Previsión de la demanda: media ponderada, suavización exponencial y mínimos cuadrados

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Cómo prever la demanda dando más peso a los datos recientes, ajustando las previsiones según el error mediante suavización exponencial y detectando tendencias con la recta de mínimos cuadrados.

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Introducción

En la clase anterior vimos los dos modelos de previsión más sencillos: repetir el dato del último período y calcular la media móvil de los últimos meses. Ambos tienen el mismo problema: tratan el pasado como si todos los datos fueran igual de relevantes. El primero descarta todo el historial anterior; la media móvil da el mismo peso al mes pasado que a un mes de hace un año, por lo que tarda en detectar los cambios en el nivel de demanda.

En esta clase iremos un paso más allá con tres métodos:

  • Media móvil ponderada: los meses recientes tienen más peso.
  • Suavización exponencial: una forma de ponderar todo el historial utilizando solo dos números.
  • Mínimos cuadrados (regresión lineal): el primer modelo capaz de detectar una tendencia, es decir, una demanda que aumenta o disminuye de forma sostenida.

Por último, veremos cómo comparar los métodos a partir de sus errores. Ninguna previsión es perfecta: la pregunta siempre es «¿cuál se equivoca menos con este producto?».

Media móvil ponderada

En una media móvil de 12 meses, cada mes tiene un peso de 1/12. Pero, en la mayoría de los negocios, lo ocurrido el mes pasado dice más sobre el próximo que lo ocurrido hace un año. La media móvil ponderada tiene esto en cuenta asignando a cada período un peso (W) según la importancia que le demos:

Previsión = Σ (Dᵢ × Wᵢ) ÷ Σ Wᵢ

donde Dᵢ es la demanda del período i y Wᵢ, el peso de ese período. Si los pesos ya suman 1 (por ejemplo, 0,5; 0,3; 0,2), basta con sumar los productos.

Ejemplo. El consumo de los tres últimos meses fue de 99, 100 y 102 unidades. Decidimos asignarles pesos de 1, 2 y 3, respectivamente, para dar más importancia al mes más reciente:

MesConsumoPesoConsumo × peso
199199
21002200
31023306
Suma6605

Previsión para el mes 4 = 605 ÷ 6 = 100,83 unidades. La media simple daría 100,33; la ponderada se acerca más al dato reciente (102) porque este representa la mitad del peso total.

La elección de los pesos corresponde a quien gestiona el inventario y suele hacerse mediante pruebas: se ensayan distintas combinaciones con los datos históricos y se elige la que produce menos errores (véase la última sección). Si todos los pesos son iguales, la media ponderada equivale a la media móvil convencional.

Una tienda vendió 200, 260 y 300 unidades en los tres últimos meses (del más antiguo al más reciente). Si asignamos pesos de 0,2; 0,3 y 0,5, ¿cuál es la previsión para el próximo mes?

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Respuesta: 268 unidades — 200 × 0,2 + 260 × 0,3 + 300 × 0,5 = 40 + 78 + 150 = 268. Como los pesos ya suman 1, no hace falta dividir. 253,3 es la media simple, que no tiene en cuenta los pesos.

Suavización exponencial

La suavización exponencial, también llamada alisamiento exponencial o, en inglés, exponential smoothing, es la técnica de previsión de series temporales más utilizada en los sistemas de gestión de inventarios. Consiste en una media ponderada cuyos pesos disminuyen exponencialmente cuanto más retrocedemos en el tiempo; de ahí su nombre. Su fórmula es:

P(t+1) = α × D(t) + (1 − α) × P(t)

donde:

  • P(t+1) es la previsión para el próximo período;
  • D(t) es la demanda real del período que acaba de terminar;
  • P(t) es la previsión que habíamos hecho para ese mismo período;
  • α (alfa) es la constante de suavización, un número entre 0 y 1.

Si reorganizamos los términos, la misma fórmula resulta más intuitiva:

P(t+1) = P(t) + α × [D(t) − P(t)]

Es decir, la nueva previsión es la anterior corregida en una fracción α del error que acabamos de cometer. Si vendimos más de lo previsto, la previsión sube; si vendimos menos, baja. El valor de α determina cuánto se corrige.

¿Por qué «exponencial»?

Si sustituimos P(t) por su propia fórmula, luego hacemos lo mismo con P(t−1) y continuamos así, obtenemos:

P(t+1) = α × D(t) + α(1 − α) × D(t−1) + α(1 − α)² × D(t−2) + α(1 − α)³ × D(t−3) + ...

Cada dato de demanda pasada entra en la previsión con un peso igual al anterior multiplicado por (1 − α). Se utiliza todo el historial, pero la influencia de los datos más antiguos va disminuyendo. La ventaja práctica es que, para calcular la siguiente previsión, basta con conservar dos números: la última previsión y la última demanda.

Peso de cada dato de demanda pasada en la previsión, para tres valores de α
Peso de cada dato de demanda pasada en la previsión, para tres valores de α

El gráfico muestra el efecto de α:

  • α pequeño (0,1 a 0,2): los pesos disminuyen lentamente y muchos períodos antiguos siguen influyendo. La previsión es estable y filtra las fluctuaciones aleatorias, pero tarda en reaccionar a un cambio real.
  • α grande (0,5 o más): casi todo el peso recae en los dos o tres últimos períodos. La previsión reacciona rápido, pero también sigue cada oscilación aleatoria.

En la práctica, los valores entre 0,1 y 0,3 son los más habituales para una demanda estable. Para encontrar el mejor α de un producto, se prueban varios valores con los datos históricos y se elige el que produce el menor error.

Para empezar a usar el método necesitamos dos cosas: el valor de α y una previsión inicial. Como todavía no existe una previsión anterior, suele tomarse como punto de partida la primera demanda observada o la media de los primeros meses.

Ejemplo

Una empresa utiliza α = 0,30. La previsión para la semana 1 de julio era de 800 unidades, pero la demanda real fue de 850. ¿Cuál es la previsión para la semana 2?

P(2) = 0,30 × 850 + 0,70 × 800 = 255 + 560 = 815 unidades

También podemos calcularlo a partir del error: la demanda superó la previsión en 850 − 800 = 50 unidades. Corregimos un 30% de esa diferencia, es decir, 15 unidades. 800 + 15 = 815.

Una precaución: la suavización simple no sigue la tendencia

La suavización exponencial simple ajusta la previsión hacia lo que ya ha ocurrido. Si la demanda crece todos los meses, la previsión irá siempre un paso por detrás y se quedará sistemáticamente corta. Existen variantes para las series con tendencia, como el método de Holt, que también suaviza la pendiente. Pero la herramienta clásica y más sencilla para trabajar con tendencias es la regresión lineal, que veremos a continuación.

Una empresa utiliza suavización exponencial con α = 0,2. La previsión para el último mes era de 1.000 unidades y la demanda real fue de 1.200. ¿Cuál es la previsión para el próximo mes?

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Respuesta: 1.040 unidades — el error fue de 1.200 − 1.000 = 200; corregimos el 20%: 1.000 + 0,2 × 200 = 1.040. El resultado 1.160 se obtiene al invertir los pesos y asignar 0,8 a la demanda real, es decir, al usar α = 0,8.

Un producto tiene una demanda estable, pero presenta muchas fluctuaciones aleatorias de una semana a otra. ¿Qué valor de α suele dar una previsión más útil?

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Respuesta: α pequeño, como 0,1, para filtrar las oscilaciones aleatorias — con un α pequeño, la previsión tiene en cuenta muchos períodos y no se deja arrastrar por una semana atípica. Un α cercano a 1 prácticamente repite la última demanda y, por tanto, reproduce las fluctuaciones aleatorias.

