Medidas de associação ou relação: Regressão Linear

Para quaisquer dois conjuntos de dados que você possa encontrar, existem duas alternativas viáveis de coleta de dados que pode ser feito para descrever a interação entre os dois conjuntos.

A primeira é descrever o quanto as variáveis estão associadas. Utiliza-se para isso a correlação já ensinada, onde o tamanho do coeficiente de correlação indicada o quanto estão associadas.

A segunda é tentar estabelecer uma relação entre as duas variáveis, onde consegue-se dizer o quanto uma variável muda se diminuirmos ou aumentarmos a segunda.

Como sabemos, o perímetro e o lado de um quadrado estão relacionados. A relação que os liga é perfeitamente definida e pode ser expressa por meio de uma sentença matemática:

$$2p=4l$$

Onde 2p é o perímetro e l é o lado.

Atribuindo-se, então, um valor qualquer a R, é possível determinar exatamente o valor de 2p.

Consideremos, agora, a relação que existe entre o peso e a estatura de um grupo de pessoas. É evidente que essa relação não é do mesmo tipo da anterior; ela é bem menos precisa. Assim, pode acontecer que a estaturas diferentes correspondam pesos iguais ou que a estaturas iguais correspondam pesos diferentes. Contudo, em média, quanto maior a estatura, maior o peso.

As relações do tipo perímetro - lado são conhecidas como relações funcionais e as do tipo peso- estatura, como relações estatísticas. As relações estatísticas podem ser representadas a partir de uma função, também chamada de regressão linear simples.

- Predizer valores de uma variável dependente (Y) em função de uma variável independente (X).

- Conhecer o quanto variações de X podem afetar Y.

A regressão linear simples é usada para examinar a relação entre uma variável dependente e uma variável independente. Depois de realizar uma análise, as estatísticas de regressão podem ser usadas para prever a variável dependente quando a variável independente é conhecida. A regressão vai além da correlação, adicionando recursos de previsão.

As pessoas usam a regressão em um nível intuitivo todos os dias. Nos negócios, um homem bem vestido é considerado um sucesso financeiro. Uma mãe sabe que mais açúcar na dieta de seus filhos resulta em níveis mais altos de energia. A facilidade de acordar de manhã muitas vezes depende de quão tarde você foi para a cama na noite anterior. A regressão quantitativa adiciona precisão ao desenvolver uma fórmula matemática que pode ser usada para fins preditivos.

Por exemplo, um pesquisador médico pode querer usar o peso corporal (variável independente) para prever a dose mais apropriada para um novo medicamento (variável dependente). O propósito de executar a regressão é encontrar uma fórmula que se encaixe no relacionamento entre as duas variáveis. Em seguida, você pode usar essa fórmula para prever valores para a variável dependente quando apenas a variável independente for conhecida. Um médico pode prescrever a dose adequada com base no peso corporal de uma pessoa.

A linha de regressão (conhecida como a linha de mínimos quadrados) é um gráfico do valor esperado da variável dependente para todos os valores da variável independente. Tecnicamente, é a linha que ) é definida como a subida dividida pela corrida. A intersecção y (a) é o ponto no eixo y onde a linha de regressão interceptaria o eixo y. A inclinação e a intercepção y são incorporadas na equação de regressão. A interceptação é geralmente chamada de constante ou coeficiente linear e a inclinação é chamada de coeficiente angular. Como o modelo de regressão geralmente não é um preditor perfeito, há também um termo de erro na equação.

Na equação de regressão, y é sempre a variável dependente e x é sempre a variável independente. Aqui estão três maneiras equivalentes de descrever matematicamente um modelo de regressão linear:

$$y=(\text{ângulo}x)+\text{intercepto}+\text{erro}$$

$$y=(\text{coeficiente angular}·x)+\text{coeficiente linear}+\text{erro}$$

$$y=a\ast x+b+e$$

Nós chamamos de regressão linear simples a reta que minima o erro, calculando A e B de forma que o valor esperado do erro seja zero.

As constantes são calculadas começando por A. Similar à correlação, o confieciente angular também é calculado a partir da covariância. Sua fórmula é a seguinte:

$$a=\frac{{\sigma }_{x,y}}{{\sigma }_x^2}$$

O ângulo é a covariância dividida pela variância da variável independente. Nesse caso percebe-se que ao contrário do coeficinente angular, se mantém apenas uma variável no divisor, mantendo ainda a variância da variável dependente no modelo.

Sabendo-se A calcula-se B:

$$y=a·x+b+e$$

$$E[y]=E[a·x+b+e]$$

$$E[y]=E[a·x]+E[b]+E[e]$$

$$\overline{y}=a·\overline{x}+b+0$$

$$b=\overline{y}-a·\overline{x}$$

Alguns livros escrevem a fórmula direta:

$$a=\frac{N·(\sum X·Y)-(\sum X)·(\sum Y)}{N·(\sum X^2)-(\sum X{)}^2}$$

$$b=\frac{(\sum Y)-a·(\sum X)}{N}$$

Com os coeficinete angular e linear podemos finalmente formar uma reta que melhor explica a relação entre duas variáveis: