Distribuição normal reduzida: como transformar

25/09/2022, editado 29/10/2026 •0•0

Aprenda a padronizar uma variável normal com z = (x − μ)/σ e a usar a tabela da normal reduzida para calcular probabilidades, com exercícios.

Escrito porLeon

Introdução

Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso principal interesse é obter a probabilidade de ela assumir um valor dentro de um determinado intervalo. Nesta aula, veremos como transformar qualquer normal na normal reduzida (ou padrão) e usar a sua tabela para calcular essas probabilidades.

Distribuição normal reduzida

Vejamos como proceder por meio de um exemplo concreto. Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina. Vamos supor que essa variável tenha distribuição normal com média 2 cm e desvio padrão 0,04 cm.

Pode haver interesse em conhecer a probabilidade de um parafuso ter diâmetro entre 2 e 2,05 cm. Essa probabilidade, indicada por

\[ P(2 < X < 2,05) \]

corresponde à área hachurada da figura abaixo:

Normal exemplo 01

O cálculo direto dessa área exige integrais que não têm solução simples. Para contornar isso, transformamos a variável de modo que a probabilidade procurada fique igual a uma probabilidade já tabelada.

Toda distribuição normal pode ser convertida na distribuição normal reduzida, isto é, a distribuição normal de média 0 e desvio padrão 1. As probabilidades dessa distribuição já foram calculadas e estão em tabelas; logo, basta transformar a normal do problema para que ela seja equivalente à normal reduzida.

Ou seja:

“Para calcular as probabilidades de uma distribuição normal, primeiro deve-se transformá-la em uma distribuição com média ZERO e desvio padrão 1”

- Professor Leon

Para tornar a média de uma variável igual a zero, subtraímos de cada valor a média. Para tornar o desvio padrão igual a 1, dividimos o resultado pelo desvio padrão.

Assim, temos a fórmula que transforma qualquer valor de uma variável normal no valor correspondente da normal reduzida (a padronização):

\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

\[ z\text{ : valor correspondente na distribuição normal reduzida} \]

\[ \mu\text{ : média da distribuição} \]

\[ \sigma\text{ : desvio padrão da distribuição} \]

Como a média se transforma em zero, podemos escrever:

\[ P(\mu < X < x) = P(0 < Z < z) \]

No caso do problema descrito anteriormente:

\[ P(2 < X < 2,05) = P(0 < Z < z) \]

Quanto vale z nesse caso? Pela fórmula:

\[ z = \frac{2,05 - 2}{0,04} = 1,25 \]

A vantagem de conhecer z é que ele pertence à distribuição normal reduzida, cujas probabilidades estão na tabela abaixo. O corpo da tabela dá a área entre 0 e z, isto é, P(0 < Z < z):

Tabela normal

Procuramos na tabela a linha 1,2 e a coluna 5 (a segunda casa decimal de z) e encontramos 39435, isto é, 0,39435. Portanto, a probabilidade de um parafuso ter diâmetro entre 2 e 2,05 cm é de aproximadamente 39,44%.

\[ P(2 < X < 2,05) = P(0 < Z < 1,25) = 0,39435 \approx 39,44\% \]

Usando a simetria da curva

A tabela só traz áreas entre 0 e um z positivo. As demais saem de dois fatos: a curva é simétrica em torno de 0, e cada metade tem área 0,5, isto é, P(Z > 0) = 0,5 = P(Z < 0). Calculemos mais algumas probabilidades:

a) P(−1,73 < Z < 0) = P(0 < Z < 1,73) = 0,4582, pela simetria da curva.
b) P(Z > 1,73) = 0,5 − P(0 < Z < 1,73) = 0,5 − 0,4582 = 0,0418.
c) P(Z < −1,73) = P(Z > 1,73) = 0,0418.
d) P(0,47 < Z < 1,73) = P(0 < Z < 1,73) − P(0 < Z < 0,47) = 0,4582 − 0,1808 = 0,2774.

Suponha, agora, que X seja uma variável aleatória N(μ, σ²), com μ = 3 e σ² = 16 (portanto σ = 4), e que queiramos calcular P(2 < X < 5). Padronizando os dois limites:

\[ P(2 < X < 5) = P\left(\frac{2 - \mu}{\sigma} < \frac{X - \mu}{\sigma} < \frac{5 - \mu}{\sigma}\right) \]

\[ = P\left(\frac{2 - 3}{4} < Z < \frac{5 - 3}{4}\right) = P\left(-\frac{1}{4} < Z < \frac{2}{4}\right) \]

\[ P(-0,25 < Z < 0,5) = P(-0,25 < Z < 0) + P(0 < Z < 0,5) = 0,0987 + 0,1915 = 0,2902 \]

Se Z segue a normal reduzida e a tabela dá P(0 < Z < 1,25) = 0,3944, quanto vale P(Z < −1,25)?

