Prévision de la demande : moyenne pondérée, lissage exponentiel et moindres carrés

30/10/2026 •0•0

Comment prévoir la demande en accordant plus de poids aux données récentes, en corrigeant les erreurs par lissage exponentiel et en dégageant une tendance grâce à la droite des moindres carrés.

Écrit parLeon

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Révisé parEditorial

Introduction

Dans la leçon précédente, nous avons vu les deux méthodes de prévision les plus simples : reprendre la valeur de la dernière période et calculer la moyenne mobile des derniers mois. Toutes deux ont le même défaut : elles traitent le passé de manière uniforme. La première ignore tout l'historique antérieur ; la seconde accorde autant de poids au mois dernier qu'à un mois d'il y a un an, et tarde donc à détecter un changement durable de la demande.

Dans cette leçon, nous allons plus loin avec trois méthodes :

La moyenne mobile pondérée : les mois récents comptent davantage.
Le lissage exponentiel : une façon de pondérer tout l'historique en ne conservant que deux valeurs.
La méthode des moindres carrés (régression linéaire) : le premier modèle capable de prendre en compte une tendance, c'est-à-dire une demande qui augmente ou diminue régulièrement.

Enfin, nous verrons comment comparer ces méthodes en mesurant leurs erreurs. Aucune prévision n'est parfaite : la bonne question reste « laquelle se trompe le moins pour ce produit ? ».

Moyenne mobile pondérée

Dans une moyenne mobile sur 12 mois, chaque mois reçoit un poids de 1/12. Or, dans la plupart des entreprises, le mois dernier est plus révélateur du mois à venir qu'un mois d'il y a un an. La moyenne mobile pondérée tient compte de cette différence en attribuant à chaque période un poids (W) selon l'importance qu'on lui accorde :

Prévision = Σ (Dᵢ × Wᵢ) ÷ Σ Wᵢ

où Dᵢ représente la demande de la période i et Wᵢ son poids. Si la somme des poids est déjà égale à 1 (par exemple 0,5 ; 0,3 ; 0,2), il suffit d'additionner les produits.

Exemple. La consommation des trois derniers mois a été de 99, 100 et 102 unités. Nous leur attribuons respectivement des poids de 1, 2 et 3, le mois le plus récent comptant davantage :

Mois	Consommation	Poids	Consommation × poids
1	99	1	99
2	100	2	200
3	102	3	306
Total		6	605

Prévision pour le mois 4 = 605 ÷ 6 = 100,83 unités. La moyenne simple donnerait 100,33 ; la moyenne pondérée est plus proche de la valeur récente (102), car celle-ci représente la moitié du poids total.

Le choix des poids revient au responsable et se fait généralement par essais : on teste plusieurs jeux de poids sur les données historiques, puis on retient celui qui produit le moins d'erreurs (voir la dernière section). Si tous les poids sont égaux, on retrouve la moyenne mobile classique.

Un magasin a vendu 200, 260 et 300 unités au cours des trois derniers mois, du plus ancien au plus récent. Avec des poids de 0,2 ; 0,3 et 0,5, quelle est la prévision pour le mois prochain ?

Bonne réponse : 268 unités — 200 × 0,2 + 260 × 0,3 + 300 × 0,5 = 40 + 78 + 150 = 268. Puisque la somme des poids est déjà égale à 1, aucune division n'est nécessaire. 253,3 correspond à la moyenne simple, qui ne tient pas compte des poids.

Lissage exponentiel

Le lissage exponentiel (en anglais, exponential smoothing) est la technique de prévision des séries chronologiques la plus utilisée dans les systèmes de gestion des stocks. Il s'agit d'une moyenne pondérée dont les poids diminuent de façon exponentielle à mesure que l'on remonte dans le temps, d'où son nom. Sa formule est la suivante :

P(t+1) = α × D(t) + (1 − α) × P(t)

où :

P(t+1) est la prévision pour la période suivante ;
D(t) est la demande réelle de la période qui vient de s'achever ;
P(t) est la prévision établie pour cette même période ;
α (alpha) est le coefficient de lissage, compris entre 0 et 1.

En réorganisant les termes, on obtient une formule plus intuitive :

P(t+1) = P(t) + α × [D(t) − P(t)]

Autrement dit, la nouvelle prévision correspond à l'ancienne, corrigée d'une fraction α de l'erreur que nous venons de constater. Si les ventes ont dépassé les prévisions, la prévision augmente ; dans le cas contraire, elle diminue. La valeur de α détermine l'ampleur de la correction.

Pourquoi « exponentiel » ?

Si nous remplaçons P(t) par sa propre formule, puis faisons de même avec P(t−1), et ainsi de suite, nous obtenons :

P(t+1) = α × D(t) + α(1 − α) × D(t−1) + α(1 − α)² × D(t−2) + α(1 − α)³ × D(t−3) + ...

Chaque demande passée entre dans la prévision avec un poids égal au précédent multiplié par (1 − α). Tout l'historique compte, mais l'influence des données anciennes s'estompe. Surtout, il suffit de conserver deux valeurs pour calculer la prévision suivante : la dernière prévision et la dernière demande.

Poids de chaque demande passée dans la prévision, pour trois valeurs de α

Le graphique illustre l'effet de α :

α faible (0,1 à 0,2) : les poids diminuent lentement et de nombreuses périodes anciennes comptent encore. La prévision est stable et filtre les fluctuations aléatoires, mais réagit lentement à un véritable changement.
α élevé (0,5 ou plus) : l'essentiel du poids se concentre sur les deux ou trois dernières périodes. La prévision réagit vite, mais suit aussi chaque fluctuation aléatoire.

En pratique, pour une demande stable, les valeurs les plus courantes se situent entre 0,1 et 0,3. Pour trouver le meilleur α pour un produit, on en teste plusieurs sur les données historiques et on choisit celui qui produit le moins d'erreurs.

Pour appliquer la méthode, il faut deux éléments : la valeur de α et une prévision initiale. Faute de prévision antérieure, on prend souvent comme point de départ la première demande observée ou la moyenne des premiers mois.

Exemple

Une entreprise utilise α = 0,30. Elle prévoyait 800 unités pour la semaine 1 de juillet, mais la demande réelle a atteint 850. Quelle est la prévision pour la semaine 2 ?

P(2) = 0,30 × 850 + 0,70 × 800 = 255 + 560 = 815 unités

On peut aussi raisonner à partir de l'erreur : nous avons sous-estimé la demande de 850 − 800 = 50 unités. Nous corrigeons la prévision de 30 % de cet écart, soit 15 unités. 800 + 15 = 815.

Attention : le lissage simple ne suit pas la tendance

Le lissage exponentiel simple ne fait que rapprocher la prévision de la demande déjà observée. Si celle-ci augmente chaque mois, la prévision restera systématiquement en retard et sous-estimera la demande. Il existe des variantes adaptées aux séries présentant une tendance, comme la méthode de Holt, qui lisse également la pente. Mais l'outil classique le plus simple pour tenir compte d'une tendance est la régression linéaire, que nous allons voir maintenant.

Une entreprise utilise le lissage exponentiel avec α = 0,2. Elle prévoyait 1.000 unités pour le mois dernier, mais la demande réelle a été de 1.200. Quelle est la prévision pour le mois prochain ?

Bonne réponse : 1.040 unités — l'erreur était de 1.200 − 1.000 = 200 ; nous en corrigeons 20 % : 1.000 + 0,2 × 200 = 1.040. On obtient 1.160 en inversant les poids et en attribuant 0,8 à la demande réelle, autrement dit en utilisant α = 0,8.

La demande d'un produit est stable, mais fluctue beaucoup d'une semaine à l'autre de manière aléatoire. Quelle valeur de α tend à donner la prévision la plus utile ?

Bonne réponse : α faible, comme 0,1, pour filtrer les fluctuations aléatoires — avec un α faible, la prévision tient compte de nombreuses périodes et ne se laisse pas influencer par une semaine atypique. Avec un α proche de 1, elle reprend presque la dernière demande et reproduit donc les fluctuations aléatoires.

