IntroduçãoAssim como na covariância, quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, dizemos que existe correlação entre elas. A diferença é que a correlação, além do sentido da relação, mede também a sua força, numa escala que não depende das unidades dos dados.Relação funcional e relação estatísticaComo sabemos, o perímetro e o lado de um quadrado estão relacionados. A relação que os liga é perfeitamente definida e pode ser expressa por uma sentença matemática:\[ 2p = 4l \]Onde 2p é o perímetro e l é o lado.Atribuindo-se um valor qualquer a l, é possível determinar exatamente o valor de 2p.Consideremos agora a relação entre o peso e a estatura de um grupo de pessoas. Essa relação não é do mesmo tipo da anterior: ela é bem menos precisa. Pode acontecer que a estaturas diferentes correspondam pesos iguais, ou que a estaturas iguais correspondam pesos diferentes. Mesmo assim, em média, quanto maior a estatura, maior o peso.Relações do tipo perímetro–lado são chamadas de relações funcionais, e as do tipo peso–estatura, de relações estatísticas. A correlação estuda as relações estatísticas.Diagrama de dispersãoConsideremos uma amostra aleatória formada por dez dos 98 alunos de uma turma da faculdade A, com as notas que eles obtiveram em Matemática e em Estatística:Nota de matemáticaNota de estatística5,06,08,09,07,08,010,010,06,05,07,07,09,08,03,04,08,06,02,02,0Representando os pares ordenados \( (x_i, y_i) \) num sistema de eixos cartesianos, obtemos uma nuvem de pontos chamada diagrama de dispersão. Esse diagrama dá uma ideia aproximada, porém útil, da correlação — que, neste caso, existe e é positiva.O que é correlação linearComo os pontos deste exemplo se espalham em torno de uma reta ascendente, a correlação é chamada de correlação linear positiva.Assim, uma correlação é:linear positiva, se os pontos do diagrama se espalham em torno de uma reta ascendente;linear negativa, se os pontos se espalham em torno de uma reta descendente;não linear, se os pontos se espalham em torno de uma curva.Se os pontos estão espalhados sem formar nenhuma figura definida, concluímos que não há relação entre as variáveis em estudo.Temos, então:Num diagrama de dispersão, os pontos sobem e depois descem, formando um arco. Que tipo de correlação ele mostra?Gabarito: Não linear — os pontos seguem uma curva, e não uma reta. Atenção: o coeficiente de Pearson desse conjunto pode dar perto de zero, mesmo existindo uma relação forte entre as variáveis.Como calcular o coeficiente de correlação linearO instrumento usado para medir a correlação linear é o coeficiente de correlação. Ele deve indicar a intensidade da correlação entre duas variáveis e também o seu sentido (positivo ou negativo).Usaremos o coeficiente de correlação de Pearson, dado por:\[ r = \dfrac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x · \sigma_y} \]O coeficiente de correlação é a covariância dividida pelo produto dos desvios padrão das duas variáveis.Outra fórmula equivalente é:\[ r = \frac{\sum{(x - \bar{x})(y - \bar{y})}}{\sqrt{\sum{(x - \bar{x})^{2}}} · \sqrt{\sum{(y - \bar{y})^{2}}}} \]Nela o n se cancela, então tanto faz usar covariância e desvios padrão com divisor n ou com n − 1 — desde que se use o mesmo divisor em cima e embaixo.Diferentemente da covariância, da qual só aproveitamos o sinal, o coeficiente de correlação dá muito mais informação, porque está sempre entre −1 e +1, ou seja, pertence ao intervalo [−1, +1].Assim:se a correlação entre duas variáveis é perfeita e positiva, r = +1;se a correlação é perfeita e negativa, r = −1;se não há correlação linear entre as variáveis, r = 0.Para interpretar valores intermediários, uma regra prática comum (há outras, e