Teste de hipótese e seus tipos de erros

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Erro tipo I e tipo II no teste de hipótese, com um exemplo resolvido: hipótese nula, α, β, poder, nível de significância e testes unilateral e bilateral.

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Um dos problemas resolvidos pela inferência estatística é o de testar uma hipótese. Isto é, feita uma afirmação sobre uma população, geralmente sobre um de seus parâmetros, queremos saber se os resultados de uma amostra contrariam ou não essa afirmação.

O objetivo do teste estatístico de hipóteses é, então, fornecer um método que permita verificar se os dados da amostra trazem evidências que apoiem ou não uma hipótese estatística formulada.

A ideia central do teste de hipótese é supor verdadeira a hipótese em questão e verificar se a amostra observada é "verossímil" nessas condições.

Um exemplo: de onde vêm os parafusos?

Uma indústria usa, como um dos componentes das máquinas que produz, um parafuso importado, que deve satisfazer algumas exigências. Uma delas é a resistência à tração. Esses parafusos são fabricados por alguns países, e as especificações técnicas variam de país para país. O catálogo do país A afirma que a resistência média à tração de seus parafusos é de 145 kg, com desvio padrão de 12 kg. Para o país B, a média é de 155 kg e o desvio padrão, 20 kg.

Um lote desses parafusos, de origem desconhecida, será leiloado a um preço muito convidativo. Para decidir se faz ou não uma oferta, a indústria precisa saber qual país produziu os parafusos. O edital do leiloeiro afirma que, pouco antes do leilão, será divulgada a resistência média x̄ de uma amostra de 25 parafusos do lote. Que regra de decisão a indústria deve usar para dizer se os parafusos são do país A ou do país B?

A forma mais simples seria escolher o país cuja média está mais próxima da média da amostra. Para isso, pegamos o ponto médio entre as duas médias:

Ponto médio = (145 + 155)/2 = 150

Se x̄ for menor que 150, dizemos que os parafusos são de A; se for maior, de B. Suponha que a média da amostra seja 148: pela nossa regra, diríamos que os parafusos são de A. Podemos estar enganados? Em outras palavras, é possível que uma amostra de parafusos de B tenha média 148? Sim, é possível. Por isso precisamos estudar os tipos de erro que podemos cometer e suas probabilidades.

Os tipos de erro

Vamos tomar a origem B como a hipótese a ser testada (a hipótese nula, definida na próxima seção). Com a regra do ponto médio, há dois erros possíveis:

  • Erro tipo I: dizer que os parafusos são de A quando, na realidade, são de B. Acontece quando o lote é de B, mas a média da amostra sai menor que 150 kg.
  • Erro tipo II: dizer que os parafusos são de B quando, na realidade, são de A. Acontece quando o lote é de A, mas a média da amostra sai maior que 150 kg.

De modo geral, o erro tipo I é rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira (um falso positivo), e sua probabilidade se chama α. O erro tipo II é não rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa (um falso negativo), com probabilidade β. A imagem abaixo é uma forma bem-humorada de guardar a diferença: com a hipótese nula 'não está grávida', dizer a um homem que ele está grávido é um erro tipo I, e dizer a uma grávida que ela não está é um erro tipo II.

Os tipos de erro
Os tipos de erro

Num exame de laboratório, a hipótese nula é 'o paciente não tem a doença'. O exame dá positivo para uma pessoa saudável. Que erro foi cometido?

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Gabarito: Erro tipo I, porque a hipótese nula verdadeira foi rejeitada — a pessoa era saudável (H0 verdadeira) e o exame concluiu o contrário: é um falso positivo. O erro tipo II seria o exame dar negativo para alguém doente.

A hipótese nula e a probabilidade de cada erro

Vamos definir as duas hipóteses:

H0 (hipótese nula): os parafusos são de origem B, com média 155 e desvio padrão 20.

H1 (hipótese alternativa): os parafusos são de origem A, com média 145 e desvio padrão 12.

Quando H0 é verdadeira, isto é, quando os parafusos são de B, a média amostral x̄ tem distribuição aproximadamente normal com média 155 e desvio padrão 20/√25 = 4. O erro tipo I acontece se x̄ ficar abaixo de 150:

P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 | H0 verdadeira) = P(x̄ menor que 150 | μ = 155)

= P(Z menor que (150 − 155)/4) = P(Z menor que −1,25) = 0,1056 = 10,56%

Quando H1 é verdadeira (parafusos de A), x̄ tem média 145 e desvio padrão 12/√25 = 2,4. O erro tipo II acontece se x̄ ficar acima de 150:

P(erro tipo II) = P(não rejeitar H0 | H1 verdadeira) = P(x̄ maior que 150 | μ = 145)

= P(Z maior que (150 − 145)/2,4) = P(Z maior que 2,08) = 0,0188 = 1,88%

Essas probabilidades ficam mais claras no quadro:

Origem real do parafusoResistência média < 150Resistência média > 150
ASem erroErro tipo II
1,88%
BErro tipo I
10,56%		Sem erro

Se os parafusos forem realmente de B (segunda linha) e a amostra tiver média maior que 150 (segunda coluna), diremos que são de B e não cometeremos erro. Já se a média x̄ for menor que 150 (primeira coluna), diremos que são de A e cometeremos um erro, que nesse caso tem probabilidade de 10,56%. A interpretação da primeira linha, para parafusos realmente de A, é análoga.