Mínimos cuadrados (regresión lineal)

Todas las medias, ya sean simples, ponderadas o exponenciales, tienden a volver hacia un valor central. Veamos qué ocurre si la demanda aumenta de 50 en 50 y seguimos haciendo previsiones con la media de los tres últimos meses, utilizando cada previsión como dato para calcular la siguiente:

MesConsumo
150 (real)
2100 (real)
3150 (real)
4100,00
5116,67
6122,22
7112,96
8117,28
9117,49
10115,91
11116,90
12116,77

La previsión se estabiliza en torno a 116 o 117, aunque los datos muestran un crecimiento de 50 unidades al mes. La media no puede detectar por sí sola que existe una tendencia.

Para incorporarla, ajustamos una recta a los datos históricos:

Y = b + a × X

donde:

  • X es el período (1, 2, 3, ...);
  • Y es la demanda prevista para ese período;
  • a es la pendiente: cuánto aumenta la demanda (a positivo) o disminuye (a negativo) en cada período;
  • b es la ordenada en el origen, el punto en el que la recta corta el eje vertical.

De todas las rectas posibles, el método de mínimos cuadrados elige la que minimiza la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores reales y los de la recta. Al elevar las diferencias al cuadrado, los errores por exceso y por defecto no se compensan entre sí, y los errores grandes tienen un mayor peso. Las fórmulas resultantes son:

a = [N × ΣXY − ΣX × ΣY] ÷ [N × ΣX² − (ΣX)²]

b = [ΣY − a × ΣX] ÷ N

donde N es el número de períodos del historial. Primero se calcula a y después b.

Ejemplo resuelto

La empresa Beta, fabricante de las piezas HR, vendió este año: enero 2.400; febrero 2.100; marzo 2.550; abril 2.700; mayo 2.750; junio 2.800; julio 3.000. ¿Cuál es la previsión para agosto según la recta de tendencia?

Preparamos una tabla con las columnas necesarias para aplicar las fórmulas:

MesXY (demanda)X²X × Y
Enero12.40012.400
Febrero22.10044.200
Marzo32.55097.650
Abril42.7001610.800
Mayo52.7502513.750
Junio62.8003616.800
Julio73.0004921.000
Suma2818.30014076.600

Con N = 7:

a = [7 × 76.600 − 28 × 18.300] ÷ [7 × 140 − 28²] = [536.200 − 512.400] ÷ [980 − 784] = 23.800 ÷ 196 = 121,43

b = [18.300 − 121,43 × 28] ÷ 7 = [18.300 − 3.400] ÷ 7 = 2.128,57

La recta es Y = 2.128,57 + 121,43 × X. Las ventas aumentan, de media, unas 121 piezas al mes. Para agosto, X = 8:

Y = 2.128,57 + 121,43 × 8 = 3.100 piezas

La recta de mínimos cuadrados refleja el aumento de las ventas; la media simple se queda atrás
La recta de mínimos cuadrados refleja el aumento de las ventas; la media simple se queda atrás

El gráfico muestra que la media simple de los siete meses (2.614) estaría casi 500 piezas por debajo de la previsión basada en la tendencia. Si el crecimiento continúa, una empresa que utilizara la media podría quedarse sin existencias.

La regresión exige dos precauciones:

  • Supone que la tendencia continúa. Proyectar demasiados períodos hacia el futuro es arriesgado: ninguna venta crece en línea recta para siempre. Utilice la recta para horizontes cortos y actualícela con cada nuevo dato.
  • No detecta la estacionalidad. Si el producto registra picos en determinados meses, combine la tendencia con el índice de estacionalidad visto en la clase anterior: calcule la previsión según la tendencia y multiplíquela por el índice del mes.

En una hoja de cálculo no hace falta preparar la tabla a mano: en Excel o LibreOffice, las funciones INCLINAÇÃO e INTERCEPÇÃO devuelven a y b, y PREVISÃO (o PREVISÃO.LINEAR) calcula directamente Y para cualquier valor de X. Aun así, conviene hacer el cálculo a mano una vez para entender de dónde salen los números.