os limites variam de área para área) é a seguinte, olhando o valor de r sem o sinal:Valor de r (+ ou −)Interpretação0 a 0,19Correlação muito fraca0,20 a 0,39Correlação fraca0,40 a 0,59Correlação moderada0,60 a 0,79Correlação forte0,80 a 1Correlação muito forteÉ comum também escrever r em porcentagem (r = 0,41 = 41%), como faremos no gabarito.Propriedades da correlação1. O coeficiente de correlação não depende das unidades de medida das variáveis: é um número adimensional entre −1 e +1, isto é, −1 ≤ r ≤ +1.2. O coeficiente de correlação de uma variável com ela mesma é igual a +1.3. Trocar a ordem das variáveis não altera o coeficiente de correlação, isto é, rXY = rYX.4. Somar ou subtrair uma constante de uma ou das duas variáveis não altera o coeficiente de correlação.5. Multiplicar ou dividir uma ou as duas variáveis por uma constante positiva não altera o coeficiente de correlação. Se a constante for negativa, o valor se mantém, mas o sinal se inverte.A correlação entre a temperatura em graus Celsius e as vendas de sorvete é 0,8. Se a temperatura for convertida para Fahrenheit (F = 1,8 · C + 32), qual será a correlação?Gabarito: 0,8 — multiplicar por uma constante positiva (1,8) e somar uma constante (32) não alteram r, que não depende das unidades. Se fosse a covariância, a multiplicação por 1,8 a mudaria.ExemplosCalculando o coeficiente de correlaçãoVamos calcular o coeficiente de correlação para os valores das variáveis x e y:xy1241068812101412A covariância do conjunto de dados é 2,4 (com divisor n). O desvio padrão de x vale 2,04 e o de y, 2,83.Logo:\[ r = \frac{2,4}{2,04 · 2,83} = 0,42 = 42\% = \text{correlação moderada} \]As notas de Matemática e EstatísticaPara os dez alunos do diagrama de dispersão, as contas dão \( \sum{(x - \bar{x})(y - \bar{y})} = 50,5 \), \( \sum{(x - \bar{x})^{2}} = 58,5 \) e \( \sum{(y - \bar{y})^{2}} = 52,5 \). Assim:\[ r = \frac{50,5}{\sqrt{58,5} · \sqrt{52,5}} = \frac{50,5}{55,42} = 0,91 \]Uma correlação positiva muito forte, como o diagrama já sugeria.Duas variáveis têm covariância 12; o desvio padrão da primeira é 3 e o da segunda é 5. Qual é o coeficiente de correlação e como ele se classifica?Gabarito: 0,8, correlação muito forte — r = 12 / (3 · 5) = 12 / 15 = 0,8, que cai na faixa de 0,80 a 1. A opção 4 divide a covariância por um só desvio padrão; um r maior que 1 é sempre sinal de conta errada.Exercícios1) Desenhe os diagramas de dispersão que podem ser encontrados para as seguintes correlações: correlação positiva perfeita, correlação negativa e correlação não linear.2) Faça o diagrama de dispersão das seguintes variáveis:xy50106020801005025Que tipo de correlação essas variáveis apresentam?3) Qual é o coeficiente de correlação das variáveis do exercício anterior?4) Qual é o coeficiente de correlação das seguintes variáveis:xy102030515155505) Qual é o coeficiente de correlação das seguintes variáveis:xy1013021540536) Davi verificou que a covariância de dois conjuntos de dados era igual a 10, que o desvio padrão de um conjunto vale 2 e o do outro vale 5. Qual é o coeficiente de correlação dos dois conjuntos?7) Mais uma vez, Davi verificou que a covariância de dois conjuntos de dados era igual a 200, que o desvio padrão de um conjunto vale 20 e o do outro vale 40. Depois dessa análise, porém, teve de modificar um dos conjuntos, dividindo todos os seus valores por 10.000. Qual é o coeficiente de correlação dos dois conjuntos agora?Gabarito2) Correlação linear positiva3) 94%4) −84%5) 0% (r ≈ −0,008: praticamente nenhuma correlação linear)6) 100%7) 25% — dividir um dos conjuntos por uma constante positiva não altera r = 200 / (20 · 40) = 0,25.
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