IntroduçãoUma das premissas básicas da matemática financeira é que não podemos comparar fluxos de caixa que ocorrem em datas diferentes, porque o valor do dinheiro muda com o tempo.Logo, dois fluxos de caixa só podem ser comparados quando estão na mesma data. Como frequentemente precisamos comparar valores que vencem em datas diferentes, levamos todos eles para a data de hoje e só então os comparamos.O valor de hoje equivalente a um fluxo de caixa que ocorre na data t é chamado de valor presente (também chamado de valor atual; os dois nomes significam a mesma coisa).Equivalência de dois valores monetáriosConsideremos dois valores monetários, x e y, separados por t períodos de tempo: o primeiro na data 0 e o segundo na data t. Dizemos que x e y são equivalentes, a uma taxa de juros compostos i, se:\[ x · (1+i)^{t} = y \]Em outras palavras, x é equivalente a y se, ao aplicarmos x até a data t, o montante obtido for igual a y. Dizemos também que x é o valor presente de y. Para achar x, basta dividir: x = y / (1 + i)^t. Essa operação de trazer um valor do futuro para hoje chama-se descontar o valor.ExemploA uma taxa de juros compostos de 2% a.m., R$ 1.500.000,00 daqui a três meses equivalem a quanto hoje?Sendo x o valor hoje, devemos ter:\[ x · (1+0,02)^{3} = 1.500.000 \]\[ x = \frac{1.500.000}{(1+0,02)^{3}} \]\[ x = 1.413.483,50 \]Ou seja, a uma taxa de 2% a.m., receber R$ 1.500.000,00 daqui a três meses é o mesmo que receber R$ 1.413.483,50 hoje.A uma taxa de juros compostos de 10% a.m., quanto vale hoje um pagamento de R$ 1.210,00 que vence daqui a dois meses?Gabarito: R$ 1.000,00 — x = 1.210 / 1,1² = 1.210 / 1,21 = 1.000. A opção R$ 1.008,33 vem de descontar com juros simples (1.210 / 1,2), e R$ 1.100,00 desconta só um mês.Valor presente de um conjunto de capitaisConsideremos os valores y₀, y₁, y₂, …, yₜ, nas datas 0, 1, 2, …, t, respectivamente. Chamamos de valor presente na data 0 (ou simplesmente valor presente) desse conjunto, a uma taxa de juros i, a soma dos valores equivalentes a esses capitais na data 0.Esses valores podem ser pagamentos de uma dívida ou rendas a receber.\[ x = y_0 + \frac{y_1}{(1+i)^{1}} + \frac{y_2}{(1+i)^{2}} + ... +\frac{y_t}{(1+i)^{t}} \]O que pode ser escrito na forma de somatório:\[ x = \sum_{k=0}^{t}\frac{y_k}{(1+i)^{k}} \]ExemplosUma empresa prevê o pagamento de R$ 2.000,00 daqui a um mês, R$ 3.000,00 daqui a dois meses e R$ 5.000,00 daqui a três meses. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos de 1,5% a.m., para fazer frente a essas despesas, ficando com saldo zero após o último pagamento?O valor que deverá ser aplicado hoje é, por definição, o valor presente desse conjunto, ou seja:\[ x = \frac{2000}{(1+0,015)^{1}} + \frac{3000}{(1+0,015)^{2}} + \frac{5000}{(1+0,015)^{3}} = 9.664,01 \]Vamos conferir, mês a mês:Aplicando-se R$ 9.664,01 por um mês, obteremos o montante de 9.664,01 × 1,015 = 9.808,97.Retirando-se R$ 2.000,00 para o primeiro pagamento, restará um saldo de R$ 7.808,97.Aplicando-se R$ 7.808,97 por mais um mês, obteremos o montante de 7.808,97 × 1,015 = 7.926,10.Retirando-se R$ 3.000,00 para o segundo pagamento, restará um saldo de R$ 4.926,10.Aplicando-se R$ 4.926,10 por mais um mês, obteremos o montante de 4.926,10 × 1,015 = 4.999,99, ou seja, R$ 5.000,00 (o centavo de diferença vem dos arredondamentos).Retirando-se R$ 5.000,00 para o terceiro pagamento, o saldo será zero.Uma loja vende um conjunto de sofás por R$ 500,00 de entrada mais três prestações mensais de R$ 800,00 cada uma. Se um comprador consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,2% a.m., de quanto deverá dispor hoje para poder efetuar a compra?\[ x = 500 + \frac{800}{(1+0,012)^{1}} + \frac{800}{(1+0,012)^{2}} + \frac{800}{(1+0,012)^{3}} = 2.843,53 \]Portanto, se o comprador dispuser hoje de pelo menos R$ 2.843,53, poderá comprar o conjunto de sofás: paga a entrada e aplica o restante, que renderá o suficiente para as três prestações.Uma televisão é vendida à vista por R$ 1.500,00 ou, então, a prazo em três prestações mensais iguais, sem entrada. Qual o valor de cada prestação se a loja pretende ganhar 3% a.m. no financiamento?\[ 1500 = \frac{x}{(1+0,03)^{1}} + \frac{x}{(1+0,03)^{2}} + \frac{x}{(1+0,03)^{3}} \]\[ 1500 = 0,9709x + 0,9426x + 0,9151x = 2,8286x \]\[ x = \frac{1500}{2,8286} = 530,30 \]Cada prestação será de R$ 530,30.Uma dívida será paga com R$ 1.100,00 daqui a um mês e R$ 1.210,00 daqui a dois meses. A juros compostos de 10% a.m., qual o valor presente dessa dívida?Gabarito: R$ 2.000,00 — 1.100 / 1,1 = 1.000 e 1.210 / 1,1² = 1.000, total de 2.000. A opção R$ 2.310,00 é a simples soma das parcelas, que ignora o valor do dinheiro no tempo; R$ 2.100,00 desconta as duas parcelas por um mês só.Conjuntos de capitais equivalentesDizemos que dois conjuntos de capitais são equivalentes, a uma taxa de juros compostos i, se os seus valores presentes forem iguais.ExemploUma loja vende uma geladeira nas seguintes condições: entrada de R$ 1.000,00 mais uma parcela de R$ 1.200,00 após um mês. Um cliente propõe pagar uma entrada de R$ 600,00 mais duas prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Se a loja financia a uma taxa de juros de 3% a.m., qual deve ser o valor de cada prestação para que as duas formas de pagamento sejam equivalentes?Valor presente da proposta da loja:\[ x_1 = 1000 + \frac{1200}{(1+0,03)^{1}} = 2.165,05 \]Valor presente da proposta do cliente, que deve ser igual:\[ x_2 = 600 + \frac{y}{(1+0,03)^{1}} + \frac{y}{(1+0,03)^{2}} = 2.165,05 \]\[ 0,970874y + 0,942596y = 1.565,05 \]\[ 1,913470y = 1.565,05 \]\[ y = 817,91 \]Cada prestação deve ser de R$ 817,91.Um produto custa R$ 1.000,00 à vista. A loja aceita uma entrada mais uma parcela de R$ 550,00 daqui a um mês, cobrando juros compostos de 10% a.m. Qual deve ser a entrada para que as duas formas sejam equivalentes?Gabarito: R$ 500,00 — o valor presente da parcela é 550 / 1,1 = 500, então a entrada é 1.000 - 500 = 500. A opção R$ 450,00 vem de subtrair a parcela sem descontá-la (1.000 - 550).Análise de alternativas de pagamento pelo valor presenteFrequentemente nos oferecem várias alternativas para pagar um bem ou serviço: à vista, com entrada, em prestações.Se todos os valores forem levados para uma mesma data, a comparação fica fácil. O mais prático é calcular o valor presente de cada alternativa, usando como taxa de juros aquela que conseguimos obter aplicando o nosso dinheiro. A alternativa de menor valor presente é a melhor para quem paga.ExemploUma casa é vendida à vista por R$ 326.000,00, ou a prazo, por R$ 90.000,00 de entrada mais três prestações mensais iguais de R$ 80.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa de pagamento para um comprador que consegue aplicar seu dinheiro à taxa de juros compostos de 1% a.m.?\[ x_1 = 326.000 \]\[ x_2 = 90.000 + \frac{80.000}{(1+0,01)^{1}}+ \frac{80.000}{(1+0,01)^{2}}+ \frac{80.000}{(1+0,01)^{3}} = 325.278,82 \]Como x₂ é menor que x₁, a melhor alternativa para o comprador é o pagamento a prazo, que lhe custa cerca de R$ 721,18 a menos em valores de hoje.Uma geladeira custa R$ 1.000,00 à vista ou R$ 1.100,00 em um único pagamento daqui a um mês. Para quem consegue aplicar o dinheiro a 5% a.m., qual a melhor opção?Gabarito: Pagar à vista, porque R$ 1.100,00 daqui a um mês valem cerca de R$ 1.047,62 hoje — 1.100 / 1,05 = 1.047,62, mais que os R$ 1.000,00 à vista. A loja cobra 10% no mês, e o comprador só consegue 5% aplicando: aplicar R$ 1.000,00 renderia R$ 1.050,00, insuficiente para pagar R$ 1.100,00.Exercícios1. Uma empresa prevê pagamentos mensais de R$ 250.000,00 daqui a um, dois e três meses. Quanto deverá aplicar hoje, no mínimo, à taxa de juros compostos de 1,6% a.m., para fazer frente a esses pagamentos?2. Um aparelho de TV é vendido à vista por R$ 1.500,00, ou por 20% de entrada mais duas parcelas mensais iguais. Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 6% a.m., qual o valor de cada parcela para que as duas formas de pagamento sejam equivalentes?3. Resolva o problema anterior supondo que haja três pagamentos mensais, além da entrada.4. Um conjunto de armários é vendido por R$ 3.000,00 à vista ou, então, com uma entrada mais três parcelas mensais de R$ 800,00 cada uma. Se a loja financia suas vendas com uma taxa de juros compostos de 3,5% a.m., qual o valor da entrada?5. Um terno é vendido em uma loja por R$ 800,00 de entrada mais uma parcela de R$ 400,00 após um mês. Um comprador propõe dar R$ 200,00 de entrada. Nessas condições, qual o valor da parcela, paga um mês depois, para que as duas formas de pagamento sejam equivalentes, sabendo-se que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 4% a.m.?6. Um aparelho de som é vendido por um preço P em três parcelas mensais iguais, sem acréscimo, sendo a primeira dada como entrada. Se o pagamento for feito à vista, haverá um desconto de 3% sobre P. Qual a melhor alternativa para o comprador, se a taxa de juros para aplicação for de 1,5% a.m.?7. Qual a melhor alternativa para o comprador: pagar R$ 1.200.000,00 daqui a 45 dias ou três parcelas de R$ 400.000,00 cada uma, em 30, 45 e 60 dias da compra, se a taxa de juros compostos para aplicação for de 1,4% a.m.?8. Se um comprador aplica seus recursos à taxa de 1,2% a.m., qual sua melhor alternativa diante de um produto anunciado pelo preço de R$ 10.000,00: pagar à vista com 3% de desconto sobre o preço anunciado ou pagar com desconto de 2% sobre o valor anunciado, em duas parcelas mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra?9. Um terreno é colocado à venda por R$ 400.000,00 à vista ou, a prazo, com 20% de entrada mais duas parcelas trimestrais de R$ 164.000,00 cada. Se o comprador aplica seus recursos à taxa de 2% a.m., qual sua melhor alternativa?10. Uma empresa tem a opção de alugar um computador por R$ 500,00 por ano, durante cinco anos (com pagamento ao final de cada ano), ou comprar o mesmo computador por R$ 2.100,00. Após cinco anos o computador não terá valor algum. Supondo que os dados estejam em valores reais e que a empresa aplique seus recursos à taxa real de 10% a.a., o que é melhor para a empresa, alugar ou comprar?Gabarito1. R$ 726.624,982. R$ 654,523. R$ 448,934. R$ 758,695. R$ 1.024,006. À vista.7. Pagar em 45 dias.8. Pagar a prazo.9. Pagar a prazo.10. Alugar.
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