Medidas de assimetria ou de curtose

Quando uma distribuição é simétria, a média e a moda coincidem. sendo a distribuição assimétria à esquerda ou negativa, a média é menor que a moda; e sendo assimétrica à direita ou positiva, a média é maior que a moda.

Assim:

\[ \bar{x} - Mo = 0 \text{--> assimetria nula ou distribuição simétrica} \]

\[ \bar{x} - Mo < 0 \text{--> assimetria negativa ou à esquerda} \]

\[ \bar{x} - Mo > 0 \text{--> assimetria positiva ou à direita} \]

Tipos de assimetria

Quais frequências abaixo são simétricas?

Temos:

\[ \bar{x} = 12 \]

\[ Md = 12 \]

\[ Mo = 12 \]

\[ s = 4,42 \]

Logo, a distribuição é simétrica.

Temos:

\[ \bar{x} = 12,9 \]

\[ Md = 13,5 \]

\[ Mo = 16 \]

\[ s = 4,20 \]

Logo, a distribuição é assimétrica negativa.

Temos:

\[ \bar{x} = 11,1 \]

\[ Md = 10,5 \]

\[ Mo = 8 \]

\[ s = 4,20 \]

Logo, a distribuição é assimétrica positiva.

A medida de assimetria anterior, por ser absoluta, apresenta a mesma deficiência do desvio padrão, isto é, não permite comparações com outras distribuições a fim de discutir se uma é mais assimétrica do que outra.

Para comparações, é utilizado o coeficiente de assimetria de Pearson:

\[ As = \frac{3 · (\bar{x} - Md)}{s} \]

Dos exemplos anteriores:

\[ As_1 = \frac{3 · (12-12)}{4,42} = 0 \]

\[ As_2 = \frac{3 · (12,9-13,5)}{4,20} = -0,429 \]

\[ As_3 = \frac{3 · (11,1 - 10,5)}{4,20} = 0,429 \]

> Denominamos curtose o grau de achatamento em relação a uma distribuição padrão normal.

Devido à distribuição normal só ser estudada mais tarde, neste momento só será estudado o significado de curtose. Existem três classificações para curtose:

- Leptocúrtica

- Mesocúrtica

- Platicúrtica

1) Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de frequência:

Determine o tipo de assimetria de cada uma delas.

2) Uma distribuição de frequência apresenta as seguintes medidas: média = 48,1; mediana = 47,9; e desvio padrão = 2,12. Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson.

3) Em uma distribuição de frequência foram encontradas as seguintes medidas:

Média = 33,18; moda = 27,50; mediana = 31,67; e desvio padrão = 12,25.

a. Classifique o tipo de assimetria.

b. Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson.