Medidas de posição: média aritmética, moda e mediana

08/25/2022, updated 10/29/2026 •0•0

Como calcular média, moda e mediana com dados soltos e agrupados, quando usar cada uma e o que são quartis e percentis. Com exercícios e gabarito.

Written byLeon

Medidas de posição

O que estudamos até aqui (as distribuições de frequência) permite descrever, de modo geral, os valores que uma variável assume: sabemos onde eles se concentram e como a frequência se comporta.

Porém, para destacar as tendências características de cada distribuição, isoladamente ou em comparação com outras, precisamos de medidas expressas por números, que resumam essa tendência.

Essas medidas são chamadas de elementos típicos da distribuição:

medidas de posição;
medidas de dispersão;

medidas de assimetria;
medidas de curtose.

Nesta aula vamos estudar as medidas de posição, que indicam onde a distribuição está localizada em relação ao eixo horizontal (eixo das abscissas).

As principais são as medidas de tendência central:

média aritmética;
mediana;
moda.

Outras medidas de posição são as separatrizes:

a própria mediana;
quartis;
decis;
percentis.

Média aritmética

Média com dados não agrupados

A média aritmética simples é a soma dos valores da variável dividida pelo número de valores:

\[ \bar{x} = \frac{\sum{x_i}}{n} \]

A média pode ser um número diferente de todos os valores da série que ela representa. Um exemplo:

A produção de leite da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 12, 13, 13, 15, 16 e 19 litros. Qual foi a produção média da semana?

\[ \bar{x} = \frac{10 + 12 + 13 + 13 + 15 + 16 + 19}{7} = \frac{98}{7} = 14 \]

O valor 14 representa essa série de dados, embora não apareça nos dados originais. Nesse caso, costuma-se dizer que a média não tem existência concreta.

Repare que a média nos dá uma posição do conjunto de dados: sabendo que a média é 14 litros por dia, já esperamos dias com produção nessa faixa, e não dias de 100 litros ou de produção negativa.

Desvio em relação à média

Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética.

Para cada valor do conjunto de dados:

\[ d_i = x_i - \bar{x} \]

No exemplo anterior:

\[ d_1 = x_1 - \bar{x} = 10 - 14 = -4 \]

\[ d_2 = 12 - 14 = -2 \]

\[ d_3 = 13 - 14 = -1 \]

\[ d_4 = 13 - 14 = -1 \]

\[ d_5 = 15 - 14 = 1 \]

\[ d_6 = 16 - 14 = 2 \]

\[ d_7 = 19 - 14 = 5 \]

Propriedades da média

1ª - A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.

No exemplo:

\[ d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 + d_6 + d_7 = -4 - 2 - 1 - 1 + 1 + 2 + 5 = 0 \]

2ª - Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c a todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante.

\[ \frac{\sum{(x_i + c)}}{n} = \bar{x} + c \]

No exemplo da vaca, somando 5 a cada valor, obtemos 15, 17, 18, 18, 20, 21, 24. A média:

\[ \frac{15 + 17 + 18 + 18 + 20 + 21 + 24}{7} = \frac{133}{7} = 19 = 14 + 5 \]

3ª - Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante c, a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.

\[ \frac{\sum{(x_i \cdot c)}}{n} = \bar{x} \cdot c \]

No exemplo da vaca, multiplicando cada valor por 2, obtemos 20, 24, 26, 26, 30, 32, 38. A média:

\[ \frac{20 + 24 + 26 + 26 + 30 + 32 + 38}{7} = \frac{196}{7} = 28 = 14 \cdot 2 \]

Média com dados agrupados: sem intervalos de classe

A tabela abaixo mostra a distribuição de 34 famílias de 4 filhos, tomando como variável o número de filhos do sexo masculino:

Nº de meninos	Frequência
0	2
1	6
2	10
3	12
4	4

Como a frequência é o número de vezes que cada valor se repete, ela funciona como fator de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada:

\[ \bar{x} = \frac{\sum{x_i \cdot f_i}}{\sum{f_i}} \]

No caso da tabela:

\[ \bar{x} = \frac{0 \cdot 2 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 4}{2 + 6 + 10 + 12 + 4} = \frac{78}{34} \approx 2{,}3 \]

A média de 2,3 meninos por família indica que, nessas famílias de 4 filhos, há em média um pouco mais de meninos (2,3) do que de meninas (1,7). Repare que a média não diz qual é o caso mais comum: o maior número de famílias (12) tem 3 meninos.

