Distribuição Exponencial: Funções de Densidade de Probabilidade

A Distribuição Exponencial é uma distribuição de probabilidade contínua usada para modelar o tempo entre eventos em um Processo de Poisson. Ela descreve situações onde queremos calcular:

- O tempo até a próxima falha de um sistema.

- O tempo entre chegadas de clientes em uma fila.

- A duração de chamadas telefônicas.

Ela é especialmente útil porque possui a propriedade de falta de memória, ou seja, a probabilidade de um evento ocorrer no futuro não depende do tempo já decorrido.

A função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição exponencial é dada por:

\[ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad \text{para} \quad x \geq 0 \]

Onde:

- \( \lambda \) (lambda) = taxa de ocorrência (eventos por unidade de tempo).

- \( x \) = tempo (ou espaço) até o próximo evento.

A função de distribuição acumulada (CDF), que calcula \( P(X \leq x) \), é:

\[ F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \]

Exemplo 1: Tempo entre falhas de um sistema

- Situação: Um servidor falha, em média, a cada 500 horas (\( \lambda = \frac{1}{500} \)).

- Pergunta: Qual a probabilidade de o servidor falhar antes de 300 horas?

\[ P(X \leq 300) = 1 - e^{-\frac{1}{500} \cdot 300} = 1 - e^{-0,6} \approx 1 - 0,5488 = 0,4512 \quad (45,12\%) \]

Exemplo 2: Tempo entre chegadas de clientes

- Situação: Clientes chegam a um banco, em média, a cada 10 minutos (\( \lambda = \frac{1}{10} \)).

- Pergunta: Qual a probabilidade do próximo cliente chegar em mais de 15 minutos?

\[ P(X > 15) = e^{-\frac{1}{10} \cdot 15} = e^{-1,5} \approx 0,2231 \quad (22,31\%) \]

Exemplo 3: Duração de chamadas telefônicas

- Situação: Chamadas em um call center duram, em média, 4 minutos (\( \lambda = \frac{1}{4} \)).

- Pergunta: Qual a probabilidade de uma chamada durar menos de 2 minutos?

\[ P(X \leq 2) = 1 - e^{-\frac{1}{4} \cdot 2} = 1 - e^{-0,5} \approx 1 - 0,6065 = 0,3935 \quad (39,35\%) \]

- Poisson modela quantidade de eventos em um intervalo fixo.

- Exponencial modela tempo entre eventos (quando eventos seguem Poisson).

Se eventos ocorrem com taxa \( \lambda \) em Poisson, então o tempo entre eventos segue uma Exponencial com parâmetro \( \lambda \).

Use quando:

1. O processo é contínuo no tempo/espaço.

2. Eventos ocorrem independentemente e a uma taxa constante.

3. Interessa o tempo entre eventos, não a contagem deles.

- Tempo até a próxima falha de um componente eletrônico.

- Tempo entre chegadas de navios em um porto.

- Vida útil de produtos antes de apresentarem defeitos.

1. Falhas em um sistema:

- Um computador falha, em média, a cada 1000 horas. Qual a probabilidade de falhar antes de 500 horas?

2. Chegada de ônibus:

- Ônibus chegam a um ponto, em média, a cada 15 minutos. Qual a probabilidade do próximo ônibus chegar em mais de 20 minutos?

3. Atendimento em um caixa:

- Um caixa de supermercado atende, em média, um cliente a cada 5 minutos. Qual a probabilidade do próximo atendimento levar menos de 3 minutos?

4. Tempo de vida de lâmpadas:

- Lâmpadas queimam, em média, após 8000 horas. Qual a probabilidade de uma lâmpada durar mais de 10.000 horas?

5. Chamadas telefônicas:

- Chamadas em um call center duram, em média, 6 minutos. Qual a probabilidade de uma chamada durar entre 4 e 8 minutos?

6. Tempo de Falha com Múltiplos Componentes

Um sistema tem 3 componentes independentes, cada um com tempo de falha seguindo uma Exponencial (\( \lambda = 0.01 \) horas⁻¹). O sistema falha se pelo menos 2 componentes falharem.

- Pergunta: Qual a probabilidade do sistema falhar nas primeiras 100 horas? (Use a exponencial para saber a probabilidade falha e depois a binomial para somar as probabilidades de ao menos 2 sucessos)

1. 39,35%

2. 26,42%

3. 45,12%

4. 28,65%

5. 24,72%

6. 69,35%