Se escolhermos outro valor de corte no lugar de 150, só as probabilidades dos erros tipo I e tipo II mudam: aproximar o corte de 145 diminui α e aumenta β, e vice-versa. Logo, existe um ponto em que os dois erros são iguais, ou seja, uma regra em que a chance de errar contra A é a mesma de errar contra B. Ele é o valor c que iguala as duas distâncias padronizadas, (155 − c)/4 = (c − 145)/2,4, o que dá c = 148,75 kg. Nesse ponto, z = 1,5625 e α = β ≈ 5,9%.

No exemplo dos parafusos, se a indústria trocar o corte de 150 para 152 (diz A abaixo de 152 e B acima), o que acontece com os erros?

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Gabarito: α aumenta e β diminui — com o corte mais perto de 155, fica mais fácil uma amostra de B cair abaixo dele (erro tipo I) e mais difícil uma amostra de A passar dele (erro tipo II). Para a mesma amostra, reduzir um erro aumenta o outro.

Fixando o erro tipo I: o nível de significância

Vimos que, escolhido o valor de corte, podemos achar a probabilidade de cada erro. Também podemos fazer o caminho inverso: fixar um dos erros, geralmente α, e encontrar a regra de decisão que corresponde a ele. Esse α fixado é o nível de significância do teste.

Por exemplo, com α = 5%:

P(erro tipo I) = P(Z menor que −1,645) = 5%

−1,645 = (x̄c − 155)/4, logo x̄c = 155 − 1,645 × 4 = 148,42

Então, a regra de decisão será:

“Se a média do lote estudado for inferior a 148,42, dizemos que o lote é de A; caso contrário, dizemos que é de B.”

- Regra de decisão

Com essa regra, a probabilidade do erro tipo II será:

P(erro tipo II) = P(x̄ maior que 148,42 | μ = 145) = P(Z maior que (148,42 − 145)/2,4) = P(Z maior que 1,425) ≈ 7,7%

A probabilidade de detectar corretamente que o lote é de A, 1 − β ≈ 92,3%, é chamada de poder do teste.

Ainda com os parafusos, a indústria quer α = 1% (z = 2,326). Qual passa a ser a regra de decisão?

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Gabarito: Dizer A se x̄ for menor que 145,70 — o corte é 155 − 2,326 × 4 = 145,70. Com um α menor, o preço é um β bem maior: P(x̄ maior que 145,70 | μ = 145) = P(Z maior que 0,29) ≈ 38,6%.

Quando a hipótese alternativa não é conhecida

Fixar α é o procedimento mais usado porque, em geral, a decisão não é só entre duas populações conhecidas. Os parafusos poderiam vir de outros países, com outras resistências médias. Suponha que interesse à indústria fazer uma proposta apenas se os parafusos forem de origem B. Que regra de decisão ela deve adotar? As hipóteses agora são:

H0: os parafusos são de origem B (μ = 155 e σ = 20)

H1: os parafusos não são de origem B (μ desconhecida)

Aqui não podemos especificar os parâmetros sob H1, porque, se não forem de B, os parafusos podem vir de vários países, cada um com suas especificações. Alguns podem ter técnicas mais sofisticadas e produzir com resistência média maior que 155; outros, como no exemplo, com resistência menor. A especificação de H1 depende da informação que se tem do problema. Se admitirmos, por exemplo, que a indústria do país B é a mais desenvolvida e nenhum outro país produz com resistência média maior, a alternativa fica mais explícita:

H1: os parafusos não são de origem B (μ menor que 155)

Esse é um teste unilateral, e a regra continua sendo a da seção anterior (rejeitar H0 se x̄ for menor que 148,42). O erro tipo II agora não pode ser calculado, porque depende do verdadeiro μ, que não conhecemos:

Origem real do parafusoResistência média < 148,42Resistência média > 148,42
BErro tipo I
5%		Sem erro
não BSem erroErro tipo II
?%

E se não soubermos nem para que lado a média dos outros países pode estar, isto é, se H1 for só μ diferente de 155? Então o teste é bilateral: os 5% de α são divididos em 2,5% em cada cauda.

P(erro tipo I) = P(Z menor que −1,96) + P(Z maior que 1,96) = 2,5% + 2,5% = 5%

−1,96 = (x̄1 − 155)/4, logo x̄1 = 147,16

1,96 = (x̄2 − 155)/4, logo x̄2 = 162,84

Logo, para qualquer média amostral abaixo de 147,16 ou acima de 162,84, rejeitamos a hipótese nula de que os parafusos são de origem B.

A amostra de 25 parafusos teve média de 164 kg. Com α = 5%, o que se conclui no teste unilateral (H1: μ menor que 155) e no bilateral (H1: μ diferente de 155)?

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Gabarito: Não rejeita H0 no unilateral e rejeita no bilateral — o unilateral só rejeita se x̄ for menor que 148,42, e 164 está do outro lado. O bilateral rejeita acima de 162,84, e 164 passa desse limite.

Exercícios

1) Para decidir se os habitantes de uma ilha são descendentes da civilização A ou B, vamos proceder assim:

(i) selecionamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha e determinamos a altura média deles;
(ii) se essa altura média for superior a 176, diremos que são descendentes de B; caso contrário, de A.

Os parâmetros das alturas das duas civilizações são: A: μ = 175 e σ = 10; B: μ = 177 e σ = 10. Erro tipo I: dizer que os habitantes são descendentes de B quando, na realidade, são de A. Erro tipo II: dizer que são de A quando, na realidade, são de B.

(a) Qual a probabilidade do erro tipo I? E do erro tipo II?
(b) Qual deve ser a regra de decisão se quisermos fixar a probabilidade do erro tipo I em 5%? Qual a probabilidade do erro tipo II nesse caso?

2) Nas situações abaixo, escolha como hipótese nula, H0, aquela que, para você, leva a um erro tipo I mais grave. Descreva os dois erros em cada caso.

(a) O trabalho de um operador de radar é detectar aeronaves inimigas. Quando surge algo estranho na tela, ele deve decidir entre as hipóteses: 1. está começando um ataque; 2. tudo bem, é apenas uma leve interferência.

(b) Num júri, um indivíduo está sendo julgado por um crime. As hipóteses sujeitas ao júri são: 1. o acusado é inocente; 2. o acusado é culpado.

(c) Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra o resfriado. Ele vai conduzir uma pesquisa de laboratório para verificar a afirmação e, de acordo com o resultado, lançará ou não a vacina no mercado. As hipóteses que ele pode testar são: 1. a vacina é eficaz; 2. a vacina não é eficaz.

3) A variável X, custo de manutenção de um tear, tem distribuição normal com média μ e desvio padrão de 20 unidades. Os valores possíveis de μ são 200 ou 210. Para verificar qual dos dois é o mais provável, será usada uma amostra de 25 teares. Defina:

(a) uma hipótese a ser testada;
(b) uma regra de decisão, e encontre as probabilidades dos erros tipo I e II.

4) A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está preocupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja média tem sido de 60 horas/homem por ano, com desvio padrão de 20 horas/homem. Foi feito um programa de prevenção de acidentes e, depois dele, uma amostra de nove indústrias teve média de 50 horas/homem perdidas. Você diria, ao nível de 5%, que há evidência de melhoria?

Gabarito

1) (a) O desvio padrão da média é 10/√100 = 1. Erro tipo I = P(x̄ maior que 176 | μ = 175) = P(Z maior que 1) = 15,9%; erro tipo II = P(x̄ menor que 176 | μ = 177) = P(Z menor que −1) = 15,9%. (b) Regra: dizer B se x̄ for maior que 175 + 1,645 = 176,64. Erro tipo II = P(Z menor que −0,36) ≈ 36%.

2) (a) H0: está começando um ataque. Erro tipo I: achar que é interferência quando é um ataque; erro tipo II: dar alarme quando é só interferência. (b) H0: o acusado é inocente. Erro tipo I: condenar um inocente; erro tipo II: absolver um culpado. (c) H0: a vacina não é eficaz. Erro tipo I: lançar uma vacina que não funciona; erro tipo II: deixar de lançar uma vacina eficaz.

3) (a) H0: μ = 200 contra H1: μ = 210. (b) O desvio padrão da média é 20/√25 = 4. Com a regra do ponto médio (rejeitar H0 se x̄ for maior que 205): α = P(Z maior que 1,25) = 10,56% e β = P(Z menor que −1,25) = 10,56%. Se preferir fixar α = 5%, a regra é rejeitar H0 se x̄ for maior que 206,58, e β = P(Z menor que −0,855) ≈ 19,6%.

4) H0: μ = 60 contra H1: μ menor que 60 (teste unilateral). z = (50 − 60)/(20/√9) = −1,5, que não passa do valor crítico −1,645 (p-valor ≈ 6,7%). Não é possível rejeitar a hipótese nula: ao nível de 5%, não há evidência suficiente de melhoria.

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