Média com dados agrupados: com intervalos de classe

Neste caso, convenciona-se que todos os valores incluídos em um intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio.

Considere a distribuição das alturas da aula anterior. Como as alturas foram medidas em centímetros inteiros, a classe 150 —| 155 reúne as alturas de 151 a 155 cm, e o seu ponto médio é 153:

Altura (cm)	Frequência	Ponto médio
150 —\| 155	8	153
155 —\| 160	11	158
160 —\| 165	13	163
165 —\| 170	1	168

A partir daí, calcula-se como se não houvesse intervalos, usando o ponto médio como valor de cada classe:

\[ \bar{x} = \frac{8 \cdot 153 + 11 \cdot 158 + 13 \cdot 163 + 1 \cdot 168}{8 + 11 + 13 + 1} = \frac{5249}{33} \approx 159{,}06 \]

Como a convenção do ponto médio é uma aproximação, o resultado é próximo, mas não igual, à média calculada com os 33 valores originais (159,12 cm).

Um vendedor teve comissões de R$ 200, R$ 250, R$ 300, R$ 350 e R$ 400 em cinco meses. Se a empresa der um bônus fixo de R$ 50 por mês e depois dobrar todos os valores, qual será a nova média mensal?

Gabarito: R$ 700 — a média original é 1500 / 5 = 300; somar 50 a todos leva a média a 350 (propriedade 2) e dobrar todos leva a 700 (propriedade 3). Quem dobra antes de somar o bônus chega a 650, mas o enunciado soma primeiro.

Numa turma, 10 alunos tiraram nota 6, 5 tiraram 8 e 5 tiraram 10. Qual é a nota média da turma?

Gabarito: 7,5 — é média ponderada: (10 × 6 + 5 × 8 + 5 × 10) / 20 = 150 / 20 = 7,5. A resposta 8,0 é a média simples das três notas, (6 + 8 + 10) / 3, que ignora que a nota 6 aparece duas vezes mais.

Moda

Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores.

Por exemplo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados.

Moda com dados não agrupados

Com dados não agrupados, a moda é fácil de reconhecer: basta, de acordo com a definição, procurar o valor que mais se repete. Exemplo: na série 7, 8, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13 e 15, a moda é 10.

Há casos em que não existe valor modal (série amodal), isto é, nenhum valor aparece mais vezes que os outros.

Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração: a série é então bimodal ou multimodal.

Moda com dados agrupados

Com os dados agrupados sem intervalos de classe, a moda é imediata: basta pegar o valor da variável com maior frequência. No exemplo das famílias, a moda é 3 meninos (12 famílias).

Com intervalos de classe, a classe que apresenta a maior frequência é chamada de classe modal. Pela definição, a moda é um valor dentro dos limites da classe modal.

O método mais simples para calcular a moda é tomar o ponto médio da classe modal, o que se chama de moda bruta. No exemplo das alturas, a classe modal é 160 —| 165 (13 estudantes) e a moda bruta é 163 cm.

Curvas de moda

Por que usar a moda em vez da média

Não é afetada pelos valores extremos da distribuição, desde que esses valores não sejam o valor modal;

É usada quando queremos uma medida rápida e aproximada de posição;
É a única das três que serve para variáveis qualitativas nominais (a cor de carro mais vendida, por exemplo);
É muito usada na estatística econômica e industrial (o tamanho de roupa mais vendido, o salário mais comum).

Uma loja de calçados quer decidir qual numeração comprar em maior quantidade para o próximo mês. Qual medida de posição das vendas passadas responde melhor a essa pergunta?

Gabarito: A moda — é a numeração mais vendida, exatamente o que a loja precisa repor em maior quantidade. A média pode dar um número que nem existe (38,4) e a mediana só divide as vendas ao meio; a amplitude nem é medida de posição.

Mediana

A mediana é o valor que fica no centro de uma série de números dispostos em ordem: o número de observações menores que a mediana é igual ao número de observações maiores que ela.

Mediana com dados não agrupados

Dada a série 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, o primeiro passo é ordenar os valores: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18.

Em seguida, toma-se o valor central, que tem o mesmo número de elementos à direita e à esquerda. Se a série tem um número ímpar de dados, isso é possível: no exemplo, a mediana é 10 (quatro valores antes e quatro depois). Se a série tem um número par de dados, a mediana é a média dos dois valores centrais.

Por exemplo, na série 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21, o número de termos é par (8). Os termos centrais são 10 e 12, e a mediana é (10 + 12) / 2 = 11.

Mediana com dados agrupados: sem intervalos de classe

Com dados agrupados, calcula-se a metade da soma das frequências (n/2) e procura-se a primeira frequência acumulada que supera esse valor. A mediana é o valor da variável correspondente a essa frequência acumulada.

Nº de meninos	Frequência	Frequência acumulada
0	2	2
1	6	8
2	10	18
3	12	30
4	4	34

\[ \frac{n}{2} = \frac{34}{2} = 17 \]

A primeira frequência acumulada maior que 17 é 18, na terceira linha, que corresponde ao valor 2. Logo, a mediana é 2. (Conferindo: com 34 valores, a mediana é a média do 17º e do 18º, e os dois valem 2.)

Atenção ao caso especial: se alguma frequência acumulada for exatamente igual a n/2, a mediana é a média entre o valor dessa linha e o da linha seguinte. Por exemplo, se a frequência acumulada do valor 2 fosse exatamente 17, a mediana seria (2 + 3) / 2 = 2,5.

Mediana com dados agrupados: com intervalos de classe

Altura (cm)	Frequência	Frequência acumulada
150 —\| 155	8	8
155 —\| 160	11	19
160 —\| 165	13	32
165 —\| 170	1	33

Como a soma das frequências é 33, a posição de referência é n/2 = 16,5. A primeira frequência acumulada que passa de 16,5 é 19, da classe 155 —| 160, que contém do 9º ao 19º termo. Essa é a classe mediana.

Dentro da classe mediana, supomos os valores distribuídos de maneira uniforme e fazemos uma regra de três: a classe tem 11 elementos e, antes dela, já há 8; faltam 16,5 − 8 = 8,5 elementos para chegar à mediana. A fórmula é:

\[ Md = l + \frac{\frac{n}{2} - F_{ant}}{f_{Md}} \cdot h \]

Onde:

l = limite inferior da classe mediana;

F_ant = frequência acumulada da classe anterior à mediana;

f_Md = frequência da classe mediana;

h = amplitude da classe mediana.

Como as alturas são inteiras, a classe 155 —| 160 vai de 156 a 160 cm, e seu limite inferior real é 155,5 (o meio do caminho entre 155 e 156), com amplitude 5:

\[ Md = 155{,}5 + \frac{16{,}5 - 8}{11} \cdot 5 = 155{,}5 + 3{,}86 \approx 159{,}36 \]

Com os 33 valores originais, a mediana exata é 160 cm (o 17º valor em ordem); o cálculo com classes dá uma aproximação.

Por que usar a mediana e não a média

Quando desejamos o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais;
Quando há valores extremos que distorcem a média, como em salários, preços de imóveis e renda;

Quando a distribuição é assimétrica.

Numa distribuição simétrica, média, mediana e moda coincidem. Numa distribuição assimétrica, a média é puxada para o lado da cauda longa, e a mediana fica entre a moda e a média:

A tirinha abaixo brinca com isso: um único valor extremo (quem come 40 aranhas por dia) puxa a média para cima, enquanto a mediana continua zero. (A própria história de que engolimos 8 aranhas por ano dormindo é um mito.)

Quantas aranhas, em média, as pessoas comem por ano?

Os salários de cinco funcionários de uma pequena empresa são R$ 2.000, R$ 2.200, R$ 2.500, R$ 2.800 e R$ 30.000 (o do dono). Qual medida representa melhor o salário típico, e quanto ela vale?

Gabarito: A mediana, R$ 2.500 — com os valores em ordem, o central é 2.500. A média é 39.500 / 5 = R$ 7.900, puxada pelo salário do dono, e não representa ninguém. Não há moda, pois nenhum valor se repete.

Outras medidas de posição

Assim como a mediana, que se baseia na posição dos valores na série ordenada, existem os quartis, os decis e os percentis, que, junto com a mediana, são chamados de separatrizes.

