IntroduçãoAté aqui na matéria vimos os conceitos ligados à coleta de dados: o que coletar e o significado por trás de cada coleta.Agora entramos em um novo campo da estatística: a redução dos dados. Ele parte de uma limitação prática: quase nunca conseguimos lidar com toda a população de dados disponível. Por motivos econômicos, de tempo ou físicos, analisamos apenas amostras e, dentro delas, guardamos só as informações relevantes para a pergunta que queremos responder.População e amostra“Ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica comum denominamos população estatística ou universo estatístico.”- Definição de populaçãoEm qualquer estudo estatístico queremos pesquisar uma ou mais características dos elementos de uma população, e essa característica precisa estar perfeitamente definida. Isso acontece quando, dado um elemento qualquer, conseguimos dizer sem ambiguidade se ele pertence ou não à população. É necessário, portanto, um critério de constituição da população que valha para qualquer pessoa, em qualquer tempo ou lugar. Por exemplo, se queremos fazer uma pesquisa entre os alunos do ensino fundamental, precisamos definir quem forma o universo: só os alunos matriculados hoje, ou também os que já passaram pela escola? A resposta depende de cada caso.Na maioria das vezes, por impossibilidade ou inviabilidade econômica ou de tempo, limitamos as observações de uma pesquisa a apenas uma parte da população. Essa parte da população em estudo é chamada de amostra.“Uma amostra é um subconjunto finito de uma população”- Seu professor LeonA amostra precisa ser representativa da população, isto é, precisa ter as mesmas características básicas da população no que diz respeito ao fenômeno que queremos pesquisar. Para isso, a amostra (ou as amostras) deve ser obtida por processos adequados.O que é amostragemAmostragem é a técnica de recolher amostras de modo a garantir, tanto quanto possível, o acaso na escolha.Na amostragem aleatória, cada elemento da população tem a mesma chance de ser escolhido, o que dá à amostra o caráter de representatividade. Isso é muito importante, porque nossas conclusões sobre a população vão se basear nos resultados obtidos nas amostras dessa população. Quando a forma de coletar favorece certos elementos, a amostra fica enviesada, como mostra a imagem abaixo: quem responde a uma pesquisa sobre gostar de responder pesquisas são justamente as pessoas que gostam de responder pesquisas.O problema de uma amostra enviesadaCom uma boa amostra, podemos inferir ou estimar parâmetros populacionais. Como os parâmetros verdadeiros de uma população (média, variância, proporção) geralmente são desconhecidos, usamos estimadores: fórmulas que aproximam esses valores a partir das informações da amostra.Tipos de estimadoresExistem diversos estimadores, dependendo do parâmetro que se deseja estimar. Alguns exemplos comuns:Média amostral como estimador da média populacional\[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \]Onde \(X_i\) são os valores da amostra e \(n\) é o tamanho da amostra. A média amostral \(\bar{X}\) estima a média populacional \(\mu\).Variância amostral como estimador da variância populacional\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \]A variância amostral \(s^2\) estima a variância populacional \(\sigma^2\). A fórmula divide por \(n-1\), e não por \(n\), para produzir um estimador não viesado. Esse ajuste, chamado de correção de Bessel, existe porque os desvios são medidos em relação à média da própria amostra, que fica sempre "no meio" dos dados; por isso a soma dos quadrados dos desvios tende a ser menor do que seria em relação à média verdadeira, e dividir por \(n\) subestimaria a variabilidade da população.Proporção amostral como estimador da proporção populacional\[ \hat{p} = \frac{\text{número de sucessos na amostra}}{n} \]A proporção amostral \(\hat{p}\) estima a proporção populacional \(p\). Por exemplo, se 18 de 60 entrevistados usam transporte público, \(\hat{p} = 18/60 = 0{,}30\), e estimamos que 30% da população use transporte público.Exemplo práticoQueremos calcular a altura média e a variância das alturas dos estudantes de uma escola com 1.000 alunos.PopulaçãoSe medirmos todos os 1.000 alunos, estamos lidando com a população. Usamos as fórmulas da média \(\mu\) e da variância \(\sigma^2\) (esta dividindo por \(N\)).AmostraSe selecionarmos 50 alunos para representar os 1.000, usamos as fórmulas de \(\bar{x}\) e \(s^2\), com a correção \(n-1\) na variância.Entender essa diferença é crucial, porque as estatísticas calculadas a partir da amostra são usadas para fazer inferências sobre a população.Uma amostra tem os valores 2, 4 e 6. Qual é a variância amostral s²?Gabarito: 4 — a média é 4; os desvios ao quadrado somam 4 + 0 + 4 = 8, e dividimos por n − 1 = 2, obtendo 4. Dividir por n = 3 daria 8/3, que é a fórmula da variância populacional e subestimaria a variabilidade.Propriedades dos estimadoresNem todos os estimadores são iguais, e os estatísticos buscam algumas propriedades em um bom estimador. As principais são:Ausência de viésUm estimador é não viesado (ou não tendencioso) se, em média, acerta o parâmetro populacional: seu valor esperado é igual ao parâmetro. Uma amostra isolada pode errar para mais ou para menos, mas não há um erro sistemático numa direção.ConsistênciaUm estimador é consistente se, à medida que o tamanho da amostra aumenta, ele tende a se aproximar do valor verdadeiro do parâmetro. Ou seja, quanto maior a amostra, mais precisa tende a ser a estimativa.EficiênciaEntre estimadores não viesados de um mesmo parâmetro, o mais eficiente é o que tem a menor variância. Isso significa que suas estimativas variam menos de uma amostra para outra.SuficiênciaUm estimador é suficiente se resume toda a informação que a amostra contém sobre o parâmetro que está sendo estimado: depois de conhecê-lo, o restante dos dados não acrescenta nada sobre aquele parâmetro.Um pesquisador quer estimar a média de uma população e tem dois estimadores não viesados: A, com variância 4, e B, com variância 9. Qual escolher e por quê?Gabarito: A, porque é mais eficiente — os dois acertam em média, mas A varia menos de uma amostra para outra, então cada estimativa tende a ficar mais perto do valor verdadeiro. Ser não viesado não basta para escolher: a variância também conta.Tipos de amostragemAmostragem casual ou aleatória simplesEste tipo de amostragem equivale a um sorteio lotérico: todos os elementos da população têm a mesma chance de entrar na amostra.ExemploQueremos uma amostra representativa para pesquisar a estatura dos noventa alunos de uma escola: numeramos os alunos de 01 a 90 e sorteamos 9 deles, o que representa 10% da população.Amostragem proporcional estratificadaMuitas vezes a população se divide em subpopulações, os estratos.Como é provável que a variável em estudo se comporte de forma heterogênea de um estrato para outro e de forma homogênea dentro de cada estrato, convém que o sorteio dos elementos da amostra leve os estratos em consideração.É isso que faz a amostragem proporcional estratificada: além de considerar a existência dos estratos, ela retira de cada estrato um número de elementos proporcional ao tamanho dele.ExemploSuponha que, dos noventa alunos, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas. Para obter uma amostra proporcional estratificada de 10% da população, separamos os estratos: 10% de 54 meninos são 5,4, ou seja, 5 meninos; e 10% de 36 meninas são 3,6, ou seja, 4 meninas. A amostra terá 5 + 4 = 9 alunos, sorteados dentro de cada estrato.Amostragem sistemáticaQuando os elementos da população já estão ordenados, não é preciso construir uma lista para o sorteio. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua, os itens de uma linha de produção etc. Nesses casos, a seleção dos elementos da amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador: calcula-se o intervalo \(k = N/n\) (tamanho da população dividido pelo tamanho da amostra), sorteia-se um ponto de partida entre 1 e \(k\) e, a partir dele, retira-se um elemento a cada \(k\). A esse tipo de amostragem chamamos de sistemática.ExemploEm uma linha de produção, os funcionários podem retirar um item a cada dez produzidos para formar a amostra da produção diária. Nesse caso, o tamanho da amostra fica fixado em 10% da população.Uma população ordenada tem 600 elementos e queremos uma amostra sistemática de 40. Se o primeiro elemento sorteado foi o 7º, qual destes também estará na amostra?Gabarito: O 97º — o intervalo é k = 600/40 = 15, e a amostra é formada por 7, 22, 37, 52, 67, 82, 97... Um atalho: os escolhidos são os que deixam resto 7 na divisão por 15; 97 = 6 × 15 + 7, enquanto 50 deixa resto 5 e 120 e 315 deixam resto 0.Uma população tem 200 elementos divididos em três estratos de 40, 100 e 60. Numa amostra proporcional estratificada de 30 elementos, quantos saem do segundo estrato?Gabarito: 15 — a amostra corresponde a 30/200 = 15% da população, e 15% de 100 é 15. Os outros estratos dão 6 (15% de 40) e 9 (15% de 60), totalizando 30. Dividir 30 igualmente por três estratos (10) ignora a proporcionalidade.Exercícios1) Uma escola de ensino fundamental tem 124 alunos. Explique como obter uma amostra representativa correspondente a 15% da população.2) Em uma escola há 800 alunos de diferentes anos, e as turmas têm tamanhos diferentes. Explique como obter uma amostra de 100 alunos.3) Uma população está dividida em três estratos, com tamanhos, respectivamente, \(n_1 = 40\), \(n_2 = 100\) e \(n_3 = 60\). Sabendo que, numa amostragem estratificada proporcional, doze elementos da amostra foram retirados do 3º estrato, determine o número total de elementos da amostra.4) Mostre como seria possível retirar uma amostra de 32 elementos de uma população ordenada formada por 2.432 elementos. Na ordenação geral, qual dos seguintes elementos seria escolhido para pertencer à amostra, sabendo-se que o elemento de ordem 1.420 pertence a ela? 1.648º, 290º, 725º, 2.025º, 1.120º.Gabarito1) 15% de 124 são 18,6, ou seja, 19 alunos. Numeramos os alunos de 1 a 124 e sorteamos 19 números (amostragem aleatória simples).2) Como as turmas têm tamanhos diferentes, usamos amostragem proporcional estratificada, com cada turma como um estrato: 100/800 = 12,5%, então sorteamos 12,5% dos alunos de cada turma (arredondando de modo que o total dê 100).3) A amostra tem 40 elementos: 12 de 60 são 20% do 3º estrato, e 20% de 200 (40 + 100 + 60) são 40.4) O intervalo é 2.432/32 = 76: sorteia-se um ponto de partida entre 1 e 76 e retira-se um elemento a cada 76. O elemento 1.420 deixa resto 52 na divisão por 76, e o único da lista com o mesmo resto é o 1.648º (1.648 = 1.420 + 3 × 76), que pertence à amostra.
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