Na Aula 4, você descobriu a gangorra: juro sobe, preço cai. E viu que o prazo amplifica o efeito — a LTN de 5 anos caiu 8,5% no mesmo choque em que a de 1 ano caiu 1,8%. Ficou no ar a pergunta de um milhão de dólares: dá para prever, com um número só, quanto um título vai balançar?Dá. O número se chama duration, e é provavelmente o conceito mais usado por gestores de renda fixa no mundo inteiro. Nesta aula, você vai aprender a calculá-la, a usá-la para estimar perdas e ganhos em segundos — e a conhecer sua correção de fábrica, a convexidade. É a aula mais matemática do curso até aqui. Também é a que mais separa quem opera renda fixa de quem apenas aplica nela.1. A pergunta certa: qual é o prazo VERDADEIRO de um título?Comece com um quebra-cabeça. Dois títulos vencem daqui a exatos 3 anos:O título A é uma LTN: paga R$ 1.000 de uma vez, no vencimento.O título B paga cupons de R$ 100 no fim de cada ano e devolve R$ 1.100 no terceiro (principal + último cupom).Os dois "vencem em 3 anos". Mas são igualmente sensíveis aos juros? Não! O título B devolve parte do seu dinheiro antes — e dinheiro que volta antes fica menos tempo exposto à taxa. O prazo de vencimento, sozinho, engana.A duration de Macaulay corrige isso: ela é o prazo médio de recebimento dos fluxos, ponderado pelo valor presente de cada um. Em vez de perguntar "quando o título vence?", ela pergunta "em quanto tempo, em média, meu dinheiro volta para casa?".Consequência imediata, que resolve metade das questões de prova: em títulos zero cupom (como a LTN), a duration é igual ao prazo de vencimento — todo o dinheiro volta de uma vez, no final. Em títulos com cupom, a duration é sempre menor que o prazo.Uma LTN (título zero cupom) vence em exatos 4 anos. Sua duration de Macaulay é de...Gabarito: 4 anos, igual ao prazo, pois há um único fluxo no vencimento — sem pagamentos intermediários, o prazo médio ponderado É o próprio vencimento. Essa igualdade só vale para zero cupom.2. Calculando a duration de MacaulayVamos calcular a duration do título B: cupons anuais de R$ 100, devolução de R$ 1.100 no ano 3, taxa de mercado de 12% ao ano.Passo 1 — valor presente de cada fluxo:Ano 1: 100 / 1,12 = R$ 89,29Ano 2: 100 / (1,12)² = R$ 79,72Ano 3: 1.100 / (1,12)³ = R$ 782,96Preço do título = soma dos VPs = R$ 951,96Passo 2 — peso de cada fluxo no preço:Ano 1: 89,29 / 951,96 = 9,4%. Ano 2: 79,72 / 951,96 = 8,4%. Ano 3: 782,96 / 951,96 = 82,2%.Passo 3 — média dos prazos, ponderada pelos pesos:D = 1 × 0,094 + 2 × 0,084 + 3 × 0,822 = 2,73 anosLeitura: embora o título vença em 3 anos, o "centro de gravidade" do dinheiro está em 2,73 anos. É como se o título fosse uma LTN de 2,73 anos para fins de sensibilidade a juros.3. Duration modificada: o multiplicador do estragoA Macaulay mede um prazo. Para transformá-la em sensibilidade de preço, dividimos pela taxa bruta e obtemos a duration modificada:Dmod = D / (1 + i)No nosso exemplo: Dmod = 2,73 / 1,12 = 2,44E agora a fórmula que os gestores usam o dia inteiro:Variação % do preço ≈ − Dmod × variação da taxa (em pontos percentuais)Teste: se a taxa subir de 12% para 13% (+1 p.p.), o preço do título B cai aproximadamente 2,44 × 1 = −2,44%.Conferindo pelo caminho longo: reprecificando os três fluxos a 13%, o preço vai de R$ 951,96 para R$ 929,17 — queda de −2,39%. A estimativa da duration errou por 0,05 ponto percentual. Nada mal para uma multiplicação de cabeça — e já já entenderemos de onde vem essa pequena diferença.Reaproveitando a Aula 4: a LTN de 2 anos a 12% tem D = 2 e Dmod = 2/1,12 = 1,79. No choque de +2 p.p. daquela aula, a estimativa dá −3,57%; o valor exato foi −3,48%. A conta fecha.Um título tem duration de Macaulay de 5 anos e é negociado à taxa de 10% ao ano. Se a taxa de mercado subir 1 ponto percentual, a queda aproximada