Distribuição de frequência: coletando dados em campo

08/25/2022, updated 10/29/2026 •0•0

Como montar uma distribuição de frequência: classes, limites, amplitude, regra de Sturges, frequências relativa e acumulada, gráficos e curva polida.

Written byLeon

Formas de distribuição de frequência

As variáveis podem ser observadas e estudadas muito mais facilmente quando dispomos os valores em ordem, numa coluna, e colocamos ao lado de cada valor o número de vezes que ele aparece.

Frequência simples

Denominamos frequência o número de repetições de determinado valor da variável estudada. A distribuição de frequência é a tabela (ou o gráfico) que mostra todas essas frequências e como elas estão distribuídas.

Como exemplo, vamos analisar a distribuição de frequência das alturas dos 33 estudantes de uma turma, medidas em centímetros inteiros:

Altura (cm)	Frequência
151	1
152	0
153	2
154	1
155	4
156	3
157	1
158	2
159	0
160	5
161	4
162	3
163	2
164	3
165	1
166	1

Frequência por classes

Essa tabela ainda é pouco prática, porque ocupa muito espaço mesmo quando o número de observações (n) é pequeno. Sempre que possível, sobretudo numa variável contínua, a solução é agrupar os valores em intervalos. Por exemplo:

Altura (cm)	Frequência
150 —\| 155	8
155 —\| 160	11
160 —\| 165	13
165 —\| 170	1

O símbolo —| indica que o intervalo não inclui o limite da esquerda e inclui o da direita: a classe 150 —| 155 reúne as alturas de 151 a 155 cm (1 + 0 + 2 + 1 + 4 = 8 estudantes). O símbolo contrário, |—, inclui o limite da esquerda e exclui o da direita; o importante é deixar a convenção clara, para que nenhum valor seja contado duas vezes.

Os intervalos criados são chamados de classes: classes de frequência, ou apenas classes, são os intervalos em que dividimos a variação da variável. Na coluna da direita da tabela acima está a frequência de cada classe.

Na tabela das alturas, quantos estudantes estão na classe 160 —| 165?

Gabarito: 13 — a classe exclui 160 e inclui 165, então soma as alturas de 161 a 165: 4 + 3 + 2 + 3 + 1 = 13. Quem incluir o 160 (5 estudantes) e excluir o 165 chega a 17, contando o 160 numa classe que não é a dele.

Nomenclaturas em frequências

Limites de classe

Os extremos de cada classe são chamados de limites de classe: cada classe tem um limite inferior e um limite superior. No exemplo, os limites inferiores são 150, 155, 160 e 165; e os superiores, 155, 160, 165 e 170.

Amplitude do intervalo de classe

A amplitude de um intervalo de classe, ou apenas amplitude da classe (h), é o tamanho do intervalo que define a classe. É a diferença entre o limite superior e o limite inferior. No exemplo, todas as classes têm amplitude 5:

\[ h = 155 - 150 = 160 - 155 = 165 - 160 = 170 - 165 = 5 \]

Amplitude total da distribuição e amplitude amostral

A amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira. No exemplo, AT = 170 − 150 = 20.

Não confunda com a amplitude amostral (AA), que é a diferença entre o maior e o menor dado observado. No exemplo, AA = 166 − 151 = 15. A amplitude total é sempre maior ou igual à amostral, porque as classes precisam conter todos os dados.

Número de classes

A primeira decisão ao montar uma distribuição de frequência é o número de classes (k). Poucas classes escondem a forma da distribuição; classes demais deixam muitas vazias.

Uma regra muito usada é a regra de Sturges (proposta por Herbert Sturges em 1926), que dá o número de classes a partir do número de observações n, com o logaritmo na base 10:

\[ k = 1 + 3{,}3 \cdot \log_{10}(n) \]

E a amplitude de cada classe é aproximadamente a amplitude amostral dividida pelo número de classes, arredondando para cima:

\[ h \approx \frac{\text{maior valor} - \text{menor valor}}{k} \]

No exemplo das alturas, com n = 33: k = 1 + 3,3 × log(33) = 1 + 3,3 × 1,52 ≈ 6 classes, e h ≈ 15 / 6 = 2,5, ou seja, classes de 3 cm. A tabela acima usou só 4 classes de 5 cm, para simplificar: a regra de Sturges é uma sugestão, não uma obrigação.

Uma pesquisa tem 200 observações, com menor valor 12 e maior valor 68. Pela regra de Sturges, quantas classes e qual amplitude aproximada de classe usar?

Gabarito: 9 classes de amplitude 7 — k = 1 + 3,3 × log(200) = 1 + 3,3 × 2,30 ≈ 8,6, ou seja, 9 classes; h ≈ (68 − 12) / 9 = 6,2, arredondado para cima: 7. O erro mais comum é usar o logaritmo natural (ln 200 = 5,3), que levaria a cerca de 18 classes.

Tipos de frequência

Frequência simples ou absoluta

A frequência simples ou absoluta (f_i) é o número de dados que pertencem a cada classe.

Exemplo:

Altura (cm)	Frequência simples
150 —\| 155	8
155 —\| 160	11
160 —\| 165	13
165 —\| 170	1

Frequência relativa

A frequência relativa (fr_i) é a razão entre a frequência simples da classe e a frequência total. Somadas, as frequências relativas dão 1 (ou 100%).

Exemplo, com total 33:

Altura (cm)	Frequência relativa
150 —\| 155	8/33 ≈ 0,242 (24,2%)
155 —\| 160	11/33 ≈ 0,333 (33,3%)
160 —\| 165	13/33 ≈ 0,394 (39,4%)
165 —\| 170	1/33 ≈ 0,030 (3,0%)

Frequência acumulada

A frequência acumulada (F_i) é o total das frequências de todos os valores menores ou iguais ao limite superior de uma dada classe, ou seja, a soma da frequência da classe com as de todas as classes anteriores.

Altura (cm)	Frequência acumulada
150 —\| 155	8
155 —\| 160	19
160 —\| 165	32
165 —\| 170	33

Frequência acumulada relativa

A frequência acumulada relativa (Fr_i) é a frequência acumulada da classe dividida pelo total da distribuição.

Exemplo, com total 33:

Altura (cm)	Frequência acumulada relativa
150 —\| 155	8/33 ≈ 0,242 (24,2%)
155 —\| 160	19/33 ≈ 0,576 (57,6%)
160 —\| 165	32/33 ≈ 0,970 (97,0%)
165 —\| 170	33/33 = 1 (100%)

Lendo a tabela: 57,6% dos estudantes têm até 160 cm.

Uma distribuição tem as frequências 4, 10, 16 e 10 nas classes 1, 2, 3 e 4. Qual é a frequência acumulada relativa da classe 3?

Gabarito: 75% — o total é 4 + 10 + 16 + 10 = 40; a frequência acumulada da classe 3 é 4 + 10 + 16 = 30, e 30/40 = 0,75. A resposta 40% é a frequência relativa simples da classe 3 (16/40), sem acumular.

Representação gráfica

Além do histograma (e do gráfico de barras, quando não há classes), podemos representar uma distribuição de frequência das seguintes formas.

Polígono de frequência

O polígono de frequência é um gráfico de linha em que as frequências são marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos médios dos intervalos de classe. Para fechar o polígono, acrescenta-se uma classe de frequência zero antes da primeira e outra depois da última.

Exemplo (com outro conjunto de alturas, em classes de 4 cm):

Polígono de frequência acumulada

O polígono de frequência acumulada (ou ogiva) é traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos limites superiores dos intervalos de classe; começa em zero no limite inferior da primeira classe.

Exemplo (com outro conjunto de dados, em classes de 6 cm):

As formas das curvas de frequência

Curvas em forma de sino

Caracterizam-se por apresentar um valor máximo na região central. São as mais encontradas na natureza. Exemplos: alturas, notas de alunos, variação diária do preço de ações.

Podem ser simétricas:

E podem ser assimétricas:

Uma curva assimétrica com a cauda mais longa à direita (como a da figura acima) tem assimetria positiva; com a cauda mais longa à esquerda, assimetria negativa.

Curvas em forma de J

Correspondem a distribuições extremamente assimétricas, com o ponto de frequência máxima em uma das extremidades. São comuns em fenômenos econômicos e sociais. Exemplos: distribuição da renda pessoal (muita gente com renda baixa e cada vez menos gente nas faixas mais altas) e número de acidentes por motorista (a maioria não tem nenhum). Quando o máximo está à direita, a curva é um J; quando está à esquerda, um J invertido.

Curvas em forma de U

Correspondem a distribuições com frequências máximas nas duas extremidades e mínima no meio. Aparecem em situações bem específicas, como o coeficiente de mortalidade por idade: é alto entre recém-nascidos e idosos e baixo entre jovens adultos.

Num país, a maioria das pessoas ganha até dois salários mínimos e cada faixa de renda mais alta tem menos gente que a anterior. Que forma tem a curva de frequência da renda?

Gabarito: J invertido, com assimetria positiva — a frequência máxima está na extremidade esquerda (rendas baixas) e a cauda longa vai para a direita (rendas altas). Assimetria negativa seria o contrário: cauda longa à esquerda.

Transformações na tabela de frequência

Curva polida: quando a curva da amostra não sai como imaginávamos

Se você fizer um histograma das alturas de 100 pessoas, ele pode ter picos e vales irregulares. Suavizar (polir) a curva depois de obter as frequências de uma amostra é uma técnica comum em estatística, principalmente com histogramas e distribuições empíricas. Os motivos são:

Reduzir o ruído e as flutuações aleatórias;
Visualizar melhor a forma da distribuição real;
Facilitar comparações e interpretações;
Estimar probabilidades de forma contínua.

Nos livros brasileiros de estatística básica, a curva polida é obtida com uma média ponderada de cada classe com as duas vizinhas, em que a própria classe tem peso 2:

\[ fc_i = \frac{f_{i-1} + 2f_i + f_{i+1}}{4} \]

Nas pontas, usa-se frequência zero para as classes inexistentes. Com as alturas do exemplo (8, 11, 13 e 1), acrescentando uma classe vazia antes (145 —| 150) e outra depois (170 —| 175):

Classe	f_i	Frequência polida fc_i
145 —\| 150	0	(0 + 0 + 8)/4 = 2,00
150 —\| 155	8	(0 + 16 + 11)/4 = 6,75
155 —\| 160	11	(8 + 22 + 13)/4 = 10,75
160 —\| 165	13	(11 + 26 + 1)/4 = 9,50
165 —\| 170	1	(13 + 2 + 0)/4 = 3,75
170 —\| 175	0	(1 + 0 + 0)/4 = 0,25

Repare que o total continua 33 e que a queda brusca de 13 para 1 virou uma descida gradual. A curva polida é desenhada ligando esses valores nos pontos médios das classes, como num polígono de frequência.

Outras técnicas de suavização são a estimativa de densidade por kernel (KDE), as médias móveis e as splines (regressão não paramétrica). A média móvel simples (SMA, de simple moving average) de ordem n é muito usada em séries ao longo do tempo:

\[ SMA_t = \frac{x_t + x_{t-1} + x_{t-2} + \dots + x_{t-n+1}}{n} \]

Onde:

x_t = valor no tempo t;

n = número de períodos considerados.

Suponha que coletamos os seguintes números de acessos diários a um site durante 10 dias:

Dia (t)	Acessos (x_t)
1	120
2	150
3	130
4	170
5	160
6	140
7	190
8	180
9	170
10	200

Com n = 3, a fórmula só pode ser aplicada a partir do 3º dia:

Dia 3: \( SMA_3 = \frac{130 + 150 + 120}{3} = \frac{400}{3} \approx 133{,}3 \)
Dia 4: \( SMA_4 = \frac{170 + 130 + 150}{3} = \frac{450}{3} = 150 \)
Dia 5: \( SMA_5 = \frac{160 + 170 + 130}{3} = \frac{460}{3} \approx 153{,}3 \)

... e assim por diante até o dia 10:

Dia (t)	Acessos (x_t)	SMA(3) (curva polida)
1	120	-
2	150	-
3	130	133,3
4	170	150,0
5	160	153,3
6	140	156,7
7	190	163,3
8	180	170,0
9	170	180,0
10	200	183,3

Veja no gráfico (que continua a série até o dia 22) como a curva polida não tem os saltos repentinos da série original.

Curva polida vs. curva real amostral

As frequências de quatro classes consecutivas são 6, 10, 4 e 8. Qual é a frequência polida da segunda classe, pela fórmula fc = (f anterior + 2 × f da classe + f seguinte) / 4?

Gabarito: 7,5 — fc = (6 + 2 × 10 + 4) / 4 = 30 / 4 = 7,5. O valor 6,7 seria a média simples das três classes, (6 + 10 + 4) / 3, que não dá o peso 2 à própria classe.

Outras transformações

Além da suavização, existem várias transformações matemáticas aplicadas aos dados para melhorar sua distribuição, linearidade ou interpretação. As principais são:

Transformação	Fórmula	Quando usar	Exemplo de aplicação
Logarítmica	\( \log(x) \) ou \( \ln(x) \), só para x > 0	Dados com assimetria positiva (cauda longa à direita).	Renda, tamanho de cidades, preços de ações.
Raiz quadrada	\( \sqrt{x} \)	Dados de contagem (Poisson) ou assimetria moderada.	Número de cliques, acidentes por dia.
Inversa	\( \frac{1}{x} \)	Relações inversas (ex.: tempo versus velocidade).	Tempo entre eventos, taxas de falha.
Box-Cox	\( \frac{x^\lambda - 1}{\lambda} \) (e \( \ln x \) quando \( \lambda = 0 \)), só para x > 0	Aproximar os dados de uma distribuição normal; o \( \lambda \) é estimado a partir dos próprios dados.	Dados assimétricos ou com variância não constante.
Padronização (escore z)	\( \frac{x - \mu}{\sigma} \)	Quando é preciso uma escala comparável (média 0, desvio padrão 1).	Aprendizado de máquina, algoritmos sensíveis à escala.
Normalização mín-máx	\( \frac{x - \min(X)}{\max(X) - \min(X)} \)	Dados num intervalo fixo (ex.: de 0 a 1).	Redes neurais, imagens (pixels).

Exercícios

1) As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:

1 2 3 4 5 6 6 7 7 8

2 3 3 4 5 6 6 7 8 8

2 3 4 4 5 6 6 7 8 9

2 3 4 5 5 6 6 7 8 9

2 3 4 5 5 6 7 7 8 9

Decidiu-se dividir as notas em 5 classes (0 |— 2, 2 |— 4, 4 |— 6, 6 |— 8 e 8 |—| 10). Responda:

a) Complete a distribuição de frequência das classes.

b) Qual a amplitude amostral?

c) Qual a amplitude total da distribuição?

d) Qual o número de classes da distribuição?

e) Qual o limite superior da quarta classe?

f) Qual o limite superior da classe de ordem 2?

g) Qual a amplitude do segundo intervalo de classe?

2) Conhecidas as notas de 50 alunos:

84 68 33 52 47 73 68 61 73 77

74 71 81 91 65 55 57 35 85 88

59 80 41 50 53 65 76 85 73 60

67 41 78 56 94 35 45 55 64 74

65 94 66 48 39 69 89 98 42 54

Obtenha a distribuição de frequência, tendo 30 como limite inferior da primeira classe e 10 como amplitude de classe.

3) Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:

1 1 1 1 1 1 1 2 2 1

2 2 2 2 2 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 3 3 3 5 5 5 5

5 5 6 6 6 6 6 6 6 6

Forme uma distribuição de frequência sem intervalos de classe.

4) Dada a distribuição de frequência:

x	Frequência 1	Frequência 2
3	2	2
4	5	5
5	12	9
6	10	6
7	8	2
8	3	1

Determine, para cada uma das duas distribuições:

a) o somatório das frequências;

b) as frequências relativas;

c) as frequências acumuladas;

d) as frequências relativas acumuladas.

5) Construa a curva polida relativa à distribuição de frequência:

i	Classes	Frequência
1	4 \|— 8	2
2	8 \|— 12	5
3	12 \|— 16	9
4	16 \|— 20	6
5	20 \|— 24	2
6	24 \|— 28	1

6) Cite o tipo de curva correspondente a cada distribuição a seguir:

a) número de mulheres casadas de 15 a 30 anos, em uma dada população, classificadas segundo o número de vezes que se casaram;

b) notas de alunos que cursam a última série do ensino médio, em uma dada população;

c) coeficiente de mortalidade por acidente, por grupo de idade;

d) tempo de estacionamento de veículos motorizados em uma área de congestionamento;

e) número de homens aptos ao trabalho, por grupo de idade, que estão desempregados.

7) Os números abaixo são os coeficientes de liquidez obtidos da análise do balanço de 50 indústrias:

3,9 7,4 10,0 11,8 2,3 4,5 10,5 8,4 15,6 7,6

18,8 2,9 2,3 0,4 5,0 9,0 5,5 9,2 12,4 8,7

4,5 4,4 10,6 5,6 8,5 2,4 17,8 11,6 0,8 4,4

7,1 3,2 2,7 16,2 2,7 9,5 13,1 3,8 6,3 7,9

4,8 5,3 12,9 6,9 6,3 7,5 2,6 3,3 4,6 16,0

a) Forme com esses dados uma distribuição com intervalos de classe de amplitude 3, de modo que os limites inferiores sejam múltiplos de 3;

b) Construa o histograma correspondente.

8) O grau de nebulosidade, registrado em décimos, ocorre de acordo com a distribuição abaixo:

Nebulosidade	Frequência
0 \|— 0,5	320
0,5 \|— 1,5	125
1,5 \|— 2,5	75
2,5 \|— 3,5	65
3,5 \|— 4,5	45
4,5 \|— 5,5	45
5,5 \|— 6,5	55
6,5 \|— 7,5	65
7,5 \|— 8,5	90
8,5 \|— 9,5	145
9,5 \|—\| 10	676

Construa o histograma correspondente. (Atenção: a primeira e a última classes têm amplitude 0,5, metade das outras.)

9) Considerando a distribuição abaixo:

Classes	Frequência
1 \|— 2	7
2 \|— 3	3
3 \|— 4	10
4 \|— 5	11
5 \|— 6	12
6 \|— 7	37
7 \|— 8	35
8 \|— 9	45
9 \|— 10	39
10 \|— 11	30
11 \|— 12	25

Construa o histograma correspondente.

10) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 400 lotes:

Áreas (m²)	Número de lotes
300 \|— 400	14
400 \|— 500	46
500 \|— 600	58
600 \|— 700	76
700 \|— 800	68
800 \|— 900	62
900 \|— 1000	48
1000 \|— 1100	22
1100 \|— 1200	6

Com referência a essa tabela, determine:

a) a amplitude total;

b) o limite superior da quinta classe;

c) o limite inferior da oitava classe;

d) o ponto médio da sétima classe;

e) a amplitude do intervalo da segunda classe;

f) a frequência da quarta classe;

g) a frequência relativa da sexta classe;

h) a frequência acumulada da quinta classe;

i) o número de lotes cuja área não atinge 700 m²;

j) o número de lotes cuja área atinge ou ultrapassa 800 m²;

l) a porcentagem dos lotes cuja área é maior ou igual a 900 m²;

m) a porcentagem dos lotes cuja área é de, no mínimo, 500 m², mas inferior a 1000 m².

Gabarito

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Professor de Administração e programador de websites Full Stack

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