Distribuição de PoissonA distribuição de Poisson modela o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou de espaço quando esses eventos acontecem a uma taxa média conhecida, de forma independente uns dos outros e um de cada vez. É a distribuição típica de contagens: chamadas por hora, acidentes por dia, defeitos por metro de tecido, erros por página.Fórmula da Distribuição de PoissonA probabilidade de ocorrerem exatamente \( k \) eventos no intervalo é:\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots \]Onde:\( \lambda \): número médio de ocorrências no intervalo considerado;\( k \): número de eventos cuja probabilidade queremos;\( e \): número de Euler (aproximadamente 2,71828);\( k! \): fatorial de \( k \).Duas propriedades ajudam muito na prática:A média e a variância são iguais a \( \lambda \). Se os seus dados de contagem têm variância muito maior que a média, a Poisson provavelmente não é o modelo adequado.A taxa acompanha o tamanho do intervalo. Se ocorrem, em média, 5 chamadas por hora, em 2 horas a média é 10 e em 30 minutos é 2,5. Antes de aplicar a fórmula, ajuste \( \lambda \) ao intervalo da pergunta.Um site recebe, em média, 2 pedidos por minuto, e os pedidos seguem uma distribuição de Poisson. Qual a probabilidade de não chegar nenhum pedido em um minuto?Gabarito: 13,53% — com k = 0 a fórmula fica e elevado a menos 2, vezes 2 elevado a 0, dividido por 0!, ou seja, apenas e elevado a menos 2, que é aproximadamente 0,1353. A opção 27,07% é a probabilidade de exatamente 2 pedidos, não de nenhum.Exemplos da Vida RealExemplo 1: Chamadas telefônicasSituação: um call center recebe, em média, 5 chamadas por hora.Pergunta: qual a probabilidade de receber exatamente 3 chamadas em uma hora?Resolução:\[ \lambda = 5, \quad k = 3 \]\[ P(X = 3) = \frac{e^{-5} \cdot 5^3}{3!} = \frac{0{,}006738 \cdot 125}{6} \approx 0{,}1404 \quad (14{,}04\%) \]Exemplo 2: Acidentes em uma rodoviaSituação: em uma rodovia ocorrem, em média, 2 acidentes por dia.Pergunta: qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 4 acidentes em um dia?Resolução:\[ \lambda = 2, \quad k = 4 \]\[ P(X = 4) = \frac{e^{-2} \cdot 2^4}{4!} = \frac{0{,}1353 \cdot 16}{24} \approx 0{,}0902 \quad (9{,}02\%) \]Exemplo 3: Defeitos em uma linha de produçãoSituação: uma fábrica produz, em média, 1 peça defeituosa a cada 10 horas.Pergunta: qual a probabilidade de encontrar exatamente 2 peças defeituosas em 20 horas?Resolução: primeiro ajustamos a taxa ao intervalo da pergunta. Se há 1 defeito a cada 10 horas, em 20 horas esperamos 2 defeitos:\[ \lambda = 1 \cdot \frac{20 \text{ horas}}{10 \text{ horas}} = 2 \]\[ P(X = 2) = \frac{e^{-2} \cdot 2^2}{2!} = \frac{0{,}1353 \cdot 4}{2} \approx 0{,}2707 \quad (27{,}07\%) \]O gráfico abaixo mostra como a distribuição muda de forma conforme \( \lambda \) cresce: com \( \lambda = 1 \) as probabilidades se concentram em 0 e 1; com \( \lambda = 10 \) a curva fica mais larga e quase simétrica em torno de 10.Distribuição de Poisson para λ = 1, λ = 4 e λ = 10Em uma rodovia ocorrem, em média, 2 acidentes por dia. Qual a probabilidade de ocorrer pelo menos 1 acidente em um dia?Gabarito: 86,47% — pelo menos 1 é o complemento de nenhum: 1 menos P(X = 0) = 1 menos e elevado a menos 2 = 1 menos 0,1353 = 0,8647. A opção 72,93% vem de subtrair também P(X = 1), o que calcularia pelo menos 2 acidentes.Contexto histórico da PoissonA distribuição de Poisson leva o nome do matemático francês Siméon Denis Poisson (1781–1840), que a publicou em 1837 no livro Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Poisson estudava a probabilidade de veredictos em julgamentos, isto é, eventos relativamente raros dentro de populações grandes. Uma forma equivalente da fórmula já aparecia em um trabalho de Abraham de Moivre de 1711, mas o nome que ficou foi o de Poisson.A distribuição surgiu como uma aproximação da distribuição binomial quando o número de tentativas \( n \) é grande e a probabilidade de sucesso \( p \) é pequena, mantendo constante o produto \( \lambda = n \cdot p \). Por exemplo, com \( n = 1000 \) e \( p = 0{,}002 \), temos \( \lambda = 2 \): a binomial exata dá \( P(X = 3) \approx 18{,}06\% \) e a Poisson dá \( 18{,}04\% \), com conta muito mais simples.Uma gráfica imprime 1.000 folhetos e cada um tem probabilidade 0,002 de sair com defeito, independentemente dos outros. Usando a aproximação de Poisson, qual é o valor de λ e a probabilidade de exatamente 3 folhetos defeituosos?Gabarito: λ = 2 e P ≈ 18,04% — λ = n vezes p = 1000 vezes 0,002 = 2, e P(X = 3) = e elevado a menos 2, vezes 8, dividido por 6, que dá cerca de 0,1804. A opção com λ = 3 confunde o número de eventos desejados (k) com a taxa média.Quando usar Poisson e quando usar Binomial?A escolha entre a distribuição binomial e a de Poisson depende das características do problema. Ambas contam eventos, mas em contextos diferentes.Quando usar a Distribuição BinomialA distribuição binomial é usada quando:Há um número fixo de tentativas (\( n \)): o experimento tem um número conhecido de repetições.Há dois resultados possíveis: cada tentativa resulta em sucesso ou fracasso.A probabilidade é constante (\( p \)): a chance de sucesso é a mesma em todas as tentativas.As tentativas são independentes: o resultado de uma não afeta o das outras.Exemplos de aplicação:Jogar uma moeda \( n \) vezes e contar o número de caras.Testar \( n \) produtos e contar quantos estão defeituosos.Cobrar \( n \) pênaltis e contar quantos gols são marcados.Quando usar a Distribuição de PoissonA distribuição de Poisson é usada quando:Não há um número fixo de tentativas: contamos ocorrências em um intervalo contínuo (tempo, área, comprimento, volume), e não sucessos em \( n \) tentativas.A taxa média (\( \lambda \)) é conhecida e constante ao longo do intervalo.Os eventos são independentes: a ocorrência de um não altera a chance dos outros.Os eventos acontecem um de cada vez: a chance de dois eventos no mesmo instante é desprezível.É comum ler que a Poisson serve para eventos raros. Isso vale no sentido de que cada pequeno pedaço do intervalo tem chance pequena de conter um evento; o total no intervalo pode ser grande, como os 20 carros por minuto do exercício 8.Exemplos de aplicação:Número de chamadas recebidas em um call center por hora.Número de acidentes em uma rodovia por dia.Número de erros de digitação em uma página de texto.Número de clientes que chegam a um restaurante por minuto.Qual destas situações é modelada pela distribuição binomial, e não pela de Poisson?Gabarito: Número de caras em 20 lançamentos de uma moeda — há um número fixo de tentativas (20), dois resultados possíveis e probabilidade constante. Nas outras três não há um número fixo de tentativas: contamos ocorrências em um intervalo de tempo ou de comprimento, que é o terreno da Poisson.Uma loja contou os clientes por hora durante vários dias e obteve média 4 e variância 12. A distribuição de Poisson é um bom modelo para essa contagem?Gabarito: Não, porque na Poisson a variância é igual à média, e aqui ela é três vezes maior — essa superdispersão indica que os clientes não chegam de forma independente (chegam em grupos ou há horários de pico). A Poisson não exige média menor que 1; a terceira opção é justamente o erro de aplicar a fórmula sem conferir os dados.ExercíciosChamadas telefônicas: um call center recebe, em média, 4 chamadas por hora. Qual a probabilidade de receber exatamente 6 chamadas em uma hora?Acidentes em uma rodovia: em uma rodovia ocorrem, em média, 3 acidentes por dia. Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 5 acidentes em um dia?Defeitos em uma linha de produção: uma fábrica produz, em média, 2 peças defeituosas a cada 8 horas. Qual a probabilidade de encontrar exatamente 3 peças defeituosas em 24 horas?Chegadas de clientes: um restaurante recebe, em média, 10 clientes por hora. Qual a probabilidade de receber exatamente 12 clientes em uma hora?E-mails recebidos: um funcionário recebe, em média, 8 e-mails por hora. Qual a probabilidade de receber exatamente 10 e-mails em uma hora?Falhas em um sistema: um sistema falha, em média, 1 vez por dia. Qual a probabilidade de o sistema falhar exatamente 2 vezes em um dia?Nascimentos em um hospital: um hospital registra, em média, 5 nascimentos por dia. Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 7 nascimentos em um dia?Carros passando por um pedágio: um pedágio registra, em média, 20 carros por minuto. Qual a probabilidade de passarem exatamente 25 carros em um minuto?Erros de digitação: um digitador comete, em média, 3 erros por página. Qual a probabilidade de cometer exatamente 5 erros em uma página?Chuva em uma cidade: em uma cidade chove, em média, 4 dias por mês. Usando a Poisson, qual a probabilidade de chover exatamente 6 dias em um mês?Gabarito10,42% (\( \lambda = 4,\ k = 6 \))10,08% (\( \lambda = 3,\ k = 5 \))8,92% (em 24 horas, \( \lambda = 2 \cdot 24/8 = 6 \); \( k = 3 \))9,48% (\( \lambda = 10,\ k = 12 \))9,93% (\( \lambda = 8,\ k = 10 \))18,39% (\( \lambda = 1,\ k = 2 \))10,44% (\( \lambda = 5,\ k = 7 \))4,46% (\( \lambda = 20,\ k = 25 \))10,08% (\( \lambda = 3,\ k = 5 \))10,42% (\( \lambda = 4,\ k = 6 \)). Observação: como um mês tem no máximo 30 ou 31 dias e cada dia chove ou não chove, este caso é, a rigor, binomial (\( n = 30,\ p = 4/30 \)), que dá cerca de 10,76%. A Poisson é uma aproximação razoável aqui, mas não exata.
Reactions
0
0 Comments
Be the first to comment
Nothing here yet.