Las ventas de un producto en los tres últimos meses fueron 100, 120 y 140. Si ajustamos una recta por mínimos cuadrados con X = 1, 2 y 3, ¿cuál es la previsión para el mes 4?

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Respuesta: 160 — los datos ya forman una recta: ΣX = 6, ΣY = 360, ΣXY = 100 + 240 + 420 = 760, ΣX² = 14. a = (3 × 760 − 6 × 360) ÷ (3 × 14 − 36) = 120 ÷ 6 = 20 y b = (360 − 20 × 6) ÷ 3 = 80. Y = 80 + 20 × 4 = 160. 120 es la media simple, precisamente el error que corrige la regresión.

Cómo elegir el método: medir el error

Todo sistema de previsión necesita un procedimiento para medir la diferencia entre lo previsto y lo real. La medida más sencilla es la desviación absoluta media (MAD, del inglés mean absolute deviation): la media de los errores sin tener en cuenta su signo.

MAD = Σ |demanda real − previsión| ÷ número de períodos

Si aplicamos la suavización exponencial a las ventas de Beta, tomando como previsión inicial para febrero las ventas de enero, 2.400, obtenemos el siguiente MAD para cada valor de α:

MétodoMAD (feb a jul)
Suavización, α = 0,1331 piezas
Suavización, α = 0,3290 piezas
Suavización, α = 0,5254 piezas
Suavización, α = 0,8216 piezas
Recta de mínimos cuadrados (ene a jul)94 piezas

De esta tabla se desprenden dos conclusiones. La primera: como la serie de Beta presenta una tendencia al alza, la suavización exponencial simple tiene un error elevado; cuanto mayor es α, menor es el error, porque la previsión se retrasa menos respecto de la demanda. La segunda: la recta tiene un error mucho menor, lo que confirma que conviene usar un modelo con tendencia. (Una salvedad: el MAD de la recta se calculó con los mismos datos utilizados para ajustarla, lo que la favorece. Una prueba más justa sería ajustar el modelo con una parte del historial y medir el error en los meses siguientes.)

El MAD también sirve de puente con la lección sobre existencias de seguridad: cuanto mayor es el error habitual de la previsión, más existencias adicionales se necesitan para evitar que se agote el producto.

Un analista probó dos métodos con el mismo historial de 12 meses: la media móvil de 3 meses obtuvo un MAD de 40 unidades y la suavización exponencial con α = 0,2, un MAD de 25 unidades. ¿Qué debe concluir?

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Respuesta: La suavización con α = 0,2 es la más adecuada para este producto porque, en promedio, tiene un error menor. El MAD sirve precisamente para comparar métodos sobre un mismo historial: se prefiere el que tiene la menor desviación media. Toda previsión tiene errores; se busca el método que menos se equivoca.

Ejercicios

Fáciles

1) La demanda a largo plazo de un producto es relativamente estable y se considera satisfactorio usar una constante de suavización exponencial de 0,30. La previsión para el período anterior fue de 1.100 unidades, pero la demanda real fue de 1.000 unidades. ¿Cuál es la previsión para este período?

2) (Examen de Logística, CEFET/RJ, 2018) Una empresa utiliza suavización exponencial con α = 0,30. La previsión para la primera semana de julio fue de 800 unidades y la demanda real fue de 850 unidades. Calcula la previsión para la segunda semana de julio.

3) Vitória utiliza suavización exponencial con α = 0,8. La previsión para el mes 1 fue de 1.800 unidades y la demanda real fue de 1.500 unidades. ¿Cuál es la previsión para el mes 2?

4) (Examen de Logística, CEFET/RJ, 2018) La previsión anterior es de 820 unidades y la última demanda real fue de 750 unidades. ¿Cuál es la previsión para el próximo período mediante suavización exponencial con α = 0,2?

5) Con los valores de la media ponderada de la primera sección (99, 100 y 102), calcula la previsión para el mes 4 usando los pesos 0,2; 0,3 y 0,5, y compárala con el resultado obtenido con los pesos 1, 2 y 3.

