 = R$ 750 ; R$ 1.500 par an.Nouvelle politique : 1.800 ÷ 100 = 18 livraisons × 35 = R$ 630 ; stockage : 50 × 2,50 = R$ 125 ; R$ 755 par an.La livraison par lots de 100 unités est la meilleure option : son coût est presque deux fois moins élevé. Le passage de R$ 250 à R$ 35 par livraison modifie la taille de lot optimale et permet à l’entreprise de détenir beaucoup moins de stock.10) Demande exprimée en paquets : 25.000 ÷ 5 = 5.000 par an. Les commandes possibles portent sur 2.000, 3.000 ou 4.000 paquets (10, 15 et 20 mille kg). Le coût de stockage annuel correspond à 50% du prix de chaque option :2.000 à R$ 7,00 (coût de stockage = 3,50) : 5.000 × 7 = 35.000 + 2,5 commandes × 3.500 = 8.750 + 1.000 × 3,50 = 3.500 ; total : R$ 47.250 ;3.000 à R$ 6,50 (coût de stockage = 3,25) : 32.500 + 1,667 × 3.500 = 5.833,33 + 1.500 × 3,25 = 4.875 ; total : R$ 43.208,33 ;4.000 à R$ 6,00 (coût de stockage = 3,00) : 30.000 + 1,25 × 3.500 = 4.375 + 2.000 × 3,00 = 6.000 ; total : R$ 40.375.Le coût le plus faible correspond à une commande de 4.000 paquets (20.000 kg) à chaque fois. La remise sur le prix d’achat (R$ 5.000 par an par rapport au plein tarif) compense largement le surcoût de stockage.
Réactions
0
0 commentaires
Soyez le premier à commenter
Rien ici encore.