Méthode des moindres carrés (régression linéaire)

Toutes les moyennes, simples, pondérées ou exponentielles, ont tendance à ramener les prévisions vers une valeur centrale. Voyons ce qui se passe quand la demande augmente de 50 unités chaque mois et que nous persistons à utiliser la moyenne des trois derniers mois pour prévoir la suite, en remplaçant chaque fois la donnée réelle par la prévision :

Mois	Consommation
1	50 (réel)
2	100 (réel)
3	150 (réel)
4	100,00
5	116,67
6	122,22
7	112,96
8	117,28
9	117,49
10	115,91
11	116,90
12	116,77

La prévision se stabilise autour de 116 à 117, alors que les données montrent une hausse de 50 unités par mois. La moyenne ne peut tout simplement pas déceler cette tendance.

Pour intégrer la tendance, nous ajustons une droite aux données historiques :

Y = b + a × X

où :

X désigne la période (1, 2, 3, ...) ;
Y est la demande prévue pour cette période ;
a est le coefficient directeur, ou pente : il indique de combien la demande augmente (a positif) ou diminue (a négatif) à chaque période ;
b est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe vertical.

Parmi toutes les droites possibles, la méthode des moindres carrés retient celle qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs réelles et celles de la droite. Élever les écarts au carré empêche les erreurs par excès et par défaut de s'annuler et donne plus de poids aux erreurs importantes. On obtient ainsi les formules suivantes :

a = [N × ΣXY − ΣX × ΣY] ÷ [N × ΣX² − (ΣX)²]

b = [ΣY − a × ΣX] ÷ N

où N est le nombre de périodes dans l'historique. On calcule d'abord a, puis b.

Exemple détaillé

L'entreprise Beta, qui fabrique les pièces HR, a vendu cette année : janvier 2.400 ; février 2.100 ; mars 2.550 ; avril 2.700 ; mai 2.750 ; juin 2.800 ; juillet 3.000. Quelle est la prévision pour août avec la droite de tendance ?

Nous préparons le tableau avec les colonnes nécessaires aux calculs :

Mois	X	Y (demande)	X²	X × Y
Janvier	1	2.400	1	2.400
Février	2	2.100	4	4.200
Mars	3	2.550	9	7.650
Avril	4	2.700	16	10.800
Mai	5	2.750	25	13.750
Juin	6	2.800	36	16.800
Juillet	7	3.000	49	21.000
Total	28	18.300	140	76.600

Avec N = 7 :

a = [7 × 76.600 − 28 × 18.300] ÷ [7 × 140 − 28²] = [536.200 − 512.400] ÷ [980 − 784] = 23.800 ÷ 196 = 121,43

b = [18.300 − 121,43 × 28] ÷ 7 = [18.300 − 3.400] ÷ 7 = 2.128,57

L'équation de la droite est Y = 2.128,57 + 121,43 × X. Les ventes augmentent en moyenne d'environ 121 pièces par mois. Pour août, X = 8 :

Y = 2.128,57 + 121,43 × 8 = 3.100 pièces

La droite des moindres carrés suit la hausse des ventes ; la moyenne simple reste en retrait

Comme le montre le graphique, la moyenne simple des sept mois (2.614) donnerait près de 500 pièces de moins que la prévision fondée sur la tendance. Si la hausse se confirme, une entreprise qui utiliserait cette moyenne risquerait la rupture de stock.

Deux précautions s'imposent avec la régression :

Elle suppose que la tendance se poursuit. Il est risqué de prévoir trop loin : les ventes ne progressent jamais en ligne droite indéfiniment. Utilisez-la pour des horizons courts et réajustez la droite à chaque nouvelle donnée.
Elle ne tient pas compte de la saisonnalité. Si la demande connaît des pics certains mois, associez la tendance à l'indice saisonnier vu dans la leçon précédente : calculez la prévision de tendance, puis multipliez-la par l'indice du mois.

Dans un tableur, inutile de construire le tableau à la main : dans Excel ou LibreOffice, les fonctions PENTE et ORDONNEE.ORIGINE donnent a et b, tandis que la fonction PREVISION (ou PREVISION.LINEAIRE) calcule directement Y pour une valeur de X donnée. Faire le calcul une fois à la main reste utile pour comprendre d'où viennent les résultats.

Les ventes d'un produit au cours des trois derniers mois ont été de 100, 120 et 140. Avec la droite des moindres carrés et X = 1, 2 et 3, quelle est la prévision pour le mois 4 ?