Difíciles

6) Una línea de electrodomésticos vendió durante los últimos 7 meses las siguientes cantidades de cajas. Calcula la previsión de ventas para agosto, septiembre y octubre mediante la recta de mínimos cuadrados.

MesCajas
Enero100
Febrero110
Marzo125
Abril135
Mayo140
Junio153
Julio167

7) Una empresa necesita prever las ventas de un producto estacional y recopiló el consumo trimestral de los últimos 4 años. ¿Cuánto se consumirá en cada trimestre del año 5 si la previsión total para ese año es de 3.000 unidades? (Utiliza los índices de estacionalidad de la lección anterior.)

TrimestreAño 1Año 2Año 3Año 4
1150180230210
2340420510650
3190260350390
4410700750980

8) Una empresa utiliza suavización exponencial con α = 0,1 para prever la demanda semanal de cajas de latas de cerveza. En la primera semana de febrero, la previsión era de 500 cajas y la demanda real fue de 450.
a) ¿Cuál es la previsión para la segunda semana de febrero?
b) Si la demanda real de la segunda semana fue de 515 cajas, ¿cuál es la previsión para la tercera semana?

9) Repite el ejercicio 8 con α = 0,15 y compara los resultados.

10) La demanda mensual de un producto durante los últimos 7 meses fue de 40, 44, 43, 48, 50, 53 y 55.
a) Calcula las previsiones de los meses 4 a 7 mediante una media móvil simple de 3 meses y una media móvil ponderada de 3 meses con pesos 0,2; 0,3 y 0,5 (el mes más reciente tiene un peso de 0,5).
b) Calcula el MAD de cada método para esos cuatro meses. ¿Cuál tiene menos errores?
c) Calcula la previsión para el mes 8 con ambos métodos y con la recta de mínimos cuadrados ajustada a los 7 meses.
d) A la vista de los errores del apartado a, ¿qué problema presentan los dos métodos basados en medias para esta serie? ¿Cuál de las tres previsiones del apartado c utilizarías?

Soluciones

1) P = α × D + (1 − α) × P anterior = 0,3 × 1.000 + 0,7 × 1.100 = 300 + 770 = 1.070 unidades. También puede calcularse a partir del error: 1.000 − 1.100 = −100; corregimos el 30% de esa diferencia: 1.100 − 30 = 1.070.

2) 0,3 × 850 + 0,7 × 800 = 255 + 560 = 815 unidades.

3) 0,8 × 1.500 + 0,2 × 1.800 = 1.200 + 360 = 1.560 unidades. Con un α alto, la previsión se aproxima a la última demanda.

4) 0,2 × 750 + 0,8 × 820 = 150 + 656 = 806 unidades.

5) 99 × 0,2 + 100 × 0,3 + 102 × 0,5 = 19,8 + 30 + 51 = 100,8. El resultado es prácticamente el mismo (100,83), porque los pesos 1, 2 y 3 divididos entre su suma, 6, equivalen a 0,17; 0,33 y 0,5, valores muy próximos.

6) Con X = 1 (enero) a 7 (julio) y N = 7: ΣX = 28; ΣY = 930; ΣX² = 140; ΣXY = 100 + 220 + 375 + 540 + 700 + 918 + 1.169 = 4.022.
a = (7 × 4.022 − 28 × 930) ÷ (7 × 140 − 28²) = (28.154 − 26.040) ÷ (980 − 784) = 2.114 ÷ 196 = 10,79.
b = (930 − 10,786 × 28) ÷ 7 = (930 − 302) ÷ 7 = 89,71.
La recta es Y = 89,71 + 10,79 × X. Agosto (X = 8): 89,71 + 10,79 × 8 = 176 cajas; septiembre (X = 9): 187 cajas; octubre (X = 10): 198 cajas.

7) Primero se calcula qué proporción del total anual corresponde a cada trimestre (totales: año 1 = 1.090; año 2 = 1.560; año 3 = 1.840; año 4 = 2.230). Por ejemplo, para el trimestre 1 del año 1: 150 ÷ 1.090 = 13,8%.

TrimestreAño 1Año 2Año 3Año 4Media
113,8%11,5%12,5%9,4%11,8%
231,2%26,9%27,7%29,1%28,7%
317,4%16,7%19,0%17,5%17,7%
437,6%44,9%40,8%43,9%41,8%

La proporción media multiplicada por 4 da el índice de estacionalidad (por ejemplo, 11,8% × 4 = 0,47 para el trimestre 1). Aplicar esa proporción al total anual equivale a aplicar el índice a la media trimestral (3.000 ÷ 4 = 750). Previsiones: 1.er trimestre ≈ 3.000 × 11,8% ≈ 354; 2.º ≈ 862; 3.º ≈ 530; 4.º ≈ 1.254. (Si, en cambio, sumamos los datos de los 4 años para cada trimestre y dividimos el resultado entre el total general de 6.720, las cifras varían poco: 344, 857, 531 y 1.268.)

8) a) 0,1 × 450 + 0,9 × 500 = 45 + 450 = 495 cajas.
b) 0,1 × 515 + 0,9 × 495 = 51,5 + 445,5 = 497 cajas.

9) a) 0,15 × 450 + 0,85 × 500 = 67,5 + 425 = 492,5, es decir, unas 493 cajas.
b) 0,15 × 515 + 0,85 × 492,5 = 77,25 + 418,6 = 495,9, es decir, unas 496 cajas.
Con un α mayor, la previsión reacciona más: baja más en la semana 2 (492,5 frente a 495) y, como parte de un valor más bajo, sigue ligeramente por debajo en la semana 3 (495,9 frente a 497), aunque ha subido más (3,4 cajas frente a 2).

10) a) y b)

MesDemanda realMedia móvil de 3 mesesErrorMedia ponderada 0,2/0,3/0,5Error
448(40 + 44 + 43) ÷ 3 = 42,33+5,670,2 × 40 + 0,3 × 44 + 0,5 × 43 = 42,7+5,3
550(44 + 43 + 48) ÷ 3 = 45,00+5,000,2 × 44 + 0,3 × 43 + 0,5 × 48 = 45,7+4,3
653(43 + 48 + 50) ÷ 3 = 47,00+6,000,2 × 43 + 0,3 × 48 + 0,5 × 50 = 48,0+5,0
755(48 + 50 + 53) ÷ 3 = 50,33+4,670,2 × 48 + 0,3 × 50 + 0,5 × 53 = 51,1+3,9
MAD21,33 ÷ 4 = 5,3318,5 ÷ 4 = 4,63

La media ponderada tiene menos errores (MAD de 4,63 frente a 5,33) porque da más peso al mes más reciente.
c) Media móvil de 3 meses: (50 + 53 + 55) ÷ 3 = 52,67. Media ponderada: 0,2 × 50 + 0,3 × 53 + 0,5 × 55 = 10 + 15,9 + 27,5 = 53,4. Recta: con X = 1 a 7, ΣX = 28, ΣY = 333, ΣX² = 140, ΣXY = 1.402; a = (7 × 1.402 − 28 × 333) ÷ (7 × 140 − 28²) = (9.814 − 9.324) ÷ 196 = 490 ÷ 196 = 2,5; b = (333 − 2,5 × 28) ÷ 7 = 263 ÷ 7 = 37,57; Y(8) = 37,57 + 2,5 × 8 = 57,57.
d) Todos los errores de las dos medias son positivos: ambas previsiones quedan siempre por debajo de la demanda real. Es el retraso habitual de las medias ante una tendencia al alza (la demanda crece alrededor de 2,5 unidades al mes). La media ponderada reduce ese retraso, pero no lo elimina. Para el mes 8, la previsión más acorde con los datos es la de la recta: unas 58 unidades.

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