引言在上一课讨论库存成本时，我们遇到了一个两难问题：采购批量越大，订货成本越低，但库存持有成本越高；批量越小，情况则相反。解决这一问题的常见方法，是为每种物料计算一个最优采购量，即经济订货批量（LEC），英文为economic order quantity（EOQ）。经济订货批量是指每次采购后，能使库存总成本降至最低的采购数量。这一公式已有百余年历史：通常认为，Ford W. Harris 于 1913 年首次发表了它；后来，顾问 R. H. Wilson 将其推广到企业中，因此它也被称为威尔逊公式。如今，这一公式仍广泛应用于库存管理系统和 ERP 系统。模型的基本假设为了得到简明的公式，模型对库存的变化作了以下假设：已知全年需求量（D），且消耗速度恒定：每天出库的数量相同；每次补货的数量（Q）相同；补货在库存降至零的瞬间完成；不会缺货，所有需求都能得到满足；每次订货成本（Cp）和单位商品每年的库存持有成本（Cm）固定不变，单价也不随采购量变化（讨论批量折扣时，我们会放宽最后这一假设）。在这些假设下，库存水平会呈现典型的“锯齿形”：一批 Q 到货后，库存匀速下降至零；下一批 Q 随即到货，如此循环。如果日消耗量为 d，两次补货之间相隔 t，那么 Q = d × t。现实中，没有哪家企业的需求完全恒定，也不存在真正瞬时完成的交货。不过，这个模型仍然有用，因为总成本对数据误差并不敏感，下文会说明这一点。至于与现实差距较大的假设，本系列后续课程会进一步处理：交货时间和需求波动将纳入安全库存及再订货点的计算。经济订货批量公式如果全年需求量为 D，每批订货 Q 件，那么企业每年要下 D ÷ Q 次订单。由于每批到货后，库存从 Q 匀速降至零，平均库存量就是 Q ÷ 2。因此：年度订货成本 = (D ÷ Q) × Cp年度库存持有成本 = (Q ÷ 2) × CmCm 有两种表示方式，计算时要注意区分：按单位金额表示：“每件商品每年的库存持有成本为 R$ 2”→ Cm = R$ 2；按单价的一定比例表示：“年度库存持有成本率为 20%”，商品单价为 R$ 5 → Cm = 20% × 5 = 每件每年 R$ 1。库存成本是上述两项之和：库存成本 = (Q ÷ 2) × Cm + (D ÷ Q) × Cp批量越大，库存持有成本越高、订货成本越低；在经济订货批量处，总成本最低图中展示了 Q 变化时各项成本的走势：库存持有成本随批量线性上升，订货成本则不断下降，两者之和存在一个最低点。在这个模型中，最低点恰好是两项成本相等的位置：(Q ÷ 2) × Cm = (D ÷ Q) × Cp整理后，就得到经济订货批量公式：LEC = √(2 × D × Cp ÷ Cm)（熟悉求导的读者也可以验证：对成本函数关于 Q 求导，并令导数为零，会得到同一公式。）根据经济订货批量，还能算出两个常用指标：每年订货次数 = D ÷ LEC订货间隔 = LEC ÷ D（单位为年；乘以 365 或一年的工作日数，即可换算成天）。这一间隔是定期盘点订货制的基础，本系列其他课程会专门介绍。注意时间单位必须一致：D、Cp 和 Cm 都应采用相同的计算周期。如果需求量按月计算，而 Cm 按年计算，就要先换算其中一项。例题解析某企业采购面板零件，单价为 R$ 5,00。预计下一年消耗 4.000 件。每次向供应商订货的成本为 R$ 30,00，每件零件每年的库存持有成本为 R$ 1,50。求：a）经济订货批量；b）每年订货次数；c）采用经济订货批量时的总成本。a) LEC = √(2 × 4.000 × 30 ÷ 1,5) = √160.000 = 400 件b) 每年订货次数 = 4.000 ÷ 400 = 10 次（约每 36,5 天一次）c) 将采购成本与库存成本相加：CT = D × P + (Q ÷ 2) × Cm + (D ÷ Q) × Cp = 4.000 × 5 + 200 × 1,5 + 10 × 30 = 20.000 + 300 + 300 = R$ 20.600可以看到，采用经济订货批量时，库存持有成本（R$ 300）与订货成本（R$ 300）相等，符合模型的预测。计算完成后，也可以用这一点核对结果。某企业每年消耗一种商品 7.200 件。每次订货成本为 R$ 100，每件商品每年的库存持有成本为 R$ 4。按照经济订货批量，企业每年应订货多少次？答案：12 次——LEC = √(2 × 7.200 × 100 ÷ 4) = √360.000 = 600 件，因此每年订货次数为 7.200 ÷ 600 = 12。600 是每批订货量，不是订货次数。接近最优批量时，总成本变化不大一个常见的疑问是：“订货成本和库存持有成本都是估算值，算出的经济订货批量难免不准确。”确实如此，但在最低点附近，总成本曲线相当平缓。以下是上例采用不同批量时的库存成本：批量 Q订货成本 (D ÷ Q × 30)持有成本 (Q ÷ 2 × 1,5)库存成本高于最低值200R$ 600R$ 150R$ 750+25%300R$ 400R$ 225R$ 625+4%400 (LEC)R$ 300R$ 300R$ 600—500R$ 240R$ 375R$ 615+2,5%600R$ 200R$ 450R$ 650+8%800R$ 150R$ 600R$ 750+25%即使批量比最优值多或少 25%（采用 300 件或 500 件），成本也只增加 2,5% 至 4%。这带来两个实际好处：可以放心地将经济订货批量取整，调整为供应商按包装箱、托盘或其他整数倍销售的数量；经济订货批量对估算误差并不敏感：公式中含有平方根，因此即使估算的 Cp 是实际值的两倍，算出的批量也只会高出 41%（√2 ≈ 1,41），相应成本仅略高于最优值。某商品的全年需求量增加到原来的 4 倍，而每次订货成本和单位商品的库存持有成本不变。经济订货批量会怎样变化？答案：增加到 2 倍——需求量位于平方根内：√4 = 2。每年订货次数也增加到 2 倍（需求量变为 4 倍 ÷ 批量变为 2 倍）。只有当经济订货批量与需求量成正比时，它才会增加到 4 倍，但实际并非如此。有批量折扣时如何采购供应商常会对达到一定数量的订单提供折扣。这时，商品单价取决于订货批量，固定单价的假设不再成立。折扣会降低总成本中占比最大的采购成本，但要获得折扣，通常必须增加每批采购量，从而推高库存持有成本。这类问题有更复杂的计算公式，但最简单稳妥的方法是分别计算每个价格档位的总成本，计入采购成本，再选择总成本最低的方案：针对每个价格档位，使用该档位对应的 Cm 计算经济订货批量（如果 Cm 按单价比例计算，它也会随价格变化）。如果算出的经济订货批量低于该档位的最低采购量，就采用该档位的最低采购量（这是享受折扣所需的最小批量）；如果落在该档位内，则采用算出的经济订货批量。对每个候选批量计算总成本 CT = D × P + (Q ÷ 2) × Cm + (D ÷ Q) × Cp。选择总成本最低的方案。例题解析某企业采购一种商品用于转售，原价为每件 R$ 5,00。供应商的报价为：每批订购 1.000 至 1.999 件，单价 R$ 4,80；每批订购 2.000 件及以上，单价 R$ 4,75。每次订货成本为 R$ 49,00，年度库存持有成本率为 20%，预计年需求量为 5.000 件。每批订购多少件最划算？R$ 5,00 价格档位（Cm = 20% × 5 = R$ 1,00）：LEC = √(2 × 5.000 × 49 ÷ 1) = √490.000 = 700 件，处于该档位内。R$ 4,80 价格档位（Cm = R$ 0,96）：算出的 LEC 为 √(490.000 ÷ 0,96) ≈ 714，低于该档位的最低采购量 1.000，因此采用 Q = 1.000。R$ 4,75 价格档位（Cm = R$ 0,95）：算出的 LEC ≈ 718，低于该档位的最低采购量 2.000，因此采用 Q = 2.000。Q采购成本持有成本订货成本总成本700 件，单价 R$ 5,00R$ 25.000350 × 1,00 = R$ 3505.000 ÷ 700 × 49 = R$ 350R$ 25.7001.000 件，单价 R$ 4,80R$ 24.000500 × 0,96 = R$ 4805 × 49 = R$ 245R$ 24.7252.000 件，单价 R$ 4,75R$ 23.7501.000 × 0,95 = R$ 9502,5 × 49 = R$ 122,50R$ 24.822,50最划算的方案是每次采购1.000 件。