Bonne réponse : 160 — les données sont déjà alignées : ΣX = 6, ΣY = 360, ΣXY = 100 + 240 + 420 = 760, ΣX² = 14. a = (3 × 760 − 6 × 360) ÷ (3 × 14 − 36) = 120 ÷ 6 = 20 et b = (360 − 20 × 6) ÷ 3 = 80. Y = 80 + 20 × 4 = 160. 120 est la moyenne simple : c'est précisément l'erreur que la régression permet d'éviter.

Choisir la méthode en mesurant l'erreur

Tout système de prévision doit mesurer les écarts entre les valeurs prévues et les valeurs réelles. L'indicateur le plus simple est l'écart absolu moyen (MAD, de l'anglais mean absolute deviation) : la moyenne des erreurs prises en valeur absolue.

MAD = Σ |demande réelle − prévision| ÷ nombre de périodes

Si l'on applique le lissage exponentiel aux ventes de Beta, en prenant comme prévision pour février les ventes de janvier, soit 2.400, voici le MAD obtenu pour chaque valeur de α :

Méthode	MAD (févr. à juill.)
Lissage, α = 0,1	331 pièces
Lissage, α = 0,3	290 pièces
Lissage, α = 0,5	254 pièces
Lissage, α = 0,8	216 pièces
Droite des moindres carrés (janv. à juill.)	94 pièces

Deux enseignements se dégagent de ce tableau. D’abord, la série de Beta étant orientée à la hausse, le lissage exponentiel simple produit des erreurs importantes. Plus α est élevé, moins la prévision accuse de retard et moins elle se trompe. Ensuite, la droite de tendance donne des erreurs nettement plus faibles, ce qui confirme qu’un modèle tenant compte de la tendance est plus adapté. Une réserve toutefois : le MAD de la droite a été calculé sur les données qui ont servi à l’ajuster, ce qui l’avantage. Pour une comparaison plus juste, il faudrait ajuster le modèle sur une partie de l’historique, puis mesurer ses erreurs sur les mois suivants.

Le MAD fait aussi le lien avec le cours sur le stock de sécurité : plus l’erreur de prévision habituelle est élevée, plus il faut prévoir de stock supplémentaire pour éviter les ruptures.

Un analyste a testé deux méthodes sur le même historique de 12 mois : la moyenne mobile sur 3 mois a obtenu un MAD de 40 unités, contre 25 unités pour le lissage exponentiel avec α = 0,2. Que doit-il en conclure ?

Réponse : Le lissage avec α = 0,2 est le plus adapté à ce produit, car son erreur moyenne est plus faible — le MAD sert précisément à comparer des méthodes sur un même historique, et on privilégie celle dont l’écart moyen est le plus faible. Toute prévision comporte des erreurs ; l’objectif est de choisir la méthode qui en fait le moins.

Exercices

Faciles

1) La demande à long terme d’un produit est relativement stable, et une constante de lissage exponentiel de 0,30 est jugée satisfaisante. La prévision pour la période précédente était de 1.100 unités, mais la demande réelle a été de 1.000 unités. Quelle est la prévision pour la période en cours ?

2) (Examen de logistique, CEFET/RJ, 2018) Une entreprise utilise le lissage exponentiel avec α = 0,30. La prévision pour la semaine 1 de juillet était de 800 unités et la demande réelle a été de 850 unités. Déterminez la prévision pour la semaine 2 de juillet.

3) Vitória utilise le lissage exponentiel avec α = 0,8. La prévision pour le mois 1 était de 1.800 unités et la demande réelle a été de 1.500 unités. Quelle est la prévision pour le mois 2 ?

4) (Examen de logistique, CEFET/RJ, 2018) La prévision précédente est de 820 unités et la dernière demande réelle a été de 750 unités. Quelle est la prévision par lissage exponentiel pour la période suivante, avec α = 0,2 ?

5) À partir des valeurs de la moyenne pondérée présentées dans la première section (99, 100 et 102), calculez la prévision pour le mois 4 avec les coefficients 0,2 ; 0,3 et 0,5, puis comparez-la au résultat obtenu avec les coefficients 1, 2 et 3.

