Normal, binomial e Poisson, e o preço de trocar uma pela outra

Uma distribuição normal

Uma contagem em um número fixo de tentativas

As caudas aqui são calculadas direto da função erro complementar, e não como um menos o outro — é isso que impede quatro ou cinco desvios de virarem um zero arredondado.

Resultados

A contagem, exata e aproximada

A regra que todo mundo aprende é que a curva normal substitui uma contagem quando a contagem média chega a cinco. Exatamente nesse limite, com vinte tentativas a vinte e cinco em cem, a resposta exata é 0,091260 e a curva sem correção diz 0,060668. Ela erra um terço justamente no ponto em que foi declarada segura.

A correção de continuidade não é um refinamento: é a maior parte da precisão. Somar meia unidade antes de ler a curva transforma um erro de menos trinta e três por cento em mais sete vírgula oito, nos mesmos números, sem nenhuma informação extra. Quem usa a aproximação sem ela está escolhendo errar mais do que a própria aproximação custa.

Onde a aproximação fica honesta

Cada linha faz a mesma pergunta três contagens abaixo da média, então a comparação é justa conforme o número de tentativas cresce. O erro cai de cerca de oito por cento para cerca de meio, que é o formato real da regra: não um limiar que se cruza, e sim uma ladeira que se desce.

A terceira linha dos resultados é outra aproximação, com outra fraqueza. O Poisson substitui uma contagem quando a chance de cada tentativa é pequena, e não quando o número de tentativas é grande: a vinte e cinco em cem ele erra trinta e seis por cento, e a um em cem ao longo de mil tentativas erra um terço de um por cento.

Ou seja: não existe uma aproximação simplesmente melhor. Uma precisa de muitas tentativas e a outra precisa de chance pequena, e a resposta exata não precisa de nenhuma das duas — que é por isso que esta página a calcula em vez de recorrer a uma curva.