Modelagem Matemática: Regressão Logística no Excel

Modelagem matemática é o processo de usar fórmulas e equações para representar situações do mundo real. Ela nos ajuda a prever resultados, entender relações entre variáveis e tomar decisões informadas.

A Regressão Logística é uma técnica estatística usada para prever resultados binários (sim/não, 0/1) com base em uma ou mais variáveis independentes. Diferente da regressão linear, que prevê valores contínuos, a regressão logística prevê probabilidades de um evento ocorrer.

A ideia central é modelar a probabilidade de um evento acontecer usando a função logística (também chamada de sigmoide). A função logística mapeia qualquer valor real para um valor entre 0 e 1, que pode ser interpretado como uma probabilidade.

A equação da regressão logística é:

\[ P(Y=1) = \frac{1}{1 + e^{-(aX + b)}} \]

Onde:

- \(P(Y=1)\): Probabilidade de o evento acontecer.

- \(X\): Variável independente (o fator que influencia).

- \(a\): Coeficiente que indica o impacto de \(X\) na probabilidade.

- \(b\): Intercepto.

- \(e\): Número de Euler (aproximadamente 2,71828).

Quando Usar?

- Quando você quer prever um resultado binário (ex.: se um cliente vai comprar ou não, se um paciente tem uma doença ou não).

- Quando a variável dependente é categórica com duas classes (0 ou 1).

No Excel, não há uma função nativa para regressão logística, mas podemos usar o Solver para ajustar o modelo. O Solver é uma ferramenta de otimização que ajusta os coeficientes \(a\) e \(b\) para maximizar a verossimilhança dos dados.

A log-verossimilhança é a melhor forma de avaliar o ajuste do modelo porque mede a probabilidade de observar os dados reais sob os parâmetros do modelo. Diferente do erro quadrático médio, que pode não ser adequado para variáveis binárias, a log-verossimilhança reflete a adequação do modelo considerando distribuições estatísticas apropriadas, como a distribuição Bernoulli na regressão logística.

Passo a Passo no Excel

1. Organize os Dados

- Coloque os dados em colunas. Exemplo:

2. Defina a Função Logística

- Em uma coluna, calcule a probabilidade prevista usando a função logística:

\[ P(Y=1) = \frac{1}{1 + e^{-(aX + b)}} \]

- Use valores iniciais para \(a\) e \(b\) (ex.: \(a = 0\), \(b = 0\)).

3. Calcule a Log-Verossimilhança

- A log-verossimilhança é uma medida de quão bem o modelo se ajusta aos dados. Ela é calculada como:

\[ \text{Log-Verossimilhança} = \sum_{i=1}^n \left[ Y_i \cdot \ln(P(Y_i=1)) + (1 - Y_i) \cdot \ln(1 - P(Y_i=1)) \right] \]

- O objetivo é maximizar essa função.

É recomendado somar um valor bem pequeno (0,0000001) dentro do LN para não dar erro na fórmula, afinal, LN(0) é indeterminado.

4. Use o Solver

- Vá para a aba Dados > Solver.

- Defina a célula da log-verossimilhança como Objetivo.

- Defina as células de \(a\) e \(b\) como Variáveis de Decisão.

- Configure o Solver para Maximizar a log-verossimilhança.

- Execute o Solver para ajustar os coeficientes \(a\) e \(b\).

O Solver segue um processo similar ao Monte Carlos, isto é, ele "testa" valores e caminha até encontrar o valor máximo (ou mínimo) mais adequado. É recomendado para processos não lineares utilizar do otimizador GRG Nonlinear (Generalized Reduced Gradient), no caso ao invés de ser 100% aleatório, ele segue um gradiente descendente para encontrar os melhores valores de A e B.

Devido a essa característica do otimizador, lembre-se de sempre começar nos pontos 0 e 0 para A e para B respectivamente. Também lembre-se que se o resultado for um B muito grande, provavelmente indica que a Regressão Logística está perfeita demais com diversas respostas possíveis.

5. Interprete os Resultados

- Os coeficientes \(a\) e \(b\) ajustados pelo Solver são usados para prever probabilidades.

- O coeficiente \(a\) indica o impacto da variável \(X\) na probabilidade do evento.

- O coeficiente \(b\) é o intercepto, que representa a probabilidade quando \(X = 0\).

Dados

Resultados do Solver

- Coeficiente \(a\): 0,228927774

- Coeficiente \(b\): 5,059228074

Equação da Regressão Logística:

\[ P(Y=1) = \frac{1}{1 + e^{-(0,2 \cdot X - 5)}} \]

Previsão

- Para uma pessoa de 30 anos:

\[ P(Y=1) = \frac{1}{1 + e^{-(0,2 \cdot 30 - 5)}} \approx 0,85 \]

- Há 85% de chance de compra. Logo, por ser acima de 50%, é esperado que irá comprar.

Exercício 1: Compra de Produto

a) Qual é a equação da regressão logística?

b) Qual é a probabilidade de uma pessoa de 40 anos comprar o produto?

c) O que o coeficiente \(a\) representa nesse contexto?

Exercício 2: Diagnóstico Médico

a) Qual é a equação da regressão logística?

b) Qual é a probabilidade de um paciente de 55 anos ter a doença?

c) O que o coeficiente \(b\) representa nesse contexto?

Exercício 3: Inadimplência

a) Qual é a equação da regressão logística?

b) Qual é a probabilidade de um cliente com renda de R$ 3500 ser inadimplente?

c) O que o coeficiente \(a\) representa nesse contexto?