Distribuição de Bernoulli e Binomial: Aplicações na Vida Real

22/09/2022, editado 29/10/2026 •0•0

Como as distribuições de Bernoulli e binomial modelam sucesso ou fracasso, com fórmulas, exemplos resolvidos (moeda, dado, prova) e exercícios.

Escrito porLeon

O que é uma função de probabilidade?

É uma função que associa a cada resultado possível de uma variável aleatória discreta a sua probabilidade de ocorrência.

Exemplo simples: lançamento de um dado honesto.

Variável aleatória (X): número da face (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Probabilidade de cada face: \( P(X = x) = \frac{1}{6} \).

A função de probabilidade é a tabela ou fórmula que mostra essa associação. Para ser válida, ela deve satisfazer duas condições:

Não negatividade: \( P(X = x) \geq 0 \) para todo \( x \). (Exemplo: não existe probabilidade negativa, como −0,2 para sair o número 5 no dado.)
Soma igual a 1: \( \sum_{\text{todos } x} P(X = x) = 1 \). (Exemplo: \( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{6} = 1 \).)

Diferença para variáveis contínuas

Em variáveis discretas (como dados e moedas), usamos a função de probabilidade, \( P(X = x) \).
Em variáveis contínuas (como altura e peso), usamos a função densidade de probabilidade (f.d.p.), pois \( P(X = x) = 0 \) para qualquer \( x \) específico; só intervalos têm probabilidade positiva.

Uma variável discreta assume os valores 1, 2 e 3 com probabilidades 0,2, 0,5 e k. Para que seja uma função de probabilidade válida, quanto vale k?

Gabarito: 0,3 — a soma das probabilidades tem de ser 1, então k = 1 − 0,2 − 0,5 = 0,3. Qualquer valor positivo atenderia só à não negatividade, não à soma igual a 1.

Distribuição de Bernoulli

A distribuição de Bernoulli modela um único experimento com apenas dois resultados possíveis: sucesso (1) ou fracasso (0). A probabilidade de sucesso é \( p \) e a de fracasso é \( q = 1 - p \).

Fórmula da distribuição de Bernoulli

As probabilidades de um experimento de Bernoulli são:

\[ P(X = 1) = p \qquad P(X = 0) = 1 - p = q \]

Onde:

\( p \): probabilidade de sucesso;
\( q \): probabilidade de fracasso (também escrita como \( 1 - p \)).

Como num experimento de Bernoulli há uma única tentativa, o número de sucessos \( k \) só pode ser 1 ou 0. Por isso, também podemos escrever as duas probabilidades numa só fórmula:

\[ P(X = k) = p^k \cdot (1 - p)^{1 - k}, \quad k \in \{0, 1\} \]

A média de uma variável de Bernoulli é \( E(X) = p \) e a variância é \( Var(X) = p(1 - p) \).

Exemplos da vida real

Exemplo 1: jogar uma moeda

Sucesso: cara (\( k = 1 \)).
Fracasso: coroa (\( k = 0 \)).
Probabilidade de sucesso (\( p \)): 0,5.

Pergunta: qual a probabilidade de obter cara em um único lançamento?

Resolução:

\[ P(X = 1) = 0,5^1 \cdot (1 - 0,5)^{1 - 1} = 0,5 \quad (50\%) \]

Exemplo 2: chutar uma questão de múltipla escolha

Sucesso: acertar (\( k = 1 \)).
Fracasso: errar (\( k = 0 \)).
Probabilidade de sucesso (\( p \)): 0,25 (4 opções).

Pergunta: qual a probabilidade de acertar a questão?

Resolução:

\[ P(X = 1) = 0,25^1 \cdot (1 - 0,25)^{1 - 1} = 0,25 \quad (25\%) \]

Ao chutar uma questão com 5 alternativas, sendo sucesso acertar, qual é a variância dessa variável de Bernoulli?