Gabarito: 0,1056 — pela simetria, P(Z < −1,25) = P(Z > 1,25) = 0,5 − 0,3944 = 0,1056. O 0,3944 é a área entre −1,25 e 0, não a cauda; 0,8944 é P(Z < 1,25).

Uma variável X é normal com média 50 e desvio padrão 8. Qual valor de z corresponde a x = 38?

Gabarito: −1,5 — z = (38 − 50)/8 = −12/8 = −1,5. O sinal negativo indica que 38 está abaixo da média; −12 é a diferença sem dividir pelo desvio padrão.

Exemplo

Os depósitos efetuados no Banco da Ribeira durante o mês de janeiro são distribuídos normalmente, com média de R\$ 10.000,00 e desvio padrão de R\$ 1.500,00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os do mês. Encontre a probabilidade de que o depósito seja:

a) R\$ 10.000,00 ou menos;
b) pelo menos R\$ 10.000,00;
c) um valor entre R\$ 12.000,00 e R\$ 15.000,00;
d) maior do que R\$ 20.000,00.

Resolução:

\[ P(X \leq 10.000) = P\left(Z \leq \frac{10.000 - 10.000}{1.500}\right) = P(Z \leq 0) = 0,5 = 50\% \]

\[ P(X \geq 10.000) = P\left(Z \geq \frac{10.000 - 10.000}{1.500}\right) = P(Z \geq 0) = 0,5 = 50\% \]

\[ P(12.000 < X < 15.000) = P\left(\frac{12.000 - 10.000}{1.500} < Z < \frac{15.000 - 10.000}{1.500}\right) = P(1,33 < Z < 3,33) \]

\[ = 0,49957 - 0,40824 = 0,09133 \approx 9,1\% \]

(Com z sem arredondar, 1,333 e 3,333, o valor exato é 9,08%; a pequena diferença vem do arredondamento de z para a tabela.)

\[ P(X > 20.000) = P\left(Z > \frac{20.000 - 10.000}{1.500}\right) = P(Z > 6,67) \approx 0,000000000013 \approx 0\% \]

A tabela termina em z = 4,5, onde a área entre 0 e z já é 0,5000: um depósito acima de R\$ 20.000,00 é praticamente impossível nesse modelo.

As notas de uma prova seguem uma normal com média 100 e desvio padrão 10. Sabendo que P(0 < Z < 1,5) = 0,4332, qual a probabilidade de um aluno tirar mais de 115?

Gabarito: 6,68% — z = (115 − 100)/10 = 1,5 e P(Z > 1,5) = 0,5 − 0,4332 = 0,0668. O 43,32% é a área entre a média e 115, não acima de 115; 93,32% é P(Z < 1,5).

Exercícios

1) Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida, calcule:

a) P(0 < Z < 1,44)
b) P(−0,85 < Z < 0)

2) Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida, calcule:

c) P(−1,48 < Z < 2,05)
d) P(0,72 < Z < 1,89)

3) Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida, calcule:

e) P(Z > −2,03)
f) P(Z > 1,08)

4) Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida, calcule:

g) P(Z < −0,66)
h) P(Z < 0,60)

5) Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. Determine a probabilidade de um indivíduo submetido ao teste ter nota:

a) maior que 120;
b) maior que 80;
c) entre 85 e 115;
d) maior que 100.

6) Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e desvio padrão 5,5 kg. Determine o número de estudantes que pesam:

a) entre 60 e 70 kg;
b) mais que 63,2 kg;
c) menos que 68 kg.

7) A duração de um certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio padrão de 40 dias. Sabendo que a duração é normalmente distribuída, calcule a probabilidade de esse componente durar:

a) entre 700 e 1.000 dias;
b) mais de 800 dias;
c) menos de 750 dias.

8) Os salários semanais dos operários industriais são distribuídos normalmente, em torno da média de R\$ 500, com desvio padrão de R\$ 40. Calcule a probabilidade de um operário ter um salário semanal entre R\$ 490 e R\$ 520.

9) Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida, calcule:

a) P(−1,25 < Z < 0)
b) P(−0,5 < Z < 1,48)

10) Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida, calcule:

a) P(0,8 < Z < 1,23)
b) P(Z > 0,6)