IntroducciónEn la lección sobre costos de inventario vimos el dilema: los lotes grandes reducen el costo de los pedidos, pero aumentan el costo de mantenimiento; con los lotes pequeños ocurre lo contrario. Una de las técnicas más conocidas para resolverlo consiste en calcular una cantidad óptima de compra para cada artículo: el lote económico de compra (LEC), conocido en inglés como economic order quantity (EOQ).El LEC es la cantidad que debe comprarse en cada pedido para minimizar el costo total del inventario. La fórmula tiene más de un siglo: suele atribuirse a Ford W. Harris, quien la publicó en 1913. También se conoce como fórmula de Wilson, por R. H. Wilson, el consultor que la difundió entre las empresas. Hoy sigue incorporada en los sistemas de gestión de inventarios y en los ERP.Los supuestos del modeloPara obtener una fórmula sencilla, el modelo parte de varios supuestos sobre el comportamiento del inventario:la demanda anual (D) es conocida y el consumo es constante: cada día sale del inventario la misma cantidad;el inventario siempre se repone con la misma cantidad (Q);la reposición es instantánea y ocurre justo cuando el inventario llega a cero;no hay faltantes: se satisface toda la demanda;el costo de cada pedido (Cp) y el costo anual de mantenimiento por unidad (Cm) son fijos, y el precio no varía según la cantidad comprada (este último supuesto se dejará de lado en la sección sobre descuentos).Bajo estos supuestos, el nivel de inventario sigue el conocido patrón de «diente de sierra»: llega un lote Q, el inventario desciende en línea recta hasta cero, llega otro lote Q y el ciclo se repite. Si el consumo diario es d y el tiempo entre dos reposiciones es t, entonces Q = d × t.En ninguna empresa real la demanda es perfectamente constante ni las entregas son instantáneas. Aun así, el modelo resulta útil porque el costo total es poco sensible a los errores en los datos, como veremos más adelante. Los supuestos menos realistas se abordan en las siguientes lecciones: el tiempo de entrega y la incertidumbre de la demanda se incorporan al calcular el inventario de seguridad y el punto de pedido.La fórmula del lote económicoPara cubrir una demanda anual D con lotes de Q unidades, la empresa realiza D ÷ Q pedidos al año. Y como el inventario baja en línea recta de Q a cero, el inventario promedio es Q ÷ 2. Por tanto:Costo anual de los pedidos = (D ÷ Q) × CpCosto anual de mantenimiento = (Q ÷ 2) × CmEl Cm puede expresarse de dos maneras, y conviene distinguirlas:como importe por unidad: «mantener una unidad cuesta R$ 2 al año» → Cm = R$ 2;como porcentaje del precio: «el costo de mantenimiento es del 20% anual» y el artículo cuesta R$ 5 → Cm = 20% × 5 = R$ 1 por unidad al año.El costo del inventario es la suma de ambos componentes:Costo de inventario = (Q ÷ 2) × Cm + (D ÷ Q) × CpEl costo de mantenimiento aumenta con el tamaño del lote, el de los pedidos disminuye y el total alcanza su mínimo en el LECEl gráfico muestra qué ocurre al variar Q: la línea del costo de mantenimiento asciende, la curva del costo de los pedidos desciende y la suma alcanza un mínimo. En este modelo, ese mínimo se encuentra exactamente donde ambos costos son iguales:(Q ÷ 2) × Cm = (D ÷ Q) × CpAl despejar Q, obtenemos la fórmula del lote económico:LEC = √(2 × D × Cp ÷ Cm)(Quien sepa calcular derivadas puede comprobarlo: al derivar el costo respecto de Q e igualar el resultado a cero, se obtiene la misma expresión).Hay dos magnitudes que suelen calcularse junto con el LEC:Número de pedidos al año = D ÷ LECIntervalo entre pedidos = LEC ÷ D (en años; multiplíquelo por 365, o por los días hábiles, para expresarlo en días). Este intervalo es la base del sistema de revisión periódica, que se tratará en otra lección de la serie.Cuidado con las unidades: D, Cp y Cm deben corresponder al mismo período. Si la demanda es mensual y el Cm es anual, convierta uno de los dos antes de calcular.Ejemplo resueltoUna empresa compra piezas para paneles a R$ 5,00 por unidad. Prevé consumir 4.000 unidades el próximo año. Cada pedido al proveedor cuesta R$ 30,00 y mantener una pieza en inventario cuesta R$ 1,50 al año. Determine: a) el lote económico; b) cuántos pedidos se hacen al año; c) el costo total correspondiente al lote económico.a) LEC = √(2 × 4.000 × 30 ÷ 1,5) = √160.000 = 400 unidadesb) Número de pedidos = 4.000 ÷ 400 = 10 pedidos al año (aproximadamente uno cada 36,5 días)c) Sumamos el costo de adquisición a los costos de inventario:CT = D × P + (Q ÷ 2) × Cm + (D ÷ Q) × Cp = 4.000 × 5 + 200 × 1,5 + 10 × 30 = 20.000 + 300 + 300 = R$ 20.600Observe que, con el LEC, el costo de mantenimiento (R$ 300) es igual al costo de los pedidos (R$ 300), tal como predice la teoría. Esa igualdad sirve para comprobar los cálculos.Una empresa consume 7.200 unidades de un artículo al año. Cada pedido cuesta R$ 100 y mantener una unidad en inventario cuesta R$ 4 al año. Si aplica el lote económico, ¿cuántos pedidos debe hacer al año?Respuesta: 12 pedidos — LEC = √(2 × 7.200 × 100 ÷ 4) = √360.000 = 600 unidades, y 7.200 ÷ 600 = 12 pedidos al año. 600 es el tamaño del lote, no el número de pedidos.El costo total varía poco cerca del LECUna objeción habitual es que, como los costos de los pedidos y de mantenimiento son estimaciones, el LEC calculado no será exacto. Es cierto, pero la curva del costo total es muy plana cerca del mínimo. Estos son los costos de inventario del ejemplo anterior con otros tamaños de lote:Lote QPedidos (D ÷ Q × 30)Mantenimiento (Q ÷ 2 × 1,5)Costo de inventarioPor encima del mínimo200R$ 600R$ 150R$ 750+25%300R$ 400R$ 225R$ 625+4%400 (LEC)R$ 300R$ 300R$ 600—500R$ 240R$ 375R$ 615+2,5%600R$ 200R$ 450R$ 650+8%800R$ 150R$ 600R$ 750+25%Elegir un lote un 25% mayor o menor (500 o 300) eleva el costo apenas entre un 2,5% y un 4%. Esto tiene dos consecuencias prácticas:se puede redondear el LEC para ajustarlo a las cajas, los palés o los múltiplos en que vende el proveedor sin preocuparse demasiado;el LEC es resistente a los errores de estimación: como la fórmula incluye una raíz cuadrada, si el Cp estimado duplica el real, el lote calculado solo será un 41% mayor (√2 ≈ 1,41) y el costo quedará apenas por encima del óptimo.La demanda anual de un artículo se cuadruplicó, mientras que los costos de los pedidos y de mantenimiento por unidad no cambiaron. ¿Qué ocurre con el lote económico?Respuesta: Se duplica — la demanda está dentro de la raíz cuadrada: √4 = 2. El número de pedidos al año también se duplica (4 veces la demanda ÷ 2 veces el lote). Se cuadruplicaría si el LEC fuera proporcional a la demanda, pero no lo es.Compras con descuentos por cantidadA menudo, el proveedor ofrece descuentos para pedidos que superan una cantidad mínima. En ese caso, el precio depende del tamaño del lote y deja de cumplirse el supuesto de precio fijo. El descuento reduce el costo de adquisición, que es el principal componente del costo total, pero exige comprar lotes mayores y aumenta el costo de mantenimiento.Existen fórmulas más elaboradas para estos casos, pero el método más sencillo y fiable consiste en calcular el costo total, incluido el de adquisición, para cada tramo de precios y elegir el menor:Para cada tramo de precios, calcule el LEC con el Cm correspondiente a ese precio (si el Cm es un porcentaje, cambia cuando cambia el precio).Si el LEC calculado queda por debajo de la cantidad mínima del tramo, use esa cantidad mínima (la menor compra que permite obtener el descuento). Si queda dentro del tramo, use el LEC calculado.Calcule el costo total CT = D × P + (Q ÷ 2) × Cm + (D ÷ Q) × Cp para cada opción.Elija la opción con el menor costo total.Ejemplo resueltoUna empresa compra un producto para revenderlo a R$ 5,00 por unidad. El proveedor ofrece estos precios: los pedidos de 1.000 a 1.999 unidades cuestan R$ 4,80 por unidad y los de 2.000 unidades o más, R$ 4,75. Cada pedido cuesta R$ 49,00, el costo anual de mantenimiento es del 20% y la demanda prevista es de 5.000 unidades al año. ¿Qué cantidad conviene comprar en cada pedido?Tramo de R$ 5,00 (Cm = 20% × 5 = R$ 1,00): LEC = √(2 × 5.000 × 49 ÷ 1) = √490.000 = 700 unidades, dentro del tramo.Tramo de R$ 4,80 (Cm = R$ 0,96): el LEC sería √(490.000 ÷ 0,96) ≈ 714, por debajo del mínimo de 1.000. Usamos Q = 1.000.Tramo de R$ 4,75 (Cm = R$ 0,95): el LEC sería ≈ 718, por debajo del mínimo de 2.000. Usamos Q = 2.000.QAdquisiciónMantenimientoPedidosCosto total700 a R$ 5,00R$ 25.000350 × 1,00 = R$ 3505.000 ÷ 700 × 49 = R$ 350R$ 25.7001.000 a R$ 4,80R$ 24.000500 × 0,96 = R$ 4805 × 49 = R$ 245R$ 24.7252.000 a R$ 4,75R$ 23.7501.000 × 0,95 = R$ 9502,5 × 49 = R$ 122,50R$ 24.822,50La mejor opción es comprar 1.000 unidades por pedido. El segundo descuento reduce el costo de adquisición en otros R$ 250, pero obliga a mantener el doble de inventario, y el costo adicional de mantenimiento supera ese ahorro.Un artículo tiene una demanda de 1.200 unidades al año, un costo de R$ 50 por pedido y un costo anual de mantenimiento del 20%. Su precio es de R$ 10, pero baja a R$ 9,50 en pedidos de 500 unidades o más. Al precio normal, el LEC es de unas 245 unidades y el costo total ronda los R$ 12.490. ¿Qué debe hacer la empresa?Respuesta: Comprar 500 unidades a R$ 9,50, con un costo total de R$ 11.995 — adquisición: 1.200 × 9,50 = R$ 11.400; pedidos: 1.200 ÷ 500 × 50 = R$ 120; mantenimiento: 250 × 1,90 = R$ 475; total: R$ 11.995, menos que R$ 12.490. No es posible comprar 251 unidades a R$ 9,50: por debajo de 500 unidades no hay descuento.Limitaciones del modeloEl LEC es un punto de partida, no una regla inflexible. Conviene reconocer cuándo sus supuestos se alejan de la realidad:Tiempo de entrega. El modelo supone que el lote llega en el momento en que se hace el pedido. En la práctica existe un plazo de entrega, por lo que hay que pedir antes de que se agote el inventario. Consulte la lección sobre plazos de entrega e inventario de seguridad.Demanda incierta. Cuando la demanda varía, el LEC sigue siendo útil para determinar el tamaño del lote, pero también hace falta un inventario de seguridad para evitar faltantes.Producción propia. Si el artículo se fabrica internamente y entra en el inventario de forma gradual mientras se consume, se utiliza