Gabarito: 0,16 — com p = 1/5 = 0,2, a variância é p(1 − p) = 0,2 × 0,8 = 0,16. O 0,2 é a média (a probabilidade de acertar), e 0,04 é p².

Distribuição binomial

A distribuição binomial modela o número de sucessos em \( n \) tentativas independentes de um experimento de Bernoulli, em que cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso \( p \).

Fórmula da distribuição binomial

A probabilidade de obter exatamente \( k \) sucessos em \( n \) tentativas é:

\[ P(X = k) = C_{n,k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

Onde:

\( C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \): combinação de \( n \) elementos tomados \( k \) a \( k \), isto é, o número de ordens diferentes em que os \( k \) sucessos podem aparecer;
\( p \): probabilidade de sucesso em uma única tentativa;
\( 1 - p \): probabilidade de fracasso;
\( n \): número total de tentativas;
\( k \): número de sucessos desejado.

A média da binomial é \( np \) e a variância é \( np(1 - p) \). O gráfico abaixo mostra a binomial com \( n = 10 \) e \( p = 0,5 \): as barras são as probabilidades de cada número de sucessos, e a curva verde é a normal com a mesma média e variância, que a aproxima bem.

Gráfico representando as probabilidades na distribuição Binomial

Exemplos da vida real

Exemplo 1: jogar uma moeda 5 vezes

Sucesso: cara.
Fracasso: coroa.
Probabilidade de sucesso (\( p \)): 0,5.
Número de tentativas (\( n \)): 5.

Pergunta: qual a probabilidade de obter exatamente 3 caras?

Resolução:

\[ C_{5,3} = \frac{5!}{3! \cdot (5 - 3)!} = 10 \]

\[ P(X = 3) = 10 \cdot 0,5^3 \cdot (1 - 0,5)^{5 - 3} = 10 \cdot 0,125 \cdot 0,25 = 0,3125 \quad (31,25\%) \]

Exemplo 2: acertar 2 questões em 5 chutes

Sucesso: acertar.
Fracasso: errar.
Probabilidade de sucesso (\( p \)): 0,25 (4 opções).
Número de tentativas (\( n \)): 5.

Pergunta: qual a probabilidade de acertar exatamente 2 questões?

Resolução:

\[ C_{5,2} = \frac{5!}{2! \cdot (5 - 2)!} = 10 \]

\[ P(X = 2) = 10 \cdot 0,25^2 \cdot (1 - 0,25)^{5 - 2} = 10 \cdot 0,0625 \cdot 0,421875 = 0,2637 \quad (26,37\%) \]

Exemplo 3: lançar um dado 4 vezes

Sucesso: obter o número 6.
Fracasso: não obter o número 6.
Probabilidade de sucesso (\( p \)): \( \frac{1}{6} \).
Número de tentativas (\( n \)): 4.

Pergunta: qual a probabilidade de obter exatamente 2 vezes o número 6?

Resolução:

\[ C_{4,2} = \frac{4!}{2! \cdot (4 - 2)!} = 6 \]

\[ P(X = 2) = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4 - 2} = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} \approx 0,1157 \quad (11,57\%) \]

Uma moeda honesta é lançada 6 vezes. Qual é a probabilidade de sair pelo menos uma cara?

Gabarito: 98,4% — é mais fácil calcular o complemento: P(nenhuma cara) = 0,5^6 = 1/64 ≈ 1,6%, então P(pelo menos uma) = 1 − 1/64 ≈ 98,4%. O 1,6% é justamente o complemento, esquecido de subtrair de 1.

Um vendedor fecha negócio em 20% das visitas, de forma independente. Em 10 visitas, qual é o número médio de negócios fechados e a variância?

Gabarito: Média 2 e variância 1,6 — na binomial, a média é np = 10 × 0,2 = 2 e a variância é np(1 − p) = 10 × 0,2 × 0,8 = 1,6. Média 0,2 e variância 0,16 são os valores de uma única visita (Bernoulli).