Difficiles

6) Une gamme d’appareils électroménagers s’est vendue, au cours des 7 derniers mois, dans les quantités de cartons indiquées ci-dessous. Prévoyez les ventes d’août, de septembre et d’octobre à l’aide de la droite des moindres carrés.

Mois	Cartons
Janvier	100
Février	110
Mars	125
Avril	135
Mai	140
Juin	153
Juillet	167

7) Une entreprise doit prévoir les ventes d’un produit saisonnier et a relevé la consommation trimestrielle des 4 dernières années. Quelle consommation faut-il prévoir pour chaque trimestre de l’année 5, sachant que le total annuel prévu est de 3.000 unités ? (Utilisez les indices saisonniers du cours précédent.)

Trimestre	Année 1	Année 2	Année 3	Année 4
1	150	180	230	210
2	340	420	510	650
3	190	260	350	390
4	410	700	750	980

8) Une entreprise utilise le lissage exponentiel avec α = 0,1 pour prévoir la demande hebdomadaire de cartons de canettes de bière. Pour la première semaine de février, la prévision était de 500 cartons, et la demande réelle a été de 450.
a) Quelle est la prévision pour la deuxième semaine de février ?
b) Si la demande réelle de la deuxième semaine a été de 515 cartons, quelle est la prévision pour la troisième semaine ?

9) Reprenez l’exercice 8 avec α = 0,15 et comparez les résultats.

10) La demande mensuelle d’un produit au cours des 7 derniers mois a été de : 40, 44, 43, 48, 50, 53 et 55.
a) Calculez les prévisions des mois 4 à 7 avec une moyenne mobile simple sur 3 mois, puis avec une moyenne mobile pondérée sur 3 mois, en utilisant les coefficients 0,2 ; 0,3 et 0,5 (le mois le plus récent a un coefficient de 0,5).
b) Calculez le MAD de chaque méthode sur ces quatre mois. Laquelle fait le moins d’erreurs ?
c) Calculez la prévision pour le mois 8 avec les deux méthodes, puis avec la droite des moindres carrés ajustée sur les 7 mois.
d) À la lumière des erreurs relevées au point a, quel défaut présentent les deux moyennes pour cette série, et laquelle des trois prévisions du point c retiendriez-vous ?

Corrigé

1) P = α × D + (1 − α) × P précédente = 0,3 × 1.000 + 0,7 × 1.100 = 300 + 770 = 1.070 unités. Par la méthode de correction de l’erreur : l’écart est de 1.000 − 1.100 = −100 ; on en corrige 30 % : 1.100 − 30 = 1.070.

2) 0,3 × 850 + 0,7 × 800 = 255 + 560 = 815 unités.

3) 0,8 × 1.500 + 0,2 × 1.800 = 1.200 + 360 = 1.560 unités. Avec un α élevé, la prévision reste proche de la dernière demande observée.

4) 0,2 × 750 + 0,8 × 820 = 150 + 656 = 806 unités.

5) 99 × 0,2 + 100 × 0,3 + 102 × 0,5 = 19,8 + 30 + 51 = 100,8. Le résultat est pratiquement identique (100,83), car les coefficients 1, 2 et 3, divisés par leur somme, 6, donnent 0,17 ; 0,33 et 0,5, des valeurs très proches.

6) Avec X = 1 (janvier) à 7 (juillet) et N = 7 : ΣX = 28 ; ΣY = 930 ; ΣX² = 140 ; ΣXY = 100 + 220 + 375 + 540 + 700 + 918 + 1.169 = 4.022.
a = (7 × 4.022 − 28 × 930) ÷ (7 × 140 − 28²) = (28.154 − 26.040) ÷ (980 − 784) = 2.114 ÷ 196 = 10,79.
b = (930 − 10,786 × 28) ÷ 7 = (930 − 302) ÷ 7 = 89,71.
L’équation de la droite est Y = 89,71 + 10,79 × X. Août (X = 8) : 89,71 + 10,79 × 8 = 176 cartons ; septembre (X = 9) : 187 cartons ; octobre (X = 10) : 198 cartons.

7) On calcule d’abord la part de chaque trimestre dans le total annuel (totaux : année 1 = 1.090 ; année 2 = 1.560 ; année 3 = 1.840 ; année 4 = 2.230). Par exemple, pour le trimestre 1 de l’année 1 : 150 ÷ 1.090 = 13,8 %.

Trimestre	Année 1	Année 2	Année 3	Année 4	Moyenne
1	13,8%	11,5%	12,5%	9,4%	11,8%
2	31,2%	26,9%	27,7%	29,1%	28,7%
3	17,4%	16,7%	19,0%	17,5%	17,7%
4	37,6%	44,9%	40,8%	43,9%	41,8%

La part moyenne multipliée par 4 donne l’indice saisonnier (par exemple, 11,8 % × 4 = 0,47 pour le trimestre 1). Appliquer cette part au total annuel revient à appliquer l’indice à la moyenne trimestrielle (3.000 ÷ 4 = 750). Prévisions : 1er trimestre ≈ 3.000 × 11,8 % ≈ 354 ; 2e ≈ 862 ; 3e ≈ 530 ; 4e ≈ 1.254. (Si l’on additionne plutôt les données des 4 années pour chaque trimestre, puis qu’on les divise par le total général de 6.720, le résultat varie peu : 344, 857, 531 et 1.268.)

8) a) 0,1 × 450 + 0,9 × 500 = 45 + 450 = 495 cartons.
b) 0,1 × 515 + 0,9 × 495 = 51,5 + 445,5 = 497 cartons.

9) a) 0,15 × 450 + 0,85 × 500 = 67,5 + 425 = 492,5, soit environ 493 cartons.
b) 0,15 × 515 + 0,85 × 492,5 = 77,25 + 418,6 = 495,9, soit environ 496 cartons.
Avec un α plus élevé, la prévision réagit davantage : elle baisse plus en semaine 2 (492,5 contre 495) et, comme elle part de plus bas, reste légèrement inférieure en semaine 3 (495,9 contre 497), bien qu’elle ait davantage augmenté (3,4 cartons contre 2).

10) a) et b)

Mois	Demande réelle	Moyenne mobile sur 3 mois	Erreur	Moyenne pondérée 0,2/0,3/0,5	Erreur
4	48	(40 + 44 + 43) ÷ 3 = 42,33	+5,67	0,2 × 40 + 0,3 × 44 + 0,5 × 43 = 42,7	+5,3
5	50	(44 + 43 + 48) ÷ 3 = 45,00	+5,00	0,2 × 44 + 0,3 × 43 + 0,5 × 48 = 45,7	+4,3
6	53	(43 + 48 + 50) ÷ 3 = 47,00	+6,00	0,2 × 43 + 0,3 × 48 + 0,5 × 50 = 48,0	+5,0
7	55	(48 + 50 + 53) ÷ 3 = 50,33	+4,67	0,2 × 48 + 0,3 × 50 + 0,5 × 53 = 51,1	+3,9
MAD			21,33 ÷ 4 = 5,33		18,5 ÷ 4 = 4,63

La moyenne pondérée fait moins d’erreurs (MAD de 4,63 contre 5,33), car elle accorde davantage de poids au mois le plus récent.
c) Moyenne mobile sur 3 mois : (50 + 53 + 55) ÷ 3 = 52,67. Moyenne pondérée : 0,2 × 50 + 0,3 × 53 + 0,5 × 55 = 10 + 15,9 + 27,5 = 53,4. Droite de tendance : avec X = 1 à 7, ΣX = 28, ΣY = 333, ΣX² = 140, ΣXY = 1.402 ; a = (7 × 1.402 − 28 × 333) ÷ (7 × 140 − 28²) = (9.814 − 9.324) ÷ 196 = 490 ÷ 196 = 2,5 ; b = (333 − 2,5 × 28) ÷ 7 = 263 ÷ 7 = 37,57 ; Y(8) = 37,57 + 2,5 × 8 = 57,57.
d) Les erreurs des deux moyennes sont toutes positives : leurs prévisions restent systématiquement inférieures à la demande réelle. C’est le retard caractéristique des moyennes face à une tendance haussière (la demande augmente d’environ 2,5 par mois). La moyenne pondérée réduit ce retard sans le supprimer. Pour le mois 8, la prévision la plus cohérente avec les données est celle de la droite, soit environ 58 unités.

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