Em vez de dividir a série ordenada em duas metades, eles a dividem em quatro partes (quartis), dez partes (decis) ou cem partes (percentis). O primeiro quartil (Q1) deixa 25% dos valores abaixo dele; o segundo quartil é a própria mediana; e o terceiro quartil (Q3) deixa 75% abaixo.

Os quartis são muito usados para comparar distribuições, por exemplo, retornos de ações, salários ou tempos de entrega, no gráfico de caixa (boxplot): a caixa vai de Q1 a Q3 e concentra os 50% centrais dos dados, e as hastes mostram até onde vão os valores mais baixos e mais altos.

Num concurso, uma candidata ficou no percentil 90 da nota. O que isso significa?

Gabarito: Cerca de 90% dos candidatos tiveram nota menor ou igual à dela — o percentil fala da posição em relação aos outros, não da porcentagem de acertos. Ela está entre os 10% melhores, qualquer que tenha sido a nota.

Exercícios

1) Determine os desvios em relação à média dos seguintes dados: 6; 8; 5; 12; 11; 7,4; 15; 7,2. Qual é a soma dos desvios?

2) Considere os conjuntos de dados:

a) 3,5; 2,6; 5,9; 5,2; 8,6

b) 20,9; 7,2; 12,7; 20; 15,7

c) 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9

d) 15; 18; 20; 13; 10; 16; 14

Calcule, para cada um:

I. a média;

II. a mediana;

III. a moda.

3) Assinale a opção certa. A curva de frequência acumulada serve para calcular:

a) a lei do acaso;

b) a média;

c) a mediana;

d) a moda;

e) o desvio padrão.

4) Assinale a opção certa. Uma curva simétrica se caracteriza pelo seguinte atributo:

a) É assimétrica à esquerda.

b) A moda é maior que a mediana e a média.

c) A moda, a mediana e a média são iguais.

d) O desvio padrão é maior que a mediana e a moda.

e) Os decis são equivalentes à média.

5) Calcule a média aritmética, a moda e a mediana da seguinte distribuição:

Notas	Frequência
0 \|— 2	5
2 \|— 4	8
4 \|— 6	14
6 \|— 8	10
8 \|—\| 10	7

6) Calcule a média aritmética, a moda e a mediana da seguinte distribuição:

Estaturas (cm)	Frequência
150 \|— 158	5
158 \|— 166	12
166 \|— 174	18
174 \|— 182	27
182 \|— 190	8

7) Calcule a média aritmética, a moda e a mediana da seguinte distribuição:

Salários (R$)	Frequência
500 \|— 700	18
700 \|— 900	31
900 \|— 1.100	15
1.100 \|— 1.300	3
1.300 \|— 1.500	1
1.500 \|— 1.700	1
1.700 \|— 1.900	1

8) Calcule a média aritmética, a moda e a mediana da seguinte distribuição:

Pesos (kg)	Frequência
145 \|— 151	10
151 \|— 157	9
157 \|— 163	8
163 \|— 169	6
169 \|— 175	3
175 \|— 181	3
181 \|— 187	1

9) Calcule a média aritmética, a moda e a mediana da seguinte distribuição:

Avaliação do cliente	Frequência
2	3
4	7
6	12
8	8
10	4

Gabarito

1) A média é 71,6 / 8 = 8,95; os desvios são −2,95; −0,95; −3,95; 3,05; 2,05; −1,55; 6,05; −1,75. A soma dos desvios é zero (e sempre será, pela 1ª propriedade da média).

2) a) x̄ = 5,16; Md = 5,2; não há moda

b) x̄ = 15,3; Md = 15,7; não há moda

c) x̄ = 49,8; Md = 49,5; não há moda

d) x̄ ≈ 15,1; Md = 15; não há moda

3) c

4) c

5) x̄ ≈ 5,3; Md ≈ 5,3; Mo (bruta) = 5

6) x̄ = 172,4; Md = 174; Mo (bruta) = 178

7) x̄ ≈ 843; Md ≈ 810; Mo (bruta) = 800

8) x̄ = 159,4; Md ≈ 157,8; Mo (bruta) = 148

9) x̄ ≈ 6,18; Md = 6; Mo = 6

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Topics estatística moda

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Leon

Professor de Administração e programador de websites Full Stack

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