de preço estimada pela duration modificada é de...Gabarito: 4,55% — Dmod = 5/1,10 = 4,545; variação ≈ −4,545 × 1 p.p. ≈ −4,55%. A alternativa de 5% esquece de dividir por (1+i): é a Macaulay usada no lugar da modificada, o deslize mais comum.4. O que faz a duration subir ou descerTrês reguladores controlam a duration de qualquer título:Prazo: quanto mais longo o vencimento, maior a duration. (O regulador dominante.)Cupom: quanto MAIORES os cupons, MENOR a duration — mais dinheiro volta cedo, o centro de gravidade anda para perto. Por isso a NTN-B Principal (zero cupom) é mais sensível que a NTN-B com juros semestrais de mesmo vencimento.Taxa de mercado: quanto maior a taxa, menor a duration — o desconto pesado encolhe o valor presente dos fluxos distantes, puxando o centro de gravidade para perto.Agora você tem o vocabulário completo para o paradoxo da Aula 5: a NTN-B 2060 balança tanto porque junta prazo longuíssimo com cupons pequenos (ou nenhum, na Principal) — a receita da duration máxima do mercado brasileiro.Dois títulos têm o mesmo emissor, a mesma taxa e o mesmo vencimento em 10 anos. O título X paga cupons semestrais generosos; o título Y é zero cupom. Sobre a sensibilidade a juros, é correto afirmar que...Gabarito: Y é mais sensível, pois sua duration é maior que a de X — no zero cupom, duration = 10 anos; nos cupons generosos, o dinheiro volta antes e a duration cai bem abaixo de 10. Vencimento igual NÃO significa risco igual: essa é a mensagem central da aula.5. Convexidade: a curvatura que joga a seu favorDe onde veio aquela diferença entre o −2,44% estimado e o −2,39% real? A duration traça uma reta tangente à relação preço×taxa. Mas a relação verdadeira é uma curva — convexa, com a barriga voltada para baixo.Consequência prática, e ela é elegante: para variações grandes de taxa, a reta da duration exagera as perdas e subestima os ganhos. O preço real cai MENOS do que a duration prevê quando o juro sobe, e sobe MAIS do que ela prevê quando o juro cai.Em outras palavras: a convexidade é amiga do investidor. Entre dois títulos de mesma duration, o de maior convexidade se comporta melhor nos dois cenários — e por isso o mercado aceita pagar um pouco mais por ele. Para choques pequenos (até ~1 p.p.), a duration sozinha resolve; para choques grandes, os gestores somam o ajuste de convexidade à estimativa.Um gestor estimou pela duration modificada uma queda de 8% no preço de um título diante de uma forte alta de juros. Considerando o efeito da convexidade, a queda efetiva tende a ser...Gabarito: Menor que 8%, pois a curva de preço é convexa — a reta da duration superestima quedas e subestima altas. Em choques grandes, a convexidade sempre "devolve" parte da perda estimada.6. Para que serve na prática: imunização e gestãoA duration não é só termômetro — é volante. Dois usos dominam o mercado:Imunização: quem tem um compromisso com data certa (pagar R$ 10 milhões em 5 anos, por exemplo) monta uma carteira com duration igual ao horizonte do passivo. Assim, os dois riscos opostos se cancelam: se os juros sobem, o preço da carteira cai, mas o reinvestimento dos fluxos rende mais; se caem, o preço sobe e compensa o reinvestimento pior. O caso perfeito é o zero cupom casado: uma LTN de 5 anos para um passivo de 5 anos elimina o problema por construção. É a lógica dos fundos de pensão — e da Beatriz da Aula 5.Gestão ativa: quem espera queda de juros alonga a duration da carteira (mais NTN-B longa, mais prefixado longo) para surfar a valorização; quem espera alta encurta (mais LFT, mais papéis curtos). A duration da carteira é simplesmente a média das durations dos títulos, ponderada pelo valor de cada posição — um número só para resumir o risco de milhões em títulos diferentes.“Duration é o volante da renda fixa: não muda a estrada dos juros, mas decide o quanto cada curva sacode o passageiro.”- Síntese de mesa de gestão7. Amarrando tudoO essencial da aula:A duration de Macaulay é o prazo médio dos fluxos ponderado pelos valores presentes — o "centro de gravidade" do dinheiro. Em zero cupom, duration = prazo; com cupons, é sempre menor.A duration modificada (D/(1+i)) converte prazo em sensibilidade: ΔP% ≈ −Dmod × Δtaxa.Duration cresce com o prazo e diminui com cupons maiores e taxas maiores.A convexidade corrige a reta da duration: perdas reais menores, ganhos reais maiores do que a estimativa linear — e por isso é desejável.Imunização casa a duration da carteira com o prazo do passivo; gestão ativa alonga na expectativa de queda de juros e encurta na de alta.Na próxima aula, fechamos o bloco de renda fixa juntando todas as peças — marcação a mercado, duration, curva — em estratégias e gestão de risco: como os profissionais montam, protegem e estressam uma carteira de renda fixa de verdade.Exercício para discutir em salaO cofre com data marcada. Vamos pensar juntos.A tesouraria de uma empresa precisa pagar R$ 10 milhões daqui a exatos 5 anos (uma debênture própria que vence). O dinheiro já existe e está aplicado. Três diretores defendem três estratégias:Diretor A: "LFT. Zero susto, acompanha a Selic, dormimos em paz."Diretor B: "LTN com vencimento em 5 anos, casada com o pagamento. Travamos hoje a taxa e esquecemos o assunto."Diretor C: "NTN-B 2045, com duration de uns 12 anos. Os juros vão despencar nos próximos anos; vamos surfar a valorização e pagar a dívida com sobra."Discuta com seu grupo:(a) Qual é a duration (aproximada) de cada estratégia? Qual delas está imunizada contra o passivo de 5 anos?(b) A estratégia do Diretor A parece a mais segura. Que risco silencioso ela carrega, pensando no valor acumulado daqui a 5 anos se o Copom cortar a Selic pela metade?(c) Se o Diretor C estiver certo e os juros caírem 2 p.p., estime (via duration) o ganho da posição dele. E se ele estiver errado e os juros subirem 2 p.p., o que acontece com a capacidade de pagar a dívida?(d) Por que a estratégia B é chamada de imunização "por construção"? O que a torna imune tanto à alta quanto à queda dos juros?(e) Existe cenário em que a escolha de C seja defensável para uma tesouraria? O que diferencia gestão de risco de aposta?Direcionamento para o professor: (a) A: duration ≈ zero (pós-fixado diário, sem sensibilidade relevante de preço); B: duration = 5 (zero cupom) = horizonte → imunizada; C: duration ≈ 12, descasada em +7 anos. (b) Risco de reinvestimento: a LFT não trava taxa nenhuma — se a Selic cair pela metade, o montante acumulado em 5 anos pode ficar aquém do planejado; segurança de preço não é segurança de meta. (c) Ganho ≈ +2 × 12 = +24% (menos com o ajuste fino, mais com a convexidade a favor); no cenário contrário, ≈ −24%: a empresa pode chegar ao ano 5 sem os R$ 10 milhões — risco de solvência, não de volatilidade. (d) O zero cupom de 5 anos entrega exatamente R$ X no exato dia do passivo: não há reinvestimento nem venda antecipada — os dois canais de risco morrem juntos. (e) Só se a empresa conscientemente separar um capital de risco para a aposta, com limites e stop — e aí já não é a poupança do passivo. Fechamento: tesouraria casa duration com passivo (hedge); quem descasa está fazendo gestão ativa com o dinheiro dos outros — a fronteira ética e técnica que separa as duas coisas é o tamanho do mandato.Exercícios1) (Inédita - estilo CESGRANRIO) Uma LTN (título zero cupom) com vencimento em 3 anos apresenta duration de Macaulay de:A) 3 anos.B) menos de 3 anos, em função do desconto dos fluxos.C) mais de 3 anos, em função da capitalização composta.D) 1,5 ano, metade do prazo.E) impossível de determinar sem a taxa de mercado.2) (Inédita - estilo CESGRANRIO) Um título apresenta duration de Macaulay de 5 anos e é negociado à taxa de 10% ao ano. Sua duration modificada é de aproximadamente:A) 4,55.B) 5,00.C) 5,50.D) 4,00.E) 0,50.3) (Inédita - estilo CESGRANRIO) Um título com duration modificada de 6 sofre elevação de 0,5 ponto percentual na taxa de juros de mercado. A variação aproximada de seu preço, estimada pela duration, é de:A) −3,0%.B) −6,0%.C) +3,0%.D) −0,5%.E) −12,0%.4) (Inédita - estilo FGV) Um título paga cupom anual de R$ 100,00 e devolve R$ 1.100,00 (principal mais último cupom) ao fim de 2 anos. À taxa de mercado de 10% ao ano, seu preço é de R$ 1.000,00, com os valores presentes dos fluxos iguais a R$ 90,91 (ano 1) e R$ 909,09 (ano 2). A duration de Macaulay desse título é de aproximadamente:A) 1,91 ano.B) 2,00 anos.C) 1,50 ano.D) 1,10 ano.E) 2,10 anos.5) (Inédita - estilo FGV) Mantidos constantes os demais fatores, a duration de Macaulay de um título de renda fixa:A) diminui quando a taxa de cupom aumenta.B) aumenta quando a taxa de cupom aumenta.C) independe da taxa de cupom.D) diminui quando o prazo de vencimento aumenta.E) é sempre igual ao prazo de vencimento.6) (Inédita - estilo CESGRANRIO) Um fundo de pensão precisa honrar um fluxo concentrado de benefícios daqui a 8 anos e deseja imunizar sua carteira de renda fixa contra oscilações da taxa de juros. Para isso, deve estruturar a carteira de modo que:A) sua duration seja de aproximadamente 8 anos, igual ao horizonte do passivo.B) sua duration seja a menor possível, concentrando-se em LFTs.C) sua duration seja a maior possível, maximizando a convexidade.D) todos os títulos vençam em, no máximo, 1 ano, renovando-se as posições.E) a carteira contenha apenas títulos prefixados com vencimento superior a 20 anos.7) (Inédita - estilo CEBRASPE, julgue o item) Julgue o item: "Em razão da convexidade da relação entre preço e taxa, a perda efetiva de um título prefixado diante de uma forte elevação dos juros tende a ser maior do que a perda estimada pela duration modificada."( ) Certo ( ) Errado8) (Inédita - estilo CEBRASPE, julgue o item) Julgue o item: "A duration de uma carteira de renda fixa pode ser obtida pela média das durations dos títulos que a compõem, ponderada pela participação de cada título no valor da carteira."( ) Certo ( ) ErradoGabarito1) A — Zero cupom: um único fluxo no vencimento, logo o prazo médio ponderado é o próprio prazo. Duration = 3 anos, independentemente da taxa.2) A — Dmod = D/(1+i) = 5/1,10 = 4,545. Esquecer a divisão por (1+i) leva à letra B — o erro clássico.3) A — ΔP% ≈ −Dmod × Δi = −6 × 0,5 = −3,0%. Sinal negativo: taxa subiu, preço caiu (a gangorra da Aula 4, agora quantificada).4) A — Pesos: 90,91/1.000 = 9,09% no ano 1 e 909,09/1.000 = 90,91% no ano 2. D = 1 × 0,0909 + 2 × 0,9091 = 1,909 ano. Menor que o prazo de 2 anos, como todo título com cupom.5) A — Cupons maiores devolvem mais dinheiro cedo e puxam o centro de gravidade para perto: duration cai. Prazo maior aumenta a duration (letra D inverte) e a igualdade duration = prazo só vale para zero cupom (letra E).6) A — Imunização = casar a duration da carteira com o horizonte do passivo (8 anos): o risco de preço e o risco de reinvestimento passam a se compensar. Minimizar duration (letra B) protege o preço, mas escancara o risco de reinvestimento.7) Errado — É o contrário: a convexidade faz o preço real cair MENOS do que a reta da duration prevê nas altas de juros (e subir mais nas quedas). A curvatura joga a favor do investidor.8) Certo — A duration de carteira é a média ponderada (pelo valor de mercado das posições) das durations individuais — é exatamente assim que mesas resumem o risco de juros de uma carteira inteira em um único número.
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