Medidas de dispersão: variância e desvio padrão

, updated •0•0Comment iconComment iconComment iconComment icon

Variância e desvio padrão para dados soltos e agrupados, população versus amostra (n ou n − 1), propriedades e coeficiente de variação, com exercícios.

Edit Article

Por que estudar o desvio padrão

Ao ouvir o som de corações diferentes, a frequência dos batimentos por minuto já dá uma pista sobre o dono do coração: o coração de um feto, por exemplo, bate bem mais rápido que o de um adulto. Ter a posição (a média) do conjunto de dados é importante, mas muitas vezes não é a única coisa a analisar. Para saber se um paciente tem problemas cardíacos, o médico observa, além do número de batimentos por minuto, o ritmo no eletrocardiograma: se o coração muda muito de passo ou não. Em outras palavras, o quanto os intervalos entre os batimentos estão dispersos em relação à média. Repare na diferença entre os seguintes áudios:

Você sabe dizer qual coração tem arritmia?

Vamos a outro exemplo. Considere as seguintes séries:

X: 70, 70, 70, 70, 70

Y: 68, 69, 70, 71, 72

Z: 0, 10, 70, 110, 160

A média aritmética de cada série é 70, a mediana das três é 70, e só a série X tem moda. Apesar disso, as três são claramente muito diferentes.

Chama-se dispersão ou variabilidade o grau em que os valores de uma variável se espalham em torno de um valor de tendência central, tomado como ponto de comparação. No exemplo, X tem dispersão nula, e Y tem dispersão bem menor que Z.

No gráfico abaixo, os pontos se espalham em torno da reta: é esse afastamento em relação a um valor central que as medidas de dispersão quantificam.

Image content of the Website

Duas máquinas enchem pacotes de 500 g. Numa amostra, a máquina A produziu 498, 500, 502 g e a máquina B, 480, 500, 520 g. O que se pode dizer?

Loading icon

Gabarito: As duas têm a mesma média, mas a B tem dispersão muito maior — ambas têm média 500 g, mas a B erra até 20 g para cada lado, contra 2 g da A. É exatamente o caso em que a média sozinha esconde a diferença e uma medida de dispersão é necessária.

Como calcular a variância e o desvio padrão

As medidas de dispersão mais usadas, por levarem em conta todos os valores, são a variância e o desvio padrão.

A variância baseia-se nos desvios em relação à média aritmética: é a média dos quadrados dos desvios. Elevamos ao quadrado porque, como vimos na aula de medidas de posição, a soma dos desvios é sempre zero; ao quadrado, todos ficam positivos. Quando os dados são a população inteira (todos os elementos de interesse), a variância é representada por σ² e calculada assim:

\[ \sigma^{2} = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})^{2}}}{n} \]

Quando os dados são uma amostra e queremos estimar a variância da população de onde ela veio, dividimos por n − 1 em vez de n (é a chamada variância amostral, representada por s²):

\[ s^{2} = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})^{2}}}{n - 1} \]

Dividir por n − 1 corrige a tendência da amostra de subestimar a variabilidade da população. Com muitos dados, a diferença entre as duas fórmulas é pequena; com poucos, é grande. Nos exemplos e exercícios desta aula, como nos livros de estatística descritiva básica, os dados são tratados como população (dividimos por n), e mostramos também o valor amostral para comparação.

Como a variância é calculada com os quadrados dos desvios, ela está em unidade ao quadrado (cm², kg², reais²), o que, na prática, é um inconveniente. Por isso usa-se o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância e volta à mesma unidade dos dados:

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^{2}} \qquad s = \sqrt{s^{2}} \]

Propriedades

1ª: O desvio padrão é sempre positivo ou nulo. O desvio padrão de uma constante é nulo.

2ª: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c a todos os valores de uma variável, o desvio padrão continua o mesmo (propriedade chamada de invariância por translação).

3ª: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante c, o desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) pelo valor absoluto dessa constante.

Por exemplo, se a série Y (desvio padrão de cerca de 1,41) for convertida de quilogramas para gramas, multiplicando tudo por 1.000, o desvio padrão passa a cerca de 1.414; se somarmos 5 a todos os valores, ele continua 1,41.

Desvio padrão para dados não agrupados

Tome como exemplo a seguinte série da variável x:

x: 40, 45, 48, 52, 54, 62, 70

A média é 371 / 7 = 53. O modo mais prático de calcular o desvio padrão é montar uma tabela com os desvios e seus quadrados:

xMédiaDesvioDesvio ao quadrado
4053-13169
4553-864
4853-525
5253-11
5453+11
6253+981
7053+17289

\[ \text{Soma dos desvios ao quadrado} = 630 \]

\[ \text{Número de elementos} = 7 \]

\[ \text{Variância (população)} = \frac{630}{7} = 90 \]

\[ \text{Desvio padrão (população)} = \sqrt{90} \approx 9{,}49 \]

Se esses 7 valores fossem uma amostra, teríamos s² = 630 / 6 = 105 e s ≈ 10,25.

Desvio padrão para dados agrupados: sem intervalos de classe

Quando há frequências, cada desvio ao quadrado é multiplicado pela frequência do valor, e o total de elementos é a soma das frequências:

\[ \sigma^{2} = \frac{\sum{f_i \cdot (x_i - \bar{x})^{2}}}{\sum{f_i}} \]

Exemplo (média = 63 / 30 = 2,1):

xFrequênciaMédiaDesvioDesvio ao quadradoDesvio ao quadrado × frequência
022,1-2,14,418,82
162,1-1,11,217,26
2122,1-0,10,010,12
372,1+0,90,815,67
432,1+1,93,6110,83

\[ \text{Soma dos desvios ao quadrado vezes a frequência} = 32{,}7 \]

\[ \text{Número de elementos} = 30 \]

\[ \text{Variância} = \frac{32{,}7}{30} = 1{,}09 \]

\[ \text{Desvio padrão} = \sqrt{1{,}09} \approx 1{,}044 \]

(Como amostra: s² = 32,7 / 29 ≈ 1,128 e s ≈ 1,062.)

Desvio padrão para dados agrupados: com intervalos de classe

Com intervalos de classe, usa-se o ponto médio como o valor da classe.

Exemplo:

ClassePonto médioFrequênciaMédiaDesvioDesvio ao quadradoDesvio ao quadrado × frequência
0 |— 2125-41632
2 |— 4325-248
4 |— 6525000
6 |— 8725+248
8 |—| 10925+41632

\[ \text{Soma dos desvios ao quadrado vezes a frequência} = 80 \]

\[ \text{Número de elementos} = 10 \]

\[ \text{Variância} = \frac{80}{10} = 8 \]

\[ \text{Desvio padrão} = \sqrt{8} \approx 2{,}83 \]

(Como amostra: s² = 80 / 9 ≈ 8,89 e s ≈ 2,98.)

Os tempos de espera, em minutos, de quatro clientes foram 2, 4, 4 e 6. Tratando os dados como população, quanto valem a variância e o desvio padrão?

Loading icon

Gabarito: Variância 2 e desvio padrão 1,41 — a média é 16 / 4 = 4; os desvios ao quadrado são 4, 0, 0, 4, que somam 8; 8 / 4 = 2 e a raiz de 2 é 1,41. A opção 2,67 e 1,63 é a variância amostral (8 / 3), que valeria se os quatro clientes fossem uma amostra de todos os clientes.

As notas de uma turma têm desvio padrão 1,5. O professor dá 1 ponto extra a todos e depois converte as notas de 0 a 10 para 0 a 100 (multiplica por 10). Qual o novo desvio padrão?

Loading icon

Gabarito: 15 — somar 1 ponto a todos não muda o desvio padrão (propriedade 2); multiplicar por 10 multiplica o desvio padrão por 10 (propriedade 3): 1,5 × 10 = 15. A opção 25 vem de multiplicar (1,5 + 1) por 10, aplicando a soma ao desvio padrão, o que é errado.

Coeficiente de variação

O desvio padrão sozinho não diz muita coisa. Um desvio padrão de 2 unidades pode ser considerado pequeno para uma série cuja média é 200; mas, se a média for 20, o mesmo não se pode dizer.

Além disso, como o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos dados, ele não serve para comparar a dispersão de séries com unidades ou ordens de grandeza diferentes (alturas em centímetros e pesos em quilos, por exemplo).

Para contornar essas dificuldades, usa-se o coeficiente de variação (CV), que mede o desvio padrão em proporção da média e costuma ser expresso em porcentagem:

\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\% \]

Assim, no último exemplo:

\[ \text{Desvio padrão} \approx 2{,}83 \]

\[ \text{Média} = 5 \]

\[ CV = \frac{2{,}83}{5} \approx 0{,}566 = 56{,}6\% \]

Quanto maior o CV, mais dispersos os dados em relação à média. Uma regra prática comum considera baixa a dispersão com CV até cerca de 15%, média entre 15% e 30% e alta acima de 30%; no exemplo, 56,6% indica dispersão alta.

Na loja A, as vendas diárias têm média R$ 2.000 e desvio padrão R$ 300. Na loja B, média R$ 500 e desvio padrão R$ 100. Qual loja tem vendas relativamente mais instáveis?

Loading icon

Gabarito: A loja B, porque seu coeficiente de variação é maior — CV da A = 300 / 2.000 = 15%; CV da B = 100 / 500 = 20%. O desvio padrão da A é maior em reais, mas ela também vende quatro vezes mais; comparar desvios padrão de médias tão diferentes engana, e é para isso que existe o CV.

Exercícios

1) Calcule o desvio padrão dos seguintes conjuntos:

a) 1, 3, 4, 9;

b) 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20.

2) Calcule o desvio padrão dos seguintes conjuntos:

a) 17,9; 22,5; 13,3; 16,8; 15,4; 14,2;

b) −10, −6, 2, 3, 7, 9, 10.

3) Calcule o desvio padrão da seguinte distribuição:

XFrequência
21
33
45
58
65
74
82

4) Calcule o desvio padrão da seguinte distribuição:

XFrequência
1,5 |— 1,64
1,6 |— 1,78
1,7 |— 1,812
1,8 |— 1,915
1,9 |— 2,012
2,0 |— 2,18
2,1 |— 2,24

5) Sabendo que um conjunto de dados tem média aritmética 18,3 e desvio padrão 1,47, calcule o coeficiente de variação.

6) Em um exame final de Matemática, a nota média de um grupo de 150 alunos foi 7,8 e o desvio padrão, 0,80. Em Estatística, a nota média final foi 7,3 e o desvio padrão, 0,76. Em que disciplina a dispersão relativa foi maior?

7) Medidas as estaturas de 1.017 indivíduos, obtivemos média de 162,2 cm e desvio padrão de 8,01 cm. O peso médio desses mesmos indivíduos é 52 kg, com desvio padrão de 2,3 kg. Esses indivíduos apresentam maior variabilidade em estatura ou em peso?

8) Um grupo de cem estudantes tem estatura média de 163,8 cm, com coeficiente de variação de 3,3%. Qual é o desvio padrão desse grupo?

9) Uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas: desvio padrão = 1,5 e CV = 2,9%. Determine a média da distribuição.

Gabarito

Nos exercícios 1 a 4, o primeiro valor trata os dados como população (divide por n) e o valor entre parênteses, como amostra (divide por n − 1).

1) a) 2,95 (amostra: 3,40); b) 2,81 (amostra: 3,04)

2) a) 3,02 (amostra: 3,30); b) 7,04 (amostra: 7,60)

3) 1,51 (amostra: 1,54)

4) 0,159 (amostra: 0,161)

5) 1,47 / 18,3 ≈ 8,03%

6) Estatística (CV de 10,4%, contra 10,3% em Matemática)

7) Estatura (CV de 4,9%, contra 4,4% no peso)

8) 0,033 × 163,8 ≈ 5,41 cm

9) 1,5 / 0,029 ≈ 51,7

What did you think of this article?

0%
User score (0)

Share this article!

Topics estatísticadesviodispersão
Send your news