虽然进一步享受折扣能让采购成本再降低 R$ 250，但所需的平均库存翻倍，增加的持有成本抵消了这笔节省。某商品的年需求量为 1.200 件，每次订货成本为 R$ 50，年度库存持有成本率为 20%。原价为 R$ 10；每批订购 500 件及以上时，单价降至 R$ 9,50。按原价计算的经济订货批量约为 245 件，总成本约为 R$ 12.490。企业应如何采购？答案：按 R$ 9,50 的单价采购 500 件，总成本为 R$ 11.995——采购成本为 1.200 × 9,50 = R$ 11.400；订货成本为 1.200 ÷ 500 × 50 = R$ 120；持有成本为 250 × 1,90 = R$ 475；合计 R$ 11.995，低于 R$ 12.490。不能以 R$ 9,50 的单价采购 251 件：不足 500 件无法享受折扣。模型的局限经济订货批量是决策的起点，不是必须照搬的规则。使用时，应注意以下与现实情况不符的地方：交货时间。模型假设下单后货物立即到达。实际上，交货需要时间，必须在库存耗尽前下单。相关内容见交货时间与安全库存课程。需求不确定。需求波动时，经济订货批量仍可用于确定每批订货量，但还需要设置安全库存以避免缺货。自行生产。如果商品由企业自行生产，并在生产过程中逐步入库、同时不断被消耗，就要使用考虑生产速率的变体——经济生产批量。场地和资金限制。仓库空间、商品保质期、供应商的最小包装数量和可用资金，都可能使计算出的批量无法执行。由于最优批量附近的成本变化不大，按这些限制调整批量，通常不会增加太多成本。练习题基础题1) （物流考试，CEFET/RJ，2018）Eletrônica Estrela 每年使用某种物料 3.000 件。每次订货成本为 R$ 60,00，每件物料每年的库存持有成本为 R$ 1,00。为使库存总成本最低，每批应订购多少件？2）一家贸易公司某商品的年需求量为15.000件。每件商品的年库存持有成本为R$ 0,80，每次订货成本为R$ 35,00。求经济订货批量。3）某商品的年需求量为2.400件，每次订货成本为R$ 75,00，每件商品的年库存持有成本为R$ 4,00。计算经济订货批量、每年订货次数，以及两次订货之间相隔的天数（一年按365天计算）。4）某商品单价为R$ 25,00，年库存持有成本率为20%，年需求量为5.000件，每次订货成本为R$ 40,00。经济订货批量是多少？5）一家公司将采购流程信息化后，每次订货成本降至原来的四分之一。需求量和库存持有成本不变。经济订货批量会如何变化？难题6）VendeMais公司的某产品年需求量为40.000件。每次采购订单的处理成本为R$ 30,00，每件产品的年库存持有成本为R$ 0,30。此外，该商品每年还有R$ 50,00的固定成本，不随订货批量变化。计算：a）每批订购2.500件时的年度库存总成本（不含采购成本）；b）经济订货批量。7）一家电子设备厂每年使用600块印刷电路板，每次订货成本为R$ 20,00。按平均库存量计算，每块电路板的年库存持有成本为R$ 0,10。此外，按最大库存量所需空间计算，每块电路板每年还需承担R$ 0,025的仓储成本。每块电路板的采购价为R$ 1,00。计算：a）经济订货批量；b）总成本（含采购成本）；c）每年订货次数。8）一家家电厂预计明年每月销售4.500台冰箱。每台冰箱需要一台压缩机，压缩机单价为R$ 18,00，按经济订货批量采购。每台压缩机的年库存持有成本为R$ 1,536，每次采购订单的处理成本为R$ 200,00。a）压缩机的经济订货批量是多少？b）每年需订货多少次？9）一家公司目前按经济订货批量采购。年需求量为1.800件，经济订货批量为600件，每件商品的年库存持有成本为R$ 2,50，每次订货成本为R$ 250,00。公司正考虑一项新方案：将商品直接送至生产线，每批交付100件，装在单价为R$ 35,00的集装箱中（这将成为每次交付的成本）。哪种方案对公司更有利？10）一家超市采购5 kg装的大米，预计每年销售25.000 kg。供应商只接受三种订货量：10.000 kg，每包R$ 7,00；15.000 kg，每包R$ 6,50；或20.000 kg，每包R$ 6,00。每次处理大米订单的成本为R$ 3.500,00，仓储和资金成本合计为商品价格的每年50%。超市应选择哪种订货量？参考答案1）LEC = √(2 × 3.000 × 60 ÷ 1) = √360.000 = 600件。2）LEC = √(2 × 15.000 × 35 ÷ 0,80) = √1.312.500 ≈ 1.146件。3）LEC = √(2 × 2.400 × 75 ÷ 4) = √90.000 = 300件。每年订货次数：2.400 ÷ 300 = 8次。订货间隔：365 ÷ 8 ≈ 45,6天（或按300 ÷ 2.400 = 0,125年 × 365计算）。4）先计算Cm：20% × 25 = 每件每年R$ 5,00。LEC = √(2 × 5.000 × 40 ÷ 5) = √80.000 ≈ 283件。5）经济订货批量减半。Cp位于根号内：如果它变为原来的1/4，LEC就变为原来的√(1/4) = 1/2。此后公司每批采购量更小，订货次数翻倍，平均库存量减半。6）a）订货成本：40.000 ÷ 2.500 = 16 × 30 = R$ 480；库存持有成本：2.500 ÷ 2 = 1.250 × 0,30 = R$ 375；固定成本R$ 50。合计R$ 905。b）LEC = √(2 × 40.000 × 30 ÷ 0,30) = √8.000.000 ≈ 2.828件。固定成本R$ 50不随订货批量变化，因此不计入公式。7）这里有两项库存相关成本：R$ 0,10按平均库存量（Q ÷ 2）计算，R$ 0,025按最大库存量（Q）计算。库存相关总成本为(Q ÷ 2) × 0,10 + Q × 0,025 + (600 ÷ Q) × 20，因此可在公式中使用Cm = 0,10 + 2 × 0,025 = 0,15。a）LEC = √(2 × 600 × 20 ÷ 0,15) = √160.000 = 400件。b）采购成本600 × 1,00 = R$ 600；库存持有成本200 × 0,10 = R$ 20；仓储成本400 × 0,025 = R$ 10；订货成本1,5 × 20 = R$ 30。合计R$ 660。c）600 ÷ 400 = 每年订货1,5次（每2年订货3次）。8）先计算年需求量：4.500 × 12 = 54.000台压缩机（Cm按年计算）。a）LEC = √(2 × 54.000 × 200 ÷ 1,536) = √14.062.500 = 3.750台压缩机。b）54.000 ÷ 3.750 = 每年订货14,4次。由于Cm已直接以货币金额给出，单价R$ 18,00不计入公式。9）现行方案：1.800 ÷ 600 = 3次订货 × 250 = R$ 750；库存持有成本600 ÷ 2 = 300 × 2,50 = R$ 750；每年R$ 1.500。新方案：1.800 ÷ 100 = 18次交付 × 35 = R$ 630；库存持有成本50 × 2,50 = R$ 125；每年R$ 755。每批交付100件是更有利的选择，成本比现行方案低了近一半。每次交付成本从R$ 250降至R$ 35后，最优批量也随之改变，公司可以大幅减少库存。10）按包装计算的年需求量：25.000 ÷ 5 = 5.000包。可选订货量为2.000、3.000和4.000包（分别为10、15和20千kg），各方案的Cm均为对应单价的50%：2.000包、单价R$ 7,00（Cm = 3,50）：5.000 × 7 = 35.000 + 2,5次订货 × 3.500 = 8.750 + 1.000 × 3,50 = 3.500；总成本R$ 47.250；3.000包、单价R$ 6,50（Cm = 3,25）：32.500 + 1,667 × 3.500 = 5.833,33 + 1.500 × 3,25 = 4.875；总成本R$ 43.208,33；4.000包、单价R$ 6,00（Cm = 3,00）：30.000 + 1,25 × 3.500 = 4.375 + 2.000 × 3,00 = 6.000；总成本R$ 40.375。每次订购4.000包（20.000 kg）的总成本最低。与原价相比，采购折扣每年可节省R$ 5.000，足以抵消增加的库存持有成本。
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