una variante llamada lote económico de producción, que tiene en cuenta la tasa de producción.Restricciones físicas y financieras. El espacio de almacenamiento, la vida útil del producto, el pedido mínimo del proveedor y el efectivo disponible pueden impedir comprar el lote calculado. Como el costo varía poco cerca del óptimo, adaptar el lote a estas restricciones suele tener un costo reducido.EjerciciosFáciles1) (Examen de Logística, CEFET/RJ, 2018) Eletrônica Estrela utiliza 3.000 unidades de un artículo al año. Cada pedido cuesta R$ 60,00 y mantener una unidad en inventario cuesta R$ 1,00 al año. Para minimizar el costo total del inventario, ¿cuántas unidades debe incluir cada pedido?2) La demanda anual de un artículo de una empresa comercial es de 15.000 unidades. El costo de mantenimiento es de R$ 0,80 por unidad al año y el costo de cada pedido es de R$ 35,00. Determine el lote económico de compra.3) Un artículo tiene una demanda de 2.400 unidades al año, un costo de R$ 75,00 por pedido y un costo de mantenimiento de R$ 4,00 por unidad al año. Calcule el lote económico, el número de pedidos anuales y el intervalo entre pedidos en días (año de 365 días).4) Un artículo cuesta R$ 25,00, la tasa de mantenimiento es del 20% anual, la demanda es de 5.000 unidades al año y cada pedido cuesta R$ 40,00. ¿Cuál es el lote económico?5) Una empresa informatizó sus compras y el costo de cada pedido se redujo a una cuarta parte. La demanda y el costo de mantenimiento no cambiaron. ¿Qué ocurre con el lote económico?Difíciles6) La empresa VendeMais vende un producto con una demanda anual de 40.000 unidades. Emitir un pedido de compra cuesta R$ 30,00. El costo anual de mantenimiento es de R$ 0,30 por unidad. Además, este artículo tiene costos fijos de R$ 50,00 al año que no dependen del tamaño del lote. Calcule:a) el costo total de mantener las existencias con lotes de 2.500 unidades (sin incluir el costo de adquisición);b) el lote económico de compra.7) Una fábrica de equipos electrónicos utiliza 600 placas de circuito impreso al año y paga R$ 20,00 por pedido. El costo de mantenimiento es de R$ 0,10 por unidad al año, calculado sobre las existencias promedio. También hay un costo de almacenamiento de R$ 0,025 por unidad al año, calculado sobre el espacio necesario para las existencias máximas. Cada placa cuesta R$ 1,00. Calcule:a) el lote económico;b) el costo total (incluida la adquisición);c) cuántos pedidos se harán al año.8) Una fábrica de electrodomésticos prevé vender 4.500 refrigeradores al mes durante el próximo año. Cada refrigerador lleva un compresor que se compra a R$ 18,00 por unidad, conforme al lote económico. Mantener un compresor en existencia cuesta R$ 1,536 al año y emitir una orden de compra cuesta R$ 200,00.a) ¿De qué tamaño debe ser el lote de compresores?b) ¿Cuántos pedidos se harán al año?9) Una empresa compra según el lote económico. La demanda anual es de 1.800 unidades, el lote económico es de 600 unidades, el costo de mantenimiento es de R$ 2,50 por unidad al año y el costo de cada pedido es de R$ 250,00. Se estudia una nueva política: entregas directamente en la línea de producción, en lotes de 100 unidades acondicionadas en contenedores que cuestan R$ 35,00 cada uno (este pasa a ser el costo de cada entrega). ¿Cuál es la mejor opción para la empresa?10) Un supermercado compra arroz en envases de 5 kg y estima vender 25.000 kg