A construção de um teste de hipóteses para um parâmetro populacional pode ser colocada do seguinte modo. Existe uma variável X associada a uma população, e temos uma hipótese sobre um parâmetro θ dessa população; por exemplo, afirmamos que o verdadeiro valor de θ é 20. Colhemos uma amostra aleatória dessa população e, com ela, queremos verificar se os dados contrariam ou não essa hipótese.Como já vimos, começamos dizendo claramente qual hipótese estamos pondo à prova. Ela se chama hipótese nula e é escrita assim:H0: θ = 20Em seguida, convém dizer também qual hipótese será considerada aceitável caso H0 seja rejeitada. Ela se chama hipótese alternativa, e a sua forma depende do que se sabe sobre o problema. A alternativa mais geral é:H1: θ ≠ 20Mas também podemos ter alternativas da formaH1: θ < 20 ou H1: θ > 20dependendo das informações que o problema traz.Qualquer que seja a decisão tomada, estamos sujeitos a cometer erros. Para facilitar a linguagem, usamos as definições:Erro tipo I: rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 | H0 verdadeira) = α.Erro tipo II: não rejeitar H0 quando H0 é falsa. P(erro tipo II) = P(não rejeitar H0 | H0 falsa) = β.O objetivo do teste é dizer se a hipótese H0 é ou não aceitável. Na prática, essa decisão é tomada com uma região crítica (RC), também chamada de região de rejeição: se o valor observado da estatística do teste cair nessa região, rejeitamos H0; caso contrário, não rejeitamos H0. A região é construída de modo que a probabilidade de rejeitar H0 quando ela é verdadeira (o erro tipo I) seja igual a um valor definido antes de olhar os dados. Um fato importante: a região crítica é sempre construída supondo H0 verdadeira. Já o erro tipo II é mais difícil de calcular, porque em geral não fixamos um valor para o parâmetro sob a hipótese alternativa.A probabilidade de cometer o erro tipo I (ou de primeira espécie) é escolhida por quem faz o teste e se chama nível de significância, α. Quanto menor o α, mais forte precisa ser a evidência da amostra para rejeitar H0: um resultado que rejeita H0 a 1% é mais significante do que um que só rejeita a 5%. Os valores mais usados são 5%, 1% e 0,1%.O que significa realizar um teste com nível de significância de 5%?Gabarito: Que, se H0 for verdadeira, há 5% de chance de rejeitá-la por engano — α é a probabilidade do erro tipo I, calculada supondo H0 verdadeira. Ele não é a probabilidade de H0 ser verdadeira, que o teste clássico não calcula.Passos para a construção de um teste de hipótesesA sequência abaixo pode ser usada sistematicamente em qualquer teste de hipóteses.Fixe a hipótese H0 a ser testada e a hipótese alternativa H1.Use a teoria estatística e as informações disponíveis para decidir qual estatística (estimador) será usada para testar H0, e obtenha suas propriedades (distribuição, média, desvio padrão).Fixe a probabilidade α de cometer o erro tipo I e use esse valor para construir a região crítica (regra de decisão). Essa região é construída para a estatística do passo 2, usando o valor do parâmetro dado por H0.Use as observações da amostra para calcular o valor da estatística do teste.Se o valor calculado não pertencer à região crítica, não rejeite H0; caso contrário, rejeite H0.Sempre que fizermos um teste de hipóteses, vamos distinguir bem esses cinco passos. Por fim, um comentário sobre H0 e o erro tipo I: devemos tomar como H0 a hipótese cuja rejeição indevida leve ao erro tipo I mais importante de evitar.Vejamos um exemplo devido a Neyman (1978). Suponha um experimento para determinar se um produto A é ou não cancerígeno. Depois do teste, podemos concluir: (i) A é cancerígeno ou (ii) A não é cancerígeno. Cada conclusão pode estar errada, e temos os dois tipos de erro já mencionados, dependendo de qual hipótese for H0. Do ponto de vista do usuário do produto, a hipótese a ser testada deve ser:H0: A é cancerígenopois a probabilidade de rejeitar essa hipótese quando ela é verdadeira, isto é, de liberar um produto cancerígeno, deve ser muito pequena.Quantidade de caudasHá 3 tipos de testes, conforme a hipótese alternativa. Nos testes para a média com variância conhecida, a estatística é z = (x̄ − μ0)/(σ/√n), e o valor crítico zα é o ponto da normal padrão que deixa α acima dele (z5% = 