Distribuição normal reduzida: como transformar

Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor em um determinado intervalo.

Vejamos como proceder, por meio de um exemplo concreto. Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina. Vamos supor que essa variável tenha distribuição normal com média 2 cm e desvio padrão 0,04 cm.

Pode haver interesse em conhecer a probabilidade de um parafuso ter um diâmetro com valor entre 2 e 2,05 cm. É fácil notar que essa probabilidade, indicada por:

\[ P(2 < X < 2,05) \]

Pertence à área rachurada da figura àbaixo:

O cálculo direto dessa probabilidade exige um conhecimento matemático mais avançado. Para contornar essa necessidade utilizamos da transformação para igualar essa probabilidade a algumas já conhecidas.

Toda distribuição normal tem características similares a uma distribuição normal reduzida, isto é, que tem distribuição normal de média O e desvio padrão 1. As probabilidades de uma distribuição normal de média 0 e desvio padrão 1 já são conhecidas, logo, faz-se uma transformações de qualquer distribuição normal para ela ser equivalente à distribuição normal reduzida.

Logo:

Para transformar a média de uma variável em zero, deve-se diminuir cada dado dessa variável pela média dela. Para transformar o desvio padrão de uma variável em 1, deve-se dividir cada dado dessa variável pelo desvio-padrão.

Assim, temos a seguinte fórmula para transformar qualquer conjunto de dado normal em um conjunto de dado de distribuição normal reduzida:

\[ z = \frac{x - \bar{x}}{\sigma} \]

\[ \text{z : valor da variável na distribuição normal reduzida} \]

\[ \bar{x}\text{ : média do conjunto de dados} \]

\[ \sigma\text{ : desvio padrão do conjunto de dados} \]

Podemos logo depois escrever:

\[ P(\bar{x} < X < x) = P(0 < Z < z) \]

No caso do problema descrito anteriormente:

\[ P(2 < X < 2,05) = P(0 < Z < z) \]

Quanto seria z nesse caso? Pela fórmula:

\[ z = \frac{2,05 - 2}{0,04} = 1,25 \]

A vantagem de saber z, como foi dito anteriormente, é por fazer parte da distribuição normal reduzida, onde esta já é estudada pela tabela abaixo:

No caso, deve-se procurar o valor de z nesta tabela, onde é possível verificar que o z de 1,25 tem valor 39435. Isso significa que um parafuso ter diâmetro entre 2 e 2,05 tem probabilidade de 39,435%.

\[ P(2 < X < 2,05) = P(0 < Z < z) = 39,43\% \]

Calculemos mais algumas probabilidades:

(a) P(–1,73 < Z < 0) = P(0 < Z < 1,73) = 0,4582, devido à simetria da curva.

(b) P(Z > 1,73) = 0,5 – P(0 > Z > 1,73) = 0,5 – 0,4582 = 0,0418, pois P(Z > 0) = 0,5 = P(Z < 0).

(c) P(Z < –1,73) = P(Z > 1,73) = 0,0418.

(d) P(0,47 < Z < 1,73) = P(0 < Z < 1,73) – P(0 < Z < 0,47) = 0,4582 – 0,1808 = 0,2774.

Suponha, agora, que X seja uma v.a. N( μ , σ² ), com μ = 3 e σ 2 = 16, e queiramos calcular P(2 < X < 5). Temos:

\[ P(2 < X < 5) = P(\frac{2 - \bar{x}}{\sigma} < \frac{X - \bar{x}}{\sigma} < \frac{5 - \bar{x}}{\sigma}) = 39,43\% \]

\[ P(\frac{2 - 3}{4} < Z < \frac{5 - 3}{4}) = P(\frac{-1}{4} < Z < \frac{2}{4}) \]

\[ P(-0,25 < Z < 0,5) = P(-0,25 < Z < 0) + P(0 < Z < 0,5) = 0,0987 + 0,1915 = 0,2902 \]

Exemplos

Os depósitos efetuados no Banco da Ribeira durante o mês de janeiro são distribuídos normalmente, com média de \$l0.000,00 e desvio padrão de \$1.500,00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. Encontrar a probabilidade de que o depósito seja:

a. R$10.000,00 ou menos;

b. pelo menos $10.000,00;

c. um valor entre $12.000,00 e $15.000,00;

d. maior do que $20.000,00.

Resolução:

a.

\[ P(X < 10.000) = P(Z < \frac{10.000 - 10.000}{1.500}) = P(Z < 0) = 0,5 = 50\% \]

b.

\[ P(X >= 10.000) = P(Z >= \frac{10.000 - 10.000}{1.500}) = P(Z >= 0) = 0,5 = 50\% \]

c.

\[ P(12.000 < X < 15.000) = P(\frac{12.000 - 10.000}{1.500} < Z < \frac{15.000 - 10.000}{1.500}) = P(1,333 < Z < 3,333) = 0,09133 = 9,133\% \]

d.

\[ P(X > 20.000) = P(Z > \frac{20.000 - 10.000}{1.500}) = P(Z > 6,667) = 0,.....1 = 0\% \]

1) Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida, calcule:

a. P(O < Z < 1 .44)

b. P(- 0,85 < Z < O)

2) Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida, calcule:

c. P(-1.48 < Z < 2,05)

d. P(0,72 < Z < 1 ,89)

3) Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida, calcule:

e. P(Z > - 2,03)

f. P(Z > 1 ,08)

4) Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida, calcule:

g. P(Z < - 0,66)

h. P(Z < 0,60)

5) Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 1O. Determine a probabilidade de um indivíduo submetido ao teste ter nota:

a. maior que 120;

b. maior que 80;

c. entre 85 e 115;

d. maior que 100.

6) Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e desvio padrão 5,5 kg. Determine o número de estudantes que pesam:

a. entre 60 e 70 kg;

b. mais que 63,2 kg;

c. menos que 68 kg.

7) A duração de um certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio padrão de 40 dias. Sabendo que a duração é normalmente distribuída, calcule a probabilida de de esse componente durar:

a. entre 700 e 1.000 dias;

b. mais de 800 dias;

c. menos de 750 dias.

8) Os salários semanais dos operários industriais são distribuídos normalmente, em torno da média de R$ 500, com desvio padrão de R$ 40. Calcule a probabilidade de um operário ter um salário semanal situado entre R$ 490 e R$ 520.

9) Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida, calcule:

a. P(-1,25 < Z < O)

b. P(-0,5 < Z < 1,48)

10) Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida, calcule:

a. P(0,8 < Z < 1,23)

b. P(Z > 0,6)

1) a. 42,51%; b. 30,23%;

2) c. 91,04%; d. 20,64%;

3) e. 97,88%; f. 14,01%;

4) g. 25,46%; h. 72,58%;

5) a. 2,28%; b. 97,72%; c. 86,64%; d. 50%;

6) a. 63,38%; b. 64,80%; c.68,79%;

7) a. 99,98%; b. 89,44%; c.0,63%;

8) 29,02%

9) a. 39,44%; b. 62,20%

10) a. 10,26%; b. 27,42%