al año. El proveedor solo acepta pedidos de tres tamaños: 10.000 kg, a R$ 7,00 por envase; 15.000 kg, a R$ 6,50 por envase; o 20.000 kg, a R$ 6,00 por envase. Procesar un pedido de arroz cuesta R$ 3.500,00, y los costos de almacenamiento y de capital suman el 50% anual del precio. ¿Qué tamaño de pedido debe elegir el supermercado?Soluciones1) LEC = √(2 × 3.000 × 60 ÷ 1) = √360.000 = 600 unidades.2) LEC = √(2 × 15.000 × 35 ÷ 0,80) = √1.312.500 ≈ 1.146 unidades.3) LEC = √(2 × 2.400 × 75 ÷ 4) = √90.000 = 300 unidades. Pedidos al año: 2.400 ÷ 300 = 8. Intervalo: 365 ÷ 8 ≈ 45,6 días (o 300 ÷ 2.400 = 0,125 año × 365).4) Primero, el costo de mantenimiento: 20% × 25 = R$ 5,00 por unidad al año. LEC = √(2 × 5.000 × 40 ÷ 5) = √80.000 ≈ 283 unidades.5) El lote económico se reduce a la mitad. El costo por pedido está dentro de la raíz: si se multiplica por 1/4, el LEC se multiplica por √(1/4) = 1/2. La empresa pasa a comprar lotes más pequeños, con el doble de pedidos y la mitad de existencias promedio.6) a) Pedidos: 40.000 ÷ 2.500 = 16 × 30 = R$ 480; mantenimiento: 2.500 ÷ 2 = 1.250 × 0,30 = R$ 375; costos fijos: R$ 50. Total: R$ 905.b) LEC = √(2 × 40.000 × 30 ÷ 0,30) = √8.000.000 ≈ 2.828 unidades. Los R$ 50 de costos fijos no entran en la fórmula porque no varían con el tamaño del lote.7) Aquí hay dos costos de mantenimiento: R$ 0,10 sobre las existencias promedio (Q ÷ 2) y R$ 0,025 sobre las existencias máximas (Q). El costo de las existencias es (Q ÷ 2) × 0,10 + Q × 0,025 + (600 ÷ Q) × 20, lo que equivale a usar Cm = 0,10 + 2 × 0,025 = 0,15 en la fórmula.a) LEC = √(2 × 600 × 20 ÷ 0,15) = √160.000 = 400 unidades.b) Adquisición: 600 × 1,00 = R$ 600; mantenimiento: 200 × 0,10 = R$ 20; almacenamiento: 400 × 0,025 = R$ 10; pedidos: 1,5 × 20 = R$ 30. Total: R$ 660.c) 600 ÷ 400 = 1,5 pedidos al año (3 pedidos cada 2 años).8) Primero, la demanda anual: 4.500 × 12 = 54.000 compresores (el costo de mantenimiento es anual).a) LEC = √(2 × 54.000 × 200 ÷ 1,536) = √14.062.500 = 3.750 compresores.b) 54.000 ÷ 3.750 = 14,4 pedidos al año.El precio de R$ 18,00 no entra en la fórmula porque el costo de mantenimiento ya está expresado en reales.9) Política actual: 1.800 ÷ 600 = 3 pedidos × 250 = R$ 750; mantenimiento: 600 ÷ 2 = 300 × 2,50 = R$ 750; R$ 1.500 al año.Nueva política: 1.800 ÷ 100 = 18 entregas × 35 = R$ 630; mantenimiento: 50 × 2,50 = R$ 125; R$ 755 al año.La mejor opción es recibir entregas en lotes de 100 unidades, con un costo de casi la mitad. Reducir el costo de cada entrega de R$ 250 a R$ 35 cambia el tamaño del lote ideal y permite a la empresa mantener muchas menos existencias.10) Demanda en envases: 25.000 ÷ 5 = 5.000 al año. Los tamaños de pedido posibles son 2.000, 3.000 y 4.000 envases (10, 15 y 20 mil kg), con un costo de mantenimiento equivalente al 50% del precio de cada opción:2.000 a R$ 7,00 (Cm = 3,50): 5.000 × 7 = 35.000 + 2,5 pedidos × 3.500 = 8.750 + 1.000 × 3,50 = 3.500; total: R$ 47.250;3.000 a R$ 6,50 (Cm = 3,25): 32.500 + 1,667 × 3.500 = 5.833,33 + 1.500 × 3,25 = 4.875; total: R$ 43.208,33;4.000 a R$ 6,00 (Cm = 3,00): 30.000 + 1,25 × 3.500 = 4.375 + 2.000 × 3,00 = 6.000; total: R$ 40.375.La opción de menor costo es pedir 4.000 envases (20.000 kg) cada vez. El descuento en la compra (R$ 5.000 al año frente al precio sin descuento) compensa con creces el mayor costo de mantenimiento.
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