Medidas de associação ou relação: correlação

Similar à covariância: quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, dizemos que existe correlação entre elas.

Como sabemos, o perímetro e o lado de um quadrado estão relacionados. A relação que os liga é perfeitamente definida e pode ser expressa por meio de uma sentença matemática:

\[ 2p = 4l \]

Onde 2p é o perímetro e l é o lado.

Atribuindo-se, então, um valor qualquer a R, é possível determinar exatamente o valor de 2p.

Consideremos, agora, a relação que existe entre o peso e a estatura de um grupo de pessoas. É evidente que essa relação não é do mesmo tipo da anterior; ela é bem menos precisa. Assim, pode acontecer que a estaturas diferentes correspondam pesos iguais ou que a estaturas iguais correspondam pesos diferentes. Contudo, em média, quanto maior a estatura, maior o peso.

As relações do tipo perímetro - lado são conhecidas como relações funcionais e as do tipo peso- estatura, como relações estatísticas.

Consideremos uma amostra aleatória, formada por dez dos 98 alunos de uma classe da faculdade A e pelas notas obtidas por eles em Matemática e Estatística:

Representando, em um sistema coordenado cartesiano ortogonal, os pares ordenados (xi, y), obtemos uma nuvem de pontos que denominamos diagram a de dispersão. Esse diagrama nos fornece uma ideia grosseira, porém útil, da correlação existente que para este caso existe e é positiva.

Como a correlação em estudo tem como "imagem" uma reta ascendente, ela é chamada correlação linear positiva.

Assim, uma correlação é:

- linear positiva se os pontos do diagrama têm como "imagem" uma reta ascendente;

- linear negativa se os pontos têm como "imagem" uma reta descendente;

- não linear se os pontos têm como "imagem" uma curva.

Se os pontos apresentam-se dispersos, não oferecendo uma "imagem" definida, concluímos que não há relação alguma entre as variáveis em estudo.

Temos, então:

O instrumento empregado para a medida da correlação linear é o coeficiente de correlação. Esse coeficiente deve indicar o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis e, ainda, o sentido dessa correlação (positivo ou negativo).

Faremos uso do coeficiente de correlação de Pearson, que é dado por:

\[ r = \dfrac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x · \sigma_y} \]

> O coficiente de correlação é a covariância dividida pelo desvio padrão de cada variável estudada

Outra fórmula seria:

\[ r = \frac{\sum{(x - \bar{x})(y - \bar{y})}}{\sqrt{\sum{(x - \bar{x})^{2}}} · \sqrt{\sum{(y - \bar{y})^{2}}}} \]

Diferente da covariância, onde só podíamos analisar se é positiva ou negativa, o coeficiente de correlação nos garante muito mais informação por ele estar entre -1 e 1, em outras palavras, pertence ao intervalo [-1, +1].

Assim:

a. se a correlação entre duas variáveis é perfeita e positiva, então r = +1 ;

b. se a correlação é perfeita e negativa, então r = -1;

c. se não há correlação entre as variáveis, então r = O.

Para:

Propriedades da correlação

1. O coeficiente de correlação independe das unidades de medida das variáveis; é um número adimensional que varia entre –1 e +1, isto é, -1 ≤ r ≤ + 1.

2. O coeficiente de correlação de uma variável e ela mesma é igual a +1.

3. A permutação das variáveis não altera o resultado do coeficiente de correlação, isto é, rXY = rYX.

4. Somando-se ou subtraindo-se uma constante a uma ou a ambas as variáveis, o coeficiente de correlação não se altera.

5. Multiplicando-se ou dividindo-se uma ou ambas as variáveis por uma constante, o coeficiente de correlação não se altera.

Exemplos

Complete o esquema de cálculo do coeficiente de correlação para os valores das variáveis x e y:

A covariância do conjunto de dados é 2,4. Enquanto o desvio padrão da primeira vale 2,04 e da segunda 2,83.

Logo:

\[ r = \frac{2,4}{2,04·2,83} = 0,41 = 41\% = \text{correlação moderada} \]

1) Desenhe os diferentes diagramas de dispersão que podem ser encontrados para as seguintes correlações: correlação positiva perfeita, correlação negativa e correlação não-linear.

2) Faça o diagrama de dispersão das seguintes variáveis:

Qual tipo de correlação essas variáveis apresentam?

3) Qual o coeficiente de correlação das variáveis do exercício anterior?

4) Qual o coeficiente de correlação das seguintes variáveis:

5) Qual o coeficiente de correlação das seguintes variáveis:

6) Davi analisou que a covariância de dois conjuntos de dados era igual a 10, e o desvio padrão de um conjunto tem valor 2 e de outro tem valor 5. Qual o coeficiente de correlação dos dois conjuntos de dados?

7) Mais uma vez, Davi analisou que a covariância de dois conjuntos de dados era igual a 200, e o desvio padrão de um conjunto tem valor 20 e de outro tem valor 40. Mas, depois de já ter feito essa análise, teve que modificar um dos conjuntos de dados, dividindo ele por 10.000. Qual o coeficiente de correlação dos dois conjuntos de dados agora?

2) Correlação linear positiva

3) 94%

4) -83%

5) 0%

6) 100%

7) 25%