Previsão de demanda: média ponderada, suavização exponencial e mínimos quadrados

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Como prever a demanda dando mais peso ao recente, corrigindo pelo erro com a suavização exponencial e captando tendência com a reta dos mínimos quadrados.

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Introdução

Na aula anterior vimos os dois modelos de previsão mais simples: repetir o último período e tirar a média móvel dos últimos meses. Os dois têm o mesmo defeito: tratam o passado de forma "plana". O último período joga fora todo o histórico; a média móvel dá o mesmo peso ao mês de ontem e ao de um ano atrás, e por isso demora a perceber quando a demanda muda de patamar.

Nesta aula damos três passos adiante:

  • Média móvel ponderada: os meses recentes passam a pesar mais.
  • Suavização exponencial: uma forma esperta de ponderar todo o histórico usando só dois números.
  • Mínimos quadrados (regressão linear): o primeiro modelo que enxerga tendência, isto é, demanda que sobe ou desce de forma consistente.

No fim, veremos como comparar os métodos medindo o erro de cada um, porque nenhuma previsão é perfeita e a pergunta certa é sempre "qual erra menos para este produto?".

Média móvel ponderada

Na média móvel de 12 meses, cada mês recebe peso 1/12. Mas, na maioria dos negócios, o que aconteceu no mês passado diz mais sobre o próximo mês do que o que aconteceu há um ano. A média móvel ponderada resolve isso atribuindo a cada período um peso (W) proporcional à importância que damos a ele:

Previsão = Σ (Dᵢ × Wᵢ) ÷ Σ Wᵢ

onde Dᵢ é a demanda do período i e Wᵢ é o peso desse período. Se os pesos já somam 1 (por exemplo 0,5; 0,3; 0,2), basta somar os produtos.

Exemplo. Os três últimos meses tiveram consumo de 99, 100 e 102 unidades, e decidimos dar pesos 1, 2 e 3 (o mais recente pesa mais):

MêsConsumoPesoConsumo × peso
199199
21002200
31023306
Soma6605

Previsão do mês 4 = 605 ÷ 6 = 100,83 unidades. A média simples daria 100,33; a ponderada fica mais perto do valor recente (102) porque ele pesa metade do total.

A escolha dos pesos é uma decisão do gestor, normalmente feita por tentativa: testam-se alguns conjuntos de pesos no histórico e fica-se com o que erra menos (veja a última seção). Se os pesos forem todos iguais, a média ponderada vira a média móvel comum.

Uma loja vendeu 200, 260 e 300 unidades nos três últimos meses (do mais antigo ao mais recente). Usando pesos 0,2; 0,3 e 0,5, qual a previsão para o próximo mês?

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Gabarito: 268 unidades — 200 × 0,2 + 260 × 0,3 + 300 × 0,5 = 40 + 78 + 150 = 268. Como os pesos já somam 1, não é preciso dividir. 253,3 é a média simples, que ignora os pesos.

Suavização exponencial

A suavização exponencial (também chamada de alisamento exponencial ou, em inglês, exponential smoothing) é a técnica de previsão por séries temporais mais usada em sistemas de gestão de estoque. Ela é uma média ponderada em que os pesos caem exponencialmente à medida que voltamos no tempo, daí o nome. A fórmula é:

P(t+1) = α × D(t) + (1 − α) × P(t)

onde:

  • P(t+1) é a previsão para o próximo período;
  • D(t) é a demanda real do período que acabou de fechar;
  • P(t) é a previsão que tínhamos feito para esse mesmo período;
  • α (alfa) é a constante de suavização, um número entre 0 e 1.

Reorganizando os termos, a mesma fórmula fica mais intuitiva:

P(t+1) = P(t) + α × [D(t) − P(t)]

Ou seja: a nova previsão é a previsão antiga corrigida por uma fração α do erro que acabamos de cometer. Se vendemos mais do que o previsto, a previsão sobe; se vendemos menos, desce. O α diz o tamanho da correção.

Por que "exponencial"?

Se substituirmos P(t) pela sua própria fórmula, e depois P(t−1), e assim por diante, chegamos a:

P(t+1) = α × D(t) + α(1 − α) × D(t−1) + α(1 − α)² × D(t−2) + α(1 − α)³ × D(t−3) + ...

Cada demanda passada entra na previsão com um peso que é o anterior multiplicado por (1 − α). Todo o histórico participa, mas o passado distante vai sumindo. E o mais prático: para calcular a próxima previsão basta guardar dois números, a última previsão e a última demanda.

Peso de cada demanda passada na previsão, para três valores de α
Peso de cada demanda passada na previsão, para três valores de α

O gráfico mostra o efeito do α:

  • α pequeno (0,1 a 0,2): os pesos caem devagar, muitos períodos antigos ainda contam. A previsão é estável, ignora ruídos, mas demora a reagir a uma mudança real.
  • α grande (0,5 ou mais): quase todo o peso fica nos últimos dois ou três períodos. A previsão reage rápido, mas também "corre atrás" de cada oscilação aleatória.

Na prática, valores entre 0,1 e 0,3 são os mais comuns para demanda estável, e o melhor α para um produto se descobre testando vários no histórico e escolhendo o de menor erro.

Para começar a usar o método, precisamos de duas coisas: o valor do α e uma previsão inicial. Como ainda não há previsão anterior, é comum usar a primeira demanda observada, ou a média dos primeiros meses, como ponto de partida.

Exemplo

Uma empresa usa α = 0,30. A previsão para a semana 1 de julho era de 800 unidades e a demanda real foi de 850. Qual a previsão para a semana 2?

P(2) = 0,30 × 850 + 0,70 × 800 = 255 + 560 = 815 unidades

Pela forma do erro: erramos por 850 − 800 = 50 unidades para baixo; corrigimos 30% disso, 15 unidades. 800 + 15 = 815.

Um cuidado: a suavização simples não acompanha tendência

A suavização exponencial simples só sabe corrigir para perto do que já aconteceu. Se a demanda cresce todo mês, a previsão vai ficar sempre um passo atrás, errando para baixo de forma sistemática. Para séries com tendência existem variantes (o método de Holt, por exemplo, que suaviza também a inclinação), mas a ferramenta clássica e mais simples para tendência é a regressão linear, que vemos a seguir.

Uma empresa usa suavização exponencial com α = 0,2. A previsão para o último mês era de 1.000 unidades e a demanda real foi de 1.200. Qual a previsão para o próximo mês?

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Gabarito: 1.040 unidades — o erro foi de 1.200 − 1.000 = 200; corrigimos 20% dele: 1.000 + 0,2 × 200 = 1.040. 1.160 é o que sai trocando os papéis, dando peso 0,8 à demanda real, ou seja, usando α = 0,8.

Um produto tem demanda estável, mas com muito ruído aleatório de semana para semana. Qual valor de α tende a dar a previsão mais útil?

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Gabarito: α pequeno, como 0,1, para filtrar as oscilações aleatórias — com α pequeno a previsão dá peso a muitos períodos e não se deixa levar por uma semana atípica. α perto de 1 praticamente repete a última demanda, ou seja, copia o ruído.

Mínimos quadrados (regressão linear)

Todas as médias, simples, ponderadas ou exponenciais, têm uma tendência de "voltar para o meio". Veja o que acontece se a demanda cresce de 50 em 50 e insistimos em prever com a média dos três últimos meses (cada previsão entrando no lugar do dado real para prever o mês seguinte):

MêsConsumo
150 (real)
2100 (real)
3150 (real)
4100,00
5116,67
6122,22
7112,96
8117,28
9117,49
10115,91
11116,90
12116,77

A projeção estaciona em torno de 116 a 117, apesar de os dados mostrarem um crescimento de 50 unidades por mês. A média simplesmente não tem como "saber" que existe uma tendência.

Para incluir a tendência, ajustamos uma reta aos dados históricos:

Y = b + a × X

onde:

  • X é o período (1, 2, 3, ...);
  • Y é a demanda prevista para aquele período;
  • a é o coeficiente angular, a inclinação: quanto a demanda cresce (a positivo) ou cai (a negativo) a cada período;
  • b é o coeficiente linear, onde a reta corta o eixo vertical.

Entre todas as retas possíveis, o método dos mínimos quadrados escolhe aquela que torna mínima a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais e os valores da reta. Elevar ao quadrado impede que erros para cima e para baixo se cancelem e pune mais os erros grandes. As fórmulas que resultam disso são:

a = [N × ΣXY − ΣX × ΣY] ÷ [N × ΣX² − (ΣX)²]

b = [ΣY − a × ΣX] ÷ N

onde N é o número de períodos do histórico. Calcula-se primeiro o a, depois o b.

Exemplo resolvido

A empresa Beta, que fabrica as peças HR, vendeu neste ano: janeiro 2.400; fevereiro 2.100; março 2.550; abril 2.700; maio 2.750; junho 2.800; julho 3.000. Qual a previsão para agosto usando a reta de tendência?

Montamos a tabela com as colunas de que as fórmulas precisam:

MêsXY (demanda)X²X × Y
Janeiro12.40012.400
Fevereiro22.10044.200
Março32.55097.650
Abril42.7001610.800
Maio52.7502513.750
Junho62.8003616.800
Julho73.0004921.000
Soma2818.30014076.600

Com N = 7:

a = [7 × 76.600 − 28 × 18.300] ÷ [7 × 140 − 28²] = [536.200 − 512.400] ÷ [980 − 784] = 23.800 ÷ 196 = 121,43

b = [18.300 − 121,43 × 28] ÷ 7 = [18.300 − 3.400] ÷ 7 = 2.128,57

A reta é Y = 2.128,57 + 121,43 × X. As vendas crescem, em média, cerca de 121 peças por mês. Para agosto, X = 8:

Y = 2.128,57 + 121,43 × 8 = 3.100 peças

A reta dos mínimos quadrados acompanha a alta das vendas; a média simples fica para trás
A reta dos mínimos quadrados acompanha a alta das vendas; a média simples fica para trás

Repare no gráfico: a média simples dos sete meses (2.614) estaria quase 500 peças abaixo da previsão por tendência. Se a alta for real, uma empresa que usasse a média ficaria sem estoque.

Dois cuidados com a regressão:

  • Ela supõe que a tendência continua. Projetar muitos períodos à frente é arriscado: nenhuma venda cresce em linha reta para sempre. Use para horizontes curtos e reveja a reta a cada novo dado.
  • Ela não enxerga sazonalidade. Se o produto tem picos em certos meses, combine a tendência com o índice de sazonalidade visto na aula anterior: projete a tendência e multiplique pelo índice do mês.

Em planilha, não é preciso montar a tabela à mão: no Excel ou no LibreOffice, as funções INCLINAÇÃO e INTERCEPÇÃO devolvem o a e o b, e a função PREVISÃO (ou PREVISÃO.LINEAR) já calcula o Y de um X qualquer. Vale fazer uma vez à mão para entender de onde os números vêm.

As vendas de um produto nos três últimos meses foram 100, 120 e 140. Usando a reta dos mínimos quadrados com X = 1, 2 e 3, qual a previsão para o mês 4?

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Gabarito: 160 — os dados já estão em linha reta: ΣX = 6, ΣY = 360, ΣXY = 100 + 240 + 420 = 760, ΣX² = 14. a = (3 × 760 − 6 × 360) ÷ (3 × 14 − 36) = 120 ÷ 6 = 20 e b = (360 − 20 × 6) ÷ 3 = 80. Y = 80 + 20 × 4 = 160. 120 é a média simples, justamente o erro que a regressão corrige.

Como escolher o método: medindo o erro

Todo sistema de previsão precisa de um procedimento para medir os desvios entre o previsto e o real. A medida mais simples é o desvio médio absoluto (MAD, do inglês mean absolute deviation): a média dos erros sem sinal.

MAD = Σ |demanda real − previsão| ÷ número de períodos

Aplicando a suavização exponencial às vendas da Beta (começando com a previsão de fevereiro igual à venda de janeiro, 2.400), o MAD de cada α fica assim:

MétodoMAD (fev a jul)
Suavização, α = 0,1331 peças
Suavização, α = 0,3290 peças
Suavização, α = 0,5254 peças
Suavização, α = 0,8216 peças
Reta dos mínimos quadrados (jan a jul)94 peças

Duas lições saem dessa tabela. Primeiro, como a série da Beta tem tendência de alta, a suavização simples erra muito e quanto maior o α menos ela erra, porque fica menos atrasada. Segundo, a reta erra bem menos, o que confirma que o modelo com tendência é o adequado. (Uma ressalva honesta: o MAD da reta foi medido nos mesmos dados usados para ajustá-la, o que favorece a reta. O teste mais justo é ajustar com parte do histórico e medir o erro nos meses seguintes.)

O MAD também é a ponte para a aula sobre estoque de segurança: quanto maior o erro típico da previsão, mais estoque extra é preciso para não faltar produto.

Um analista testou dois métodos no mesmo histórico de 12 meses: a média móvel de 3 meses teve MAD de 40 unidades e a suavização exponencial com α = 0,2 teve MAD de 25 unidades. O que ele deve concluir?

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Gabarito: A suavização com α = 0,2 é a mais indicada para esse produto, porque erra menos em média — o MAD serve justamente para comparar métodos no mesmo histórico, e o de menor desvio médio é o preferido. Toda previsão erra; o que se busca é o método que erra menos.

Exercícios

Fáceis

1) A demanda de longo prazo de um produto é relativamente estável e a constante de suavização exponencial de 0,30 é considerada satisfatória. A previsão para o período anterior foi de 1.100 unidades, mas a demanda real foi de 1.000 unidades. Qual a previsão para este período?

2) (Prova de Logística, CEFET/RJ, 2018) Uma empresa usa suavização exponencial com α = 0,30. A previsão para a semana 1 de julho foi de 800 unidades e a demanda real foi de 850 unidades. Determine a previsão para a semana 2 de julho.

3) A Vitória adota suavização exponencial com α = 0,8. A previsão para o mês 1 foi de 1.800 unidades e a demanda real foi de 1.500 unidades. Qual a previsão para o mês 2?

4) (Prova de Logística, CEFET/RJ, 2018) A previsão antiga é de 820 unidades e a última demanda real foi de 750 unidades. Qual a previsão por suavização exponencial para o próximo período, com α = 0,2?

5) Com os valores da média ponderada da primeira seção (99, 100 e 102), calcule a previsão do mês 4 usando os pesos 0,2; 0,3 e 0,5 e compare com o resultado dos pesos 1, 2 e 3.

Difíceis

6) Uma linha de eletrodomésticos vendeu nos últimos 7 meses as quantidades de caixas abaixo. Faça a previsão de vendas para agosto, setembro e outubro usando a reta dos mínimos quadrados.

MêsCaixas
Janeiro100
Fevereiro110
Março125
Abril135
Maio140
Junho153
Julho167

7) Uma empresa precisa prever as vendas de um produto sazonal e coletou o consumo dos últimos 4 anos por trimestre. Quanto deve ser consumido em cada trimestre do ano 5, sabendo que o total previsto para o ano é de 3.000 unidades? (Use os índices de sazonalidade da aula anterior.)

TrimestreAno 1Ano 2Ano 3Ano 4
1150180230210
2340420510650
3190260350390
4410700750980

8) Uma empresa usa suavização exponencial com α = 0,1 para prever a demanda semanal de caixas de latas de cerveja. Na primeira semana de fevereiro, a previsão era de 500 caixas, e a demanda real fechou em 450.
a) Qual a previsão para a segunda semana de fevereiro?
b) Se a demanda real da segunda semana foi de 515 caixas, qual a previsão para a terceira semana?

9) Refaça o exercício 8 com α = 0,15 e compare os resultados.

10) A demanda mensal de um produto nos últimos 7 meses foi: 40, 44, 43, 48, 50, 53 e 55.
a) Calcule as previsões dos meses 4 a 7 por média móvel simples de 3 meses e por média móvel ponderada de 3 meses com pesos 0,2; 0,3 e 0,5 (o mais recente pesa 0,5).
b) Calcule o MAD de cada método nesses quatro meses. Qual erra menos?
c) Calcule a previsão do mês 8 pelos dois métodos e pela reta dos mínimos quadrados ajustada aos 7 meses.
d) Olhando os erros do item a, que defeito os dois métodos de média têm nesta série, e qual das três previsões do item c você usaria?

Gabarito

1) P = α × D + (1 − α) × P anterior = 0,3 × 1.000 + 0,7 × 1.100 = 300 + 770 = 1.070 unidades. Pela forma do erro: erramos 1.000 − 1.100 = −100; corrigimos 30% disso: 1.100 − 30 = 1.070.

2) 0,3 × 850 + 0,7 × 800 = 255 + 560 = 815 unidades.

3) 0,8 × 1.500 + 0,2 × 1.800 = 1.200 + 360 = 1.560 unidades. Com α alto, a previsão fica perto da última demanda.

4) 0,2 × 750 + 0,8 × 820 = 150 + 656 = 806 unidades.

5) 99 × 0,2 + 100 × 0,3 + 102 × 0,5 = 19,8 + 30 + 51 = 100,8. Praticamente o mesmo resultado (100,83), porque os pesos 1, 2 e 3 divididos pela soma 6 dão 0,17; 0,33 e 0,5, bem próximos.

6) Com X = 1 (janeiro) a 7 (julho) e N = 7: ΣX = 28; ΣY = 930; ΣX² = 140; ΣXY = 100 + 220 + 375 + 540 + 700 + 918 + 1.169 = 4.022.
a = (7 × 4.022 − 28 × 930) ÷ (7 × 140 − 28²) = (28.154 − 26.040) ÷ (980 − 784) = 2.114 ÷ 196 = 10,79.
b = (930 − 10,786 × 28) ÷ 7 = (930 − 302) ÷ 7 = 89,71.
A reta é Y = 89,71 + 10,79 × X. Agosto (X = 8): 89,71 + 10,79 × 8 = 176 caixas; setembro (X = 9): 187 caixas; outubro (X = 10): 198 caixas.

7) Primeiro, a participação de cada trimestre no total de cada ano (totais: ano 1 = 1.090; ano 2 = 1.560; ano 3 = 1.840; ano 4 = 2.230). Por exemplo, trimestre 1 no ano 1: 150 ÷ 1.090 = 13,8%.

TrimestreAno 1Ano 2Ano 3Ano 4Média
113,8%11,5%12,5%9,4%11,8%
231,2%26,9%27,7%29,1%28,7%
317,4%16,7%19,0%17,5%17,7%
437,6%44,9%40,8%43,9%41,8%

A participação média vezes 4 é o índice de sazonalidade (por exemplo, 11,8% × 4 = 0,47 no trimestre 1), e aplicar a participação ao total do ano dá o mesmo que aplicar o índice à média trimestral (3.000 ÷ 4 = 750). Previsões: 1º trimestre ≈ 3.000 × 11,8% ≈ 354; 2º ≈ 862; 3º ≈ 530; 4º ≈ 1.254. (Se, em vez disso, somarmos os 4 anos de cada trimestre e dividirmos pelo total geral de 6.720, o resultado muda pouco: 344, 857, 531 e 1.268.)

8) a) 0,1 × 450 + 0,9 × 500 = 45 + 450 = 495 caixas.
b) 0,1 × 515 + 0,9 × 495 = 51,5 + 445,5 = 497 caixas.

9) a) 0,15 × 450 + 0,85 × 500 = 67,5 + 425 = 492,5, ou seja, cerca de 493 caixas.
b) 0,15 × 515 + 0,85 × 492,5 = 77,25 + 418,6 = 495,9, ou seja, cerca de 496 caixas.
Com α maior a previsão reage mais: cai mais na semana 2 (492,5 contra 495) e, como partiu de mais baixo, ainda fica um pouco abaixo na semana 3 (495,9 contra 497), embora tenha subido mais (3,4 caixas contra 2).

10) a) e b)

MêsRealMédia móvel 3ErroPonderada 0,2/0,3/0,5Erro
448(40 + 44 + 43) ÷ 3 = 42,33+5,670,2 × 40 + 0,3 × 44 + 0,5 × 43 = 42,7+5,3
550(44 + 43 + 48) ÷ 3 = 45,00+5,000,2 × 44 + 0,3 × 43 + 0,5 × 48 = 45,7+4,3
653(43 + 48 + 50) ÷ 3 = 47,00+6,000,2 × 43 + 0,3 × 48 + 0,5 × 50 = 48,0+5,0
755(48 + 50 + 53) ÷ 3 = 50,33+4,670,2 × 48 + 0,3 × 50 + 0,5 × 53 = 51,1+3,9
MAD21,33 ÷ 4 = 5,3318,5 ÷ 4 = 4,63

A ponderada erra menos (MAD 4,63 contra 5,33), porque dá mais peso ao mês mais recente.
c) Média móvel 3: (50 + 53 + 55) ÷ 3 = 52,67. Ponderada: 0,2 × 50 + 0,3 × 53 + 0,5 × 55 = 10 + 15,9 + 27,5 = 53,4. Reta: com X = 1 a 7, ΣX = 28, ΣY = 333, ΣX² = 140, ΣXY = 1.402; a = (7 × 1.402 − 28 × 333) ÷ (7 × 140 − 28²) = (9.814 − 9.324) ÷ 196 = 490 ÷ 196 = 2,5; b = (333 − 2,5 × 28) ÷ 7 = 263 ÷ 7 = 37,57; Y(8) = 37,57 + 2,5 × 8 = 57,57.
d) Todos os erros das duas médias são positivos: elas preveem sempre abaixo do real, o atraso típico das médias diante de uma tendência de alta (a demanda cresce cerca de 2,5 por mês). A ponderada reduz o atraso, mas não o elimina. Para o mês 8, a previsão mais coerente com os dados é a da reta, cerca de 58 unidades.

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