1,645, z2,5% = 1,96, z1% = 2,326, z0,5% = 2,576).Unilateral (unicaudal) à esquerdaH0: μ = μ0H1: μ < μ0Rejeita-se H0 se zcalc < −zα. Todo o α fica na cauda esquerda.Unilateral (unicaudal) à direitaH0: μ = μ0H1: μ > μ0Rejeita-se H0 se zcalc > zα. Todo o α fica na cauda direita.Bilateral (bicaudal)H0: μ = μ0H1: μ ≠ μ0Rejeita-se H0 se |zcalc| > zα/2, ou seja, se zcalc < −zα/2 ou zcalc > zα/2. O α é dividido em duas metades, uma em cada cauda.A escolha da cauda deve ser feita antes de ver os dados, a partir da pergunta do problema. Escolhê-la depois de ver para que lado a amostra caiu dobra, na prática, o erro tipo I.Uma empresa garante que seu repelente dura no mínimo 400 horas, e você desconfia que dura menos. Qual teste fazer?Gabarito: Unilateral à esquerda, H1: μ menor que 400 — a suspeita tem um sentido definido, durar menos que o prometido. Uma média acima de 400 não contraria a empresa, então todo o α vai para a cauda esquerda.Num teste com α = 5%, o valor calculado foi z = 1,80. Qual a decisão no teste unilateral à direita e no bilateral?Gabarito: Rejeita H0 no unilateral e não rejeita no bilateral — no unilateral o valor crítico é 1,645 e 1,80 passa dele; no bilateral é 1,96 e 1,80 não chega lá. Com o α inteiro numa cauda só, o teste unilateral rejeita mais facilmente naquele sentido.Testes sobre a média de uma população com variância conhecidaVejamos agora uma aplicação dos cinco passos para testar a hipótese de que a média μ de uma população é igual a um número fixado μ0, supondo conhecida a variância σ² dessa população.Exemplo 1: a máquina de caféUma máquina automática enche pacotes de café segundo uma distribuição normal, com média μ e variância sempre igual a 400 g². A máquina foi regulada para μ = 500 g. Periodicamente, colhemos uma amostra de 16 pacotes para verificar se a produção está sob controle, isto é, se μ = 500 g ou não. Se uma dessas amostras tivesse média de 492 g, você pararia a produção para regular a máquina, com 1% de significância?Passo 1. As hipóteses que nos interessam são H0: μ = 500 g e H1: μ ≠ 500 g, pois a máquina pode se desregular para mais ou para menos.Passo 2. Sob H0, a média amostral x̄ é normal com média 500 g e desvio padrão √(400/16) = √25 = 5 g.Passo 3. Pela hipótese alternativa, H0 deve ser rejeitada quando x̄ for muito pequena ou muito grande: é um teste bilateral, com 0,5% de probabilidade em cada cauda (z0,5% = 2,576).Primeiro ponto da RC: x̄1 = 500 − 2,576 × 5 = 487,1Segundo ponto: x̄2 = 500 + 2,576 × 5 = 512,9A região crítica é, portanto: RC = {x̄ < 487,1 ou x̄ > 512,9}.Passo 4. A informação relevante da amostra é sua média, que neste caso é x̄ = 492 (o que equivale a z = (492 − 500)/5 = −1,6).Passo 5. Como x̄ não pertence à região crítica, não rejeitamos H0 e não paramos a produção. A diferença entre a média da amostra e a média de H0 pode ser atribuída apenas ao sorteio aleatório dos pacotes.Exemplo 2: a massa cerâmicaNa indústria cerâmica, avalia-se sistematicamente a resistência de amostras de massas cerâmicas após a queima. Sabe-se que certo tipo de massa tem resistência mecânica aproximadamente normal, com média 53 MPa e variância 16 MPa². Após a troca de alguns fornecedores de matérias-primas, deseja-se verificar se houve alteração na qualidade. Uma amostra de 15 corpos de prova acusou média de 50 MPa. Qual a conclusão ao nível de significância de 5%?Passo 1. Fazemos um teste bilateral, porque antes de observar a amostra não sabíamos se a resistência ficaria maior ou menor que 53: H0: μ = 53 e H1: μ ≠ 53.Passo 2. Sob H0, x̄ é normal com média 53 e desvio padrão 4/√15 = 1,033 (o desvio padrão da população é √16 = 4).Passo 3. Como o teste é bilateral, ficam 2,5% em cada cauda, e a região crítica é |z| > 1,96.Passo 4. z = (50 − 53)/(4/√15) = −2,90.Passo 5. Como −2,90 < −1,96, o valor está na região crítica e rejeitamos H0. Outra forma de ver: a probabilidade de uma amostra ter média de 50 ou menos, se μ fosse 53, é P(Z < −2,90) = 0,18%, bem menor que os 2,5% da cauda; o p-valor bilateral é 2 × 0,18% = 0,37%, bem menor que 5%. Concluímos que a troca de fornecedores alterou (reduziu) a resistência média da massa.A imagem abaixo brinca com o mesmo raciocínio. Se a taxa de sobrevivência da cirurgia com este médico fosse mesmo de 50%, a chance de os últimos 20 pacientes sobreviverem seria 0,5^20, cerca de 1 em 1 milhão. O cientista rejeita essa hipótese nula: tudo indica que este médico tem uma taxa bem maior que a média.Você faria a cirurgia com este médico?Na máquina de café (σ da média = 5 g, teste bilateral a 1%, região crítica abaixo de 487,1 ou acima de 512,9), uma nova amostra tem média de 486 g. O que fazer?Gabarito: Parar e regular a máquina, porque z = −2,8 está na região crítica — z = (486 − 500)/5 = −2,8, menor que −2,576. Estar perto de 500 em porcentagem não importa: o que decide é a distância em desvios padrão da média amostral.Exercícios1) Uma companhia de cigarros anuncia que o índice médio de nicotina dos cigarros que fabrica está no nível recomendado de 23 mg por cigarro. Um laboratório faz seis análises desse índice e obtém: 27, 24, 21, 25, 26, 22. Sabe-se que o índice de nicotina tem distribuição normal com variância igual a 4 mg². Pode-se aceitar, ao nível de 10%, a afirmação do fabricante?2) O consumidor de um produto acusou o fabricante, dizendo que mais de 20% das unidades fabricadas têm defeito. Para confirmar a acusação, ele usou uma amostra de tamanho 50, em que 27% das peças eram defeituosas. Mostre como o fabricante poderia refutar a acusação. Use um nível de significância de 10%. (Desvio padrão = √(p · (1 − p)).)3) Um fabricante garante que 90% dos equipamentos que fornece a uma fábrica estão de acordo com as especificações. O exame de uma amostra de 200 peças revelou 25 defeituosas. Teste a afirmação do fabricante nos níveis de 5% e 1%. (Desvio padrão = √(p · (1 − p)).)4) A resistência à tração do aço inoxidável produzido numa usina permanecia estável, com média de 72 kg/mm² e desvio padrão de 2,0 kg/mm², com distribuição normal. Recentemente a máquina foi ajustada. Para determinar o efeito do ajuste, 10 amostras foram testadas, com resistência média de 75 kg/mm². Considere que o desvio padrão não mudou. Com nível de significância de 5%, é possível afirmar que o valor médio não mudou?5) A DeBug Company vende um repelente de insetos que, segundo ela, é eficiente por no mínimo 400 horas. Uma análise de nove itens escolhidos aleatoriamente deu média de 380 horas. Teste a afirmação da empresa contra a alternativa de que a duração é inferior a 400 horas, ao nível de significância de 1%, sabendo que o desvio padrão da população é de 60 horas (considere distribuição normal).6) Um comprador, ao receber de um fornecedor um grande lote de peças, decidiu inspecionar 200 delas. Decidiu também que o lote será rejeitado se ele ficar convencido, ao nível de 5% de significância, de que a proporção de peças defeituosas no lote é superior a 4%. Qual será sua decisão (aceitar ou rejeitar o lote) se na amostra forem encontradas onze peças defeituosas? (Desvio padrão = √(p · (1 − p)).)7) Mesma situação do exercício 6, mas agora foram encontradas 14 peças defeituosas na amostra de 200. Qual a decisão? (Desvio padrão = √(p · (1 − p)).)Gabarito1) Média da amostra = 24,17; z = (24,17 − 23)/(2/√6) = 1,43. Teste bilateral a 10%: valor crítico 1,645. Como 1,43 < 1,645, não se rejeita a hipótese nula: pode-se aceitar a afirmação do fabricante.2) H0: p = 0,20 contra H1: p > 0,20 (unilateral à direita). Desvio padrão de p̂ = √(0,2 × 0,8/50) = 0,0566. A acusação só seria aceita (H0 rejeitada) se a proporção da amostra passasse de 0,20 + 1,28 × 0,0566 = 27,24%. Como 27% fica abaixo disso (z = 1,24 < 1,28), o fabricante pode refutar a acusação: ao nível de 10%, não há evidência de que mais de 20% sejam defeituosos.3) H0: p = 0,90 contra H1: p < 0,90. Proporção conforme na amostra = 175/200 = 0,875; z = (0,875 − 0,90)/√(0,9 × 0,1/200) = −1,18. Não passa de −1,645 (5%) nem de −2,326 (1%): em nenhum dos dois níveis a hipótese nula pode ser rejeitada.4) z = (75 − 72)/(2/√10) = 4,74 > 1,96: rejeita-se H0, ou seja, não é possível afirmar que a média não mudou.5) z = (380 − 400)/(60/√9) = −1,0, maior que −2,326: não é possível rejeitar a hipótese nula.6) p̂ = 11/200 = 0,055; z = (0,055 − 0,04)/√(0,04 × 0,96/200) = 1,08 < 1,645: não é possível rejeitar a hipótese nula, e o lote é aceito.7) p̂ = 14/200 = 0,07; z = 2,17 > 1,645: rejeita-se a hipótese nula, e o lote é rejeitado.
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