Lote econômico de compra (LEC): quanto comprar de cada vez

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A fórmula do lote econômico de compra, de onde ela vem, por que tolera erros nos dados e como decidir quando o fornecedor oferece desconto por quantidade.

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Introdução

Na aula sobre custos de estoque vimos o conflito: lotes grandes reduzem o custo de pedido, mas aumentam o custo de manutenção; lotes pequenos fazem o contrário. Uma das técnicas mais conhecidas para resolver esse conflito é calcular uma quantidade ideal de compra para cada item: o lote econômico de compra (LEC), em inglês economic order quantity (EOQ).

O LEC é a quantidade que, comprada de cada vez, torna mínimo o custo total do estoque. A fórmula é antiga: costuma ser atribuída a Ford W. Harris, que a publicou em 1913, e ficou conhecida também como fórmula de Wilson, por causa de R. H. Wilson, consultor que a difundiu nas empresas. Mais de cem anos depois, ela continua embutida nos sistemas de gestão de estoque e nos ERPs.

As hipóteses do modelo

Para chegar a uma fórmula simples, o modelo faz algumas suposições sobre o comportamento do estoque:

  • a demanda anual (D) é conhecida e o consumo é constante: sai do estoque sempre a mesma quantidade por dia;
  • o estoque é sempre reposto pela mesma quantidade (Q);
  • a reposição é instantânea e acontece exatamente quando o estoque chega a zero;
  • não há falta: toda a demanda é atendida;
  • o custo de cada pedido (Cp) e o custo de manutenção por unidade por ano (Cm) são fixos, e o preço não muda com a quantidade comprada (essa última hipótese será relaxada na seção sobre descontos).

Com essas hipóteses, o estoque desenha o famoso "dente de serra": chega um lote Q, o estoque cai em linha reta até zero, chega outro lote Q, e assim por diante. Se o consumo diário é d e o tempo entre duas reposições é t, então Q = d × t.

Nenhuma empresa real tem demanda perfeitamente constante nem entrega instantânea. Mesmo assim, o modelo é útil porque o custo total é pouco sensível a erros nos dados, como veremos adiante. E as hipóteses mais irreais são corrigidas nas aulas seguintes: o tempo de entrega e a incerteza da demanda entram no estoque de segurança e no ponto de pedido.

A fórmula do lote econômico

Para atender a uma demanda anual D com lotes de Q unidades, a empresa faz D ÷ Q pedidos por ano. E, como o estoque vai de Q até zero em linha reta, o estoque médio é Q ÷ 2. Então:

Custo anual de pedidos = (D ÷ Q) × Cp

Custo anual de manutenção = (Q ÷ 2) × Cm

O Cm pode ser dado de duas formas, e é preciso estar atento:

  • como valor por unidade: "manter uma unidade custa R$ 2 por ano" → Cm = R$ 2;
  • como taxa sobre o preço: "o custo de manutenção é 20% ao ano" e o item custa R$ 5 → Cm = 20% × 5 = R$ 1 por unidade por ano.

O custo do estoque é a soma das duas parcelas:

Custo de estoque = (Q ÷ 2) × Cm + (D ÷ Q) × Cp

Custo de manutenção sobe com o lote, custo de pedidos cai, e o total é mínimo no LEC
Custo de manutenção sobe com o lote, custo de pedidos cai, e o total é mínimo no LEC

O gráfico mostra o que acontece quando variamos Q: a reta de manutenção sobe, a curva de pedidos desce, e a soma tem um ponto mais baixo. Nesse modelo, o mínimo acontece exatamente onde as duas parcelas são iguais:

(Q ÷ 2) × Cm = (D ÷ Q) × Cp

Isolando Q, chegamos à fórmula do lote econômico:

LEC = √(2 × D × Cp ÷ Cm)

(Quem conhece derivada pode conferir: derivando o custo em relação a Q e igualando a zero, chega-se à mesma expressão.)

Duas grandezas derivadas do LEC aparecem sempre junto:

  • Número de pedidos por ano = D ÷ LEC
  • Intervalo entre pedidos = LEC ÷ D (em anos; multiplique por 365, ou pelos dias úteis, para ter em dias). Esse intervalo é a base do sistema de revisão periódica, assunto de outra aula da série.

Cuidado com as unidades: D, Cp e Cm têm de estar no mesmo período. Se a demanda é mensal e o Cm é anual, converta um deles antes.

Exemplo resolvido

Uma empresa compra peças de painéis por R$ 5,00 a unidade. O consumo previsto é de 4.000 unidades no próximo ano. Fazer um pedido ao fornecedor custa R$ 30,00, e manter uma peça em estoque custa R$ 1,50 por ano. Determine: a) o lote econômico; b) quantos pedidos por ano; c) o custo total associado ao lote econômico.

a) LEC = √(2 × 4.000 × 30 ÷ 1,5) = √160.000 = 400 unidades

b) Número de pedidos = 4.000 ÷ 400 = 10 pedidos por ano (um a cada 36,5 dias, aproximadamente)

c) Somando o custo de aquisição aos custos de estoque:

CT = D × P + (Q ÷ 2) × Cm + (D ÷ Q) × Cp = 4.000 × 5 + 200 × 1,5 + 10 × 30 = 20.000 + 300 + 300 = R$ 20.600

Repare que, no LEC, o custo de manutenção (R$ 300) é igual ao custo de pedidos (R$ 300), como a teoria prevê. Essa igualdade é um bom teste para conferir as contas.

Uma empresa consome 7.200 unidades por ano de um item. Cada pedido custa R$ 100 e manter uma unidade em estoque custa R$ 4 por ano. Quantos pedidos por ano ela deve fazer, seguindo o lote econômico?

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Gabarito: 12 pedidos — LEC = √(2 × 7.200 × 100 ÷ 4) = √360.000 = 600 unidades, e 7.200 ÷ 600 = 12 pedidos por ano. 600 é o tamanho do lote, não o número de pedidos.

O custo total é achatado perto do LEC

Uma objeção comum é: "os custos de pedido e de manutenção são estimativas, então o LEC está errado". Ele está, um pouco. Mas a curva de custo total é muito achatada perto do mínimo. Veja os custos de estoque do exemplo anterior para outros tamanhos de lote:

Lote QPedidos (D ÷ Q × 30)Manutenção (Q ÷ 2 × 1,5)Custo de estoqueAcima do mínimo
200R$ 600R$ 150R$ 750+25%
300R$ 400R$ 225R$ 625+4%
400 (LEC)R$ 300R$ 300R$ 600—
500R$ 240R$ 375R$ 615+2,5%
600R$ 200R$ 450R$ 650+8%
800R$ 150R$ 600R$ 750+25%

Errar o lote em 25% para mais ou para menos (300 ou 500) aumenta o custo em apenas 2,5% a 4%. Isso tem duas consequências práticas:

  • pode-se arredondar o LEC para a embalagem, o palete ou o múltiplo que o fornecedor vende sem medo;
  • o LEC é robusto a erros de estimativa: como a fórmula usa raiz quadrada, se o Cp estimado estiver o dobro do real, o lote calculado fica só 41% maior (√2 ≈ 1,41), e o custo, pouco acima do ótimo.

A demanda anual de um item quadruplicou, e os custos de pedido e de manutenção por unidade não mudaram. O que acontece com o lote econômico?

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Gabarito: Dobra — a demanda está dentro da raiz quadrada: √4 = 2. O número de pedidos por ano também dobra (4 vezes a demanda ÷ 2 vezes o lote). Quadruplicar seria o resultado se o LEC fosse proporcional à demanda, o que não é.

Compras com descontos por quantidade

Muitas vezes o fornecedor oferece desconto para pedidos acima de uma quantidade mínima. Aí o preço passa a depender do lote, e a hipótese de preço fixo cai. O desconto reduz o custo de aquisição, que é a maior parcela do custo total, mas obriga a comprar lotes maiores, o que aumenta o custo de manutenção.

Existem fórmulas sofisticadas para esse caso, mas o caminho mais simples e seguro é calcular o custo total, incluindo o custo de aquisição, para cada faixa de preço e escolher o menor:

  1. Para cada faixa de preço, calcule o LEC usando o Cm daquele preço (quando o Cm é uma taxa, ele muda com o preço).
  2. Se o LEC calculado cair abaixo da quantidade mínima da faixa, use a quantidade mínima da faixa (é a menor compra que dá direito ao desconto). Se cair dentro da faixa, use o próprio LEC.
  3. Calcule o custo total CT = D × P + (Q ÷ 2) × Cm + (D ÷ Q) × Cp para cada candidato.
  4. Escolha o de menor custo total.

Exemplo resolvido

Uma empresa compra um produto para revenda por R$ 5,00 a unidade. O fornecedor ofereceu uma tabela: pedidos de 1.000 a 1.999 unidades saem a R$ 4,80; pedidos de 2.000 unidades ou mais, a R$ 4,75. Cada pedido custa R$ 49,00, o custo de manutenção é de 20% ao ano e a demanda prevista é de 5.000 unidades por ano. Qual a quantidade mais econômica?

Faixa de R$ 5,00 (Cm = 20% × 5 = R$ 1,00): LEC = √(2 × 5.000 × 49 ÷ 1) = √490.000 = 700 unidades, dentro da faixa.

Faixa de R$ 4,80 (Cm = R$ 0,96): o LEC seria √(490.000 ÷ 0,96) ≈ 714, abaixo do mínimo de 1.000. Usamos Q = 1.000.

Faixa de R$ 4,75 (Cm = R$ 0,95): o LEC seria ≈ 718, abaixo do mínimo de 2.000. Usamos Q = 2.000.

QAquisiçãoManutençãoPedidosCusto total
700 a R$ 5,00R$ 25.000350 × 1,00 = R$ 3505.000 ÷ 700 × 49 = R$ 350R$ 25.700
1.000 a R$ 4,80R$ 24.000500 × 0,96 = R$ 4805 × 49 = R$ 245R$ 24.725
2.000 a R$ 4,75R$ 23.7501.000 × 0,95 = R$ 9502,5 × 49 = R$ 122,50R$ 24.822,50

A melhor opção é comprar 1.000 unidades por pedido. O segundo desconto até reduz a aquisição em mais R$ 250, mas obriga a manter o dobro de estoque, e a manutenção extra come essa economia.

Um item tem demanda de 1.200 unidades por ano, custo de pedido de R$ 50 e custo de manutenção de 20% ao ano. O preço é R$ 10, mas cai para R$ 9,50 em pedidos de 500 unidades ou mais. O LEC ao preço cheio é de cerca de 245 unidades, com custo total de cerca de R$ 12.490. O que a empresa deve fazer?

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Gabarito: Comprar 500 unidades a R$ 9,50, com custo total de R$ 11.995 — aquisição 1.200 × 9,50 = R$ 11.400; pedidos 1.200 ÷ 500 × 50 = R$ 120; manutenção 250 × 1,90 = R$ 475; total R$ 11.995, menor que R$ 12.490. Comprar 251 a R$ 9,50 não é possível: abaixo de 500 unidades não há desconto.

Limites do modelo

O LEC é um ponto de partida, não uma lei. Fique atento a quando ele se afasta da realidade:

  • Tempo de entrega. O modelo supõe que o lote chega no instante do pedido. Na prática há um lead time, e o pedido precisa sair antes de o estoque acabar. Veja a aula sobre lead time e estoque de segurança.
  • Demanda incerta. Com demanda variável, o LEC continua servindo para o tamanho do lote, mas é preciso um estoque de segurança para não faltar.
  • Produção própria. Quando o item é fabricado internamente e entra no estoque aos poucos, enquanto é consumido, usa-se uma variação chamada lote econômico de produção, que leva em conta a taxa de produção.
  • Restrições físicas e financeiras. Espaço de armazém, validade do produto, embalagem mínima do fornecedor e caixa disponível podem impedir o lote calculado. Como o custo é achatado perto do ótimo, ajustar o lote a essas restrições costuma custar pouco.

Exercícios

Fáceis

1) (Prova de Logística, CEFET/RJ, 2018) A Eletrônica Estrela usa 3.000 unidades de um item por ano. O custo de pedir é de R$ 60,00 por pedido e o custo de manter cada unidade em estoque é de R$ 1,00 por ano. Para minimizar o custo total do estoque, de quantas unidades deve ser cada pedido?

2) A demanda anual de um item de uma empresa comercial é de 15.000 unidades. O custo de manutenção é de R$ 0,80 por unidade por ano e o custo de pedido é de R$ 35,00. Determine o lote econômico de compra.

3) Um item tem demanda de 2.400 unidades por ano, custo de pedido de R$ 75,00 e custo de manutenção de R$ 4,00 por unidade por ano. Calcule o lote econômico, o número de pedidos por ano e o intervalo entre pedidos em dias (ano de 365 dias).

4) Um item custa R$ 25,00, a taxa de manutenção é de 20% ao ano, a demanda é de 5.000 unidades por ano e cada pedido custa R$ 40,00. Qual o lote econômico?

5) Uma empresa informatizou as compras e o custo de cada pedido caiu para um quarto do que era. Demanda e custo de manutenção não mudaram. O que acontece com o lote econômico?

Difíceis

6) A empresa VendeMais vende um produto com demanda anual de 40.000 unidades. O custo de emissão de um pedido de compra é de R$ 30,00. O custo anual de manutenção é de R$ 0,30 por unidade. Além disso, há custos fixos de R$ 50,00 por ano para esse item, que não dependem do lote. Calcule:
a) o custo total de manter os estoques com lotes de 2.500 unidades (sem o custo de aquisição);
b) o lote econômico de compra.

7) Uma fábrica de equipamentos eletrônicos usa 600 painéis de circuito impresso por ano, com custo de R$ 20,00 por pedido. O custo de manutenção é de R$ 0,10 por unidade por ano, calculado sobre o estoque médio. Há ainda um custo de armazenagem de R$ 0,025 por unidade por ano, calculado sobre o espaço para o estoque máximo. Cada painel custa R$ 1,00. Calcule:
a) o lote econômico;
b) o custo total (incluindo a aquisição);
c) quantos pedidos serão feitos por ano.

8) Uma fábrica de eletrodomésticos projeta vender 4.500 geladeiras por mês no próximo ano. Cada geladeira usa um compressor comprado por R$ 18,00 a unidade, segundo o lote econômico. Manter um compressor em estoque custa R$ 1,536 por ano e emitir uma ordem de compra custa R$ 200,00.
a) Qual o tamanho do lote de compressores?
b) Quantas encomendas serão feitas por ano?

9) Uma empresa compra pelo lote econômico. A demanda anual é de 1.800 unidades, o lote econômico é de 600 unidades, o custo de manutenção é de R$ 2,50 por unidade por ano e o custo de pedido é de R$ 250,00. Está sendo estudada uma nova política: entregas diretamente na linha de produção, em lotes de 100 unidades acondicionados em contêineres que custam R$ 35,00 cada (esse passa a ser o custo de cada entrega). Qual a melhor opção para a empresa?

10) Um supermercado compra arroz em embalagens de 5 kg e estima vender 25.000 kg por ano. O fornecedor só aceita pedidos de três tamanhos: 10.000 kg, a R$ 7,00 a embalagem; 15.000 kg, a R$ 6,50 a embalagem; ou 20.000 kg, a R$ 6,00 a embalagem. Processar uma encomenda de arroz custa R$ 3.500,00, e os custos de armazenagem e de capital somam 50% ao ano sobre o preço. Qual tamanho de pedido o supermercado deve escolher?

Gabarito

1) LEC = √(2 × 3.000 × 60 ÷ 1) = √360.000 = 600 unidades.

2) LEC = √(2 × 15.000 × 35 ÷ 0,80) = √1.312.500 ≈ 1.146 unidades.

3) LEC = √(2 × 2.400 × 75 ÷ 4) = √90.000 = 300 unidades. Pedidos por ano: 2.400 ÷ 300 = 8. Intervalo: 365 ÷ 8 ≈ 45,6 dias (ou 300 ÷ 2.400 = 0,125 ano × 365).

4) Primeiro o Cm: 20% × 25 = R$ 5,00 por unidade por ano. LEC = √(2 × 5.000 × 40 ÷ 5) = √80.000 ≈ 283 unidades.

5) O lote econômico cai pela metade. O Cp está dentro da raiz: se ele é multiplicado por 1/4, o LEC é multiplicado por √(1/4) = 1/2. A empresa passa a comprar lotes menores, com o dobro de pedidos e metade do estoque médio.

6) a) Pedidos: 40.000 ÷ 2.500 = 16 × 30 = R$ 480; manutenção: 2.500 ÷ 2 = 1.250 × 0,30 = R$ 375; custos fixos R$ 50. Total R$ 905.
b) LEC = √(2 × 40.000 × 30 ÷ 0,30) = √8.000.000 ≈ 2.828 unidades. Os R$ 50 fixos não entram na fórmula, porque não mudam com o lote.

7) Aqui há dois custos de manutenção: R$ 0,10 sobre o estoque médio (Q ÷ 2) e R$ 0,025 sobre o estoque máximo (Q). O custo de estoque é (Q ÷ 2) × 0,10 + Q × 0,025 + (600 ÷ Q) × 20, que equivale a usar Cm = 0,10 + 2 × 0,025 = 0,15 na fórmula.
a) LEC = √(2 × 600 × 20 ÷ 0,15) = √160.000 = 400 unidades.
b) Aquisição 600 × 1,00 = R$ 600; manutenção 200 × 0,10 = R$ 20; armazenagem 400 × 0,025 = R$ 10; pedidos 1,5 × 20 = R$ 30. Total R$ 660.
c) 600 ÷ 400 = 1,5 pedido por ano (3 pedidos a cada 2 anos).

8) Primeiro a demanda anual: 4.500 × 12 = 54.000 compressores (o Cm é anual).
a) LEC = √(2 × 54.000 × 200 ÷ 1,536) = √14.062.500 = 3.750 compressores.
b) 54.000 ÷ 3.750 = 14,4 encomendas por ano.
O preço de R$ 18,00 não entra na fórmula, porque o Cm já foi dado em reais.

9) Política atual: 1.800 ÷ 600 = 3 pedidos × 250 = R$ 750; manutenção 600 ÷ 2 = 300 × 2,50 = R$ 750; R$ 1.500 por ano.
Nova política: 1.800 ÷ 100 = 18 entregas × 35 = R$ 630; manutenção 50 × 2,50 = R$ 125; R$ 755 por ano.
Entregar em lotes de 100 unidades é a melhor opção, quase metade do custo. Reduzir o custo de cada entrega de R$ 250 para R$ 35 muda o lote ideal, e por isso a empresa pode trabalhar com muito menos estoque.

10) Demanda em embalagens: 25.000 ÷ 5 = 5.000 por ano. Os pedidos possíveis são 2.000, 3.000 e 4.000 embalagens (10, 15 e 20 mil kg), com Cm de 50% do preço de cada opção:
2.000 a R$ 7,00 (Cm = 3,50): 5.000 × 7 = 35.000 + 2,5 pedidos × 3.500 = 8.750 + 1.000 × 3,50 = 3.500; total R$ 47.250;
3.000 a R$ 6,50 (Cm = 3,25): 32.500 + 1,667 × 3.500 = 5.833,33 + 1.500 × 3,25 = 4.875; total R$ 43.208,33;
4.000 a R$ 6,00 (Cm = 3,00): 30.000 + 1,25 × 3.500 = 4.375 + 2.000 × 3,00 = 6.000; total R$ 40.375.
O menor custo é pedir 4.000 embalagens (20.000 kg) de cada vez. O desconto na aquisição (R$ 5.000 por ano em relação ao preço cheio) supera com folga a manutenção extra.

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