Valores da distribuição normal a partir de probabilidades

09/26/2022, updated 10/29/2026 •0•0

Como achar o valor de uma variável normal a partir de uma probabilidade: leitura inversa da tabela, x = μ + zσ e exemplos do dia a dia das empresas.

Written byLeon

Cálculo de valores a partir de probabilidades

Como vimos na aula passada, para descobrir a probabilidade de algo que segue uma distribuição normal, basta transformar os dados na distribuição normal reduzida, cujas probabilidades estão na tabela abaixo (o corpo da tabela dá a área entre 0 e z):

Distribuição normal

A transformação é dada pela fórmula:

\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

Muitas vezes, porém, o problema é o inverso: conhecemos a probabilidade e queremos o valor de X que a produz (por exemplo, o tempo que separa os 10% mais lentos). Para calcular valores a partir de probabilidades, seguimos estes passos:

Lembrar que porcentagens e probabilidades são áreas sob a curva, e não valores de z.
Ler a tabela ao contrário: procurar a área no corpo da tabela e ler o z correspondente na linha e na coluna.
Escolher o lado correto do gráfico (num problema de tempo, por exemplo, os tempos maiores, dos mais lentos, ficam à direita, com z positivo).
Aplicar a fórmula da padronização isolando x.

Isolar x na fórmula da padronização é simples:

\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

\[ z \cdot \sigma = x - \mu \]

\[ x = \mu + z \cdot \sigma \]

Em outras palavras, conhecendo a média e o desvio padrão, podemos calcular o valor de x correspondente a qualquer probabilidade, pois a probabilidade nos dá o z.

Como a tabela dá a área entre 0 e z, para uma cauda de 10% procuramos a área 0,5 − 0,10 = 0,40, que corresponde a z ≈ 1,28; para uma cauda de 5%, procuramos 0,45, que fica entre 1,64 e 1,65, isto é, z ≈ 1,645.

Exemplos

Numa fábrica, os trabalhadores levam em média 75 minutos para completar uma tarefa, com 6 minutos de desvio padrão. Quanto tempo separa os 10% mais rápidos dos 10% mais lentos?

Os 10% mais rápidos (menores tempos) estão na parte esquerda do gráfico: o z que deixa 10% de área à sua esquerda é −1,28.

Os 10% mais lentos (maiores tempos) estão na parte direita do gráfico: o z que deixa 10% de área à sua direita é 1,28.

Assim, o tempo que limita os 10% mais rápidos é:

\[ x = \mu + z \cdot \sigma \]

\[ x = 75 - 1,28 \cdot 6 = 67,32 \text{ minutos} \]

E o tempo que limita os 10% mais lentos:

\[ x = \mu + z \cdot \sigma \]

\[ x = 75 + 1,28 \cdot 6 = 82,68 \text{ minutos} \]

A diferença entre os dois tempos é:

\[ \text{diferença} = 82,68 - 67,32 = 15,36 \text{ minutos} \]

Na mesma fábrica (média de 75 minutos e desvio padrão de 6 minutos), quanto tempo levam, no mínimo, os 5% mais lentos?

Os 5% mais lentos estão na parte direita do gráfico: o z que deixa 5% de área à sua direita é 1,645.

Assim, o tempo mínimo dos 5% mais lentos é:

\[ x = \mu + z \cdot \sigma \]

\[ x = 75 + 1,645 \cdot 6 = 84,87 \approx 84,9 \text{ minutos} \]

Numa fábrica, a tarefa leva em média 75 minutos, com desvio padrão de 6 minutos. Até quanto tempo levam os 5% mais rápidos?

Gabarito: 65,1 minutos — os mais rápidos têm os menores tempos, à esquerda, com z = −1,645: x = 75 − 1,645 × 6 ≈ 65,1. O 84,9 é a armadilha de usar o lado direito, que é o dos mais lentos; 67,3 usa o z de 10%.

O tempo de atendimento segue uma normal com média 8 minutos e desvio padrão 2 minutos. Qual tempo é superado por apenas 2% dos atendimentos? (Use z ≈ 2,05.)

Gabarito: 12,1 minutos — a cauda de 2% está à direita, então x = 8 + 2,05 × 2 = 12,1. O 3,9 usa o lado errado; 10,05 soma o z à média sem multiplicar pelo desvio padrão.

Simetria na distribuição

Já vimos que a distribuição normal é simétrica em torno da média. Muitos exercícios exploram essa característica ao dividir a população em duas metades:

mais ricos ou mais pobres;
mais rápidos ou mais lentos;
mais altos ou mais baixos.

Fica o alerta: quando o exercício divide a população em duas metades, cada metade representa 50% da distribuição. Assim, "10% dos mais rápidos" significa 10% da metade mais rápida, isto é, 5% da distribuição inteira.

Exemplo

Numa fábrica, os trabalhadores levam em média 75 minutos para completar uma tarefa, com 6 minutos de desvio padrão. Qual o tempo que separa os 10% mais rápidos entre os rápidos dos 10% mais lentos entre os lentos?

Neste caso, 10% entre os mais rápidos (que são 50% da distribuição) correspondem a 5% da distribuição, na parte esquerda. Da mesma forma, 10% entre os mais lentos correspondem a 5% da distribuição, na parte direita.

O z que deixa 5% à esquerda, dos mais rápidos, é −1,645:

\[ x = \mu + z \cdot \sigma \]

\[ x = 75 - 1,645 \cdot 6 = 65,13 \text{ minutos} \]

O z que deixa 5% à direita, dos mais lentos, é 1,645:

\[ x = \mu + z \cdot \sigma \]

\[ x = 75 + 1,645 \cdot 6 = 84,87 \text{ minutos} \]

A diferença:

\[ \text{diferença} = 84,87 - 65,13 = 19,74 \text{ minutos} \]

As alturas de uma turma seguem uma normal com média 170 cm e desvio padrão 10 cm. A partir de que altura estão os 20% mais altos entre os que estão acima da média?

Gabarito: 182,8 cm — 20% da metade superior equivalem a 10% da distribuição inteira, cauda direita, com z ≈ 1,28: x = 170 + 1,28 × 10 = 182,8. O 178,4 é a armadilha de usar 20% da distribuição inteira (z ≈ 0,84).

Exercícios

1) Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos. 25% das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento?

2) Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos. 75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento?

3) Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos. Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos? E mais do que 9,5 minutos? E entre 7 e 10 minutos?

4) A distribuição dos pesos de coelhos criados numa granja pode muito bem ser representada por uma distribuição normal, com média 5 kg e desvio padrão 0,9 kg. Um abatedouro comprará 5000 coelhos e pretende classificá-los de acordo com o peso do seguinte modo: os 15% mais leves como pequenos, os 50% seguintes como médios, os 20% seguintes como grandes e os 15% mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classificação?

5) Uma enchedora automática de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 cm³, com desvio padrão de 10 cm³. Admita que o volume siga uma distribuição normal. Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm³? Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrão?

6) Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo até a ocorrência de algum defeito grave tem distribuição normal: no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses; no tipo B, com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de R\$ 1200 e R\$ 2100, respectivamente, e, caso haja restituição, com prejuízo de R\$ 2500 e R\$ 7000, respectivamente. Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B e seus lucros médios.

7) Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média 150000 km e desvio padrão de 5000 km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, tenha um motor que dure menos de 170000 km? E entre 140000 km e 165000 km? Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia, qual deve ser essa garantia para que a porcentagem de motores substituídos seja inferior a 0,2%?

8) A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma certa máquina é 0,502 cm e o desvio padrão é 0,005 cm. A finalidade para a qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância de 0,496 a 0,508 cm para o diâmetro; fora disso, as arruelas são consideradas defeituosas. Determine a porcentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina, admitindo que os diâmetros sejam distribuídos normalmente.

9) Suponha que as medidas da corrente elétrica em um pedaço de fio sigam a distribuição normal, com média de 10 miliamperes e variância de 4 miliamperes² (desvio padrão de 2 miliamperes). Qual a probabilidade de a medida exceder 13 miliamperes? Qual a probabilidade de a medida da corrente estar entre 9 e 11 miliamperes?

10) Com as mesmas medidas de corrente do exercício anterior (média de 10 miliamperes e variância de 4 miliamperes²), determine o valor abaixo do qual está a medida da corrente com probabilidade de 98%.

11) O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição normal com média 25,08 cm e desvio padrão 0,05 cm. Se as especificações para esse eixo são 25,00 ± 0,15 cm, determine o percentual de unidades produzidas em conformidade com as especificações.

12) A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição N(8; 1,5), isto é, média 8 ppm e variância 1,5. Qual a chance de que, num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm?