IntroduçãoVimos, nas aulas anteriores, como um conjunto de valores pode ser transformado em outro equivalente para efeito de comparação, em especial levando todos os valores para a data presente.Na prática, esses conjuntos costumam ter características bem definidas: periodicidade, uniformidade, crescimento ou decrescimento segundo alguma lei matemática. Eles são chamados de sequências de valores monetários, e os valores tanto podem ser pagamentos quanto recebimentos.Sequência uniforme e seu valor presenteConsidere os valores R1, R2, R3, …, Rn, que ocorrem respectivamente nas datas 1, 2, 3, …, n (a unidade de tempo pode ser mês, semestre, ano etc.). Dizemos que esse conjunto é uma sequência uniforme se todos os valores forem iguais a um mesmo R.O valor presente dessa sequência na data 0 (isto é, um período antes do primeiro pagamento), a uma taxa de juros i na mesma unidade de tempo, é:\[ V = \frac{R}{(1+i)^{1}} + \frac{R}{(1+i)^{2}} + ... + \frac{R}{(1+i)^{n}} \]\[ V = R \left[\frac{1}{(1+i)^{1}} + \frac{1}{(1+i)^{2}} + ... + \frac{1}{(1+i)^{n}}\right] \]O valor entre colchetes poderia ser calculado somando termo a termo, mas, para um n grande, isso seria demorado.Podemos simplificar ao notar que a expressão entre colchetes é a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG) cujo primeiro termo e cuja razão são iguais:\[ a_1 = q = \frac{1}{1+i} \]A matemática elementar nos ensina que a soma dos n primeiros termos de uma PG de razão diferente de 1 é:\[ S = \frac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1} \]Substituindo o primeiro termo e a razão acima e simplificando, chegamos a:\[ S = \frac{(1 + i)^n - 1}{(1 + i)^n \cdot i} \]Portanto, o valor presente da sequência uniforme é:\[ V = R \left[\frac{(1 + i)^n - 1}{(1 + i)^n \cdot i}\right] \]O fator entre colchetes é chamado de fator de valor presente da série uniforme. Atenção: a fórmula supõe que o primeiro pagamento ocorre um período depois da data 0 (série postecipada, ou seja, sem entrada).ExemplosUm eletrodoméstico é vendido a prazo, em quatro pagamentos mensais e iguais de R$ 550,00 cada, vencendo o primeiro um mês após a compra. Se a loja financia a uma taxa de juros de 5% a.m., qual seu preço à vista?n = 4i = 5% a.m.R = 550\[ V = R \left[\frac{(1 + i)^n - 1}{(1 + i)^n \cdot i}\right] \]\[ V = 550 \left[\frac{(1 + 0{,}05)^{4} - 1}{(1 + 0{,}05)^{4} \cdot 0{,}05}\right] = 550 \cdot 3{,}545951 = 1.950{,}27 \]O preço à vista é R$ 1.950,27.Um automóvel usado é vendido à vista por R$ 30.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 2% a.m., obtenha o valor de cada prestação.V = 30.000n = 12i = 2% a.m.\[ 30.000 = R \left[\frac{(1 + 0{,}02)^{12} - 1}{(1 + 0{,}02)^{12} \cdot 0{,}02}\right] \]\[ 30.000 = R \cdot 10{,}575341 \]\[ R = \frac{30.000}{10{,}575341} = 2.836{,}79 \]Cada prestação é de R$ 2.836,79.Um terreno é vendido em quatro prestações mensais e iguais de R$ 150.000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Se a taxa do financiamento for 4% a.m., qual o preço à vista?Aqui a primeira prestação é paga na data 0, então ela já está a valor presente. As outras três formam uma sequência uniforme postecipada:entrada = 150.000R = 150.000n = 3i = 4% a.m.\[ V = \text{entrada} + R \left[\frac{(1 + i)^n - 1}{(1 + i)^n \cdot i}\right] \]\[ V = 150.000 + 150.000 \left[\frac{(1 + 0{,}04)^{3} - 1}{(1 + 0{,}04)^{3} \cdot 0{,}04}\right] \]\[ V = 150.000 + 150.000 \cdot 2{,}775091 = 566.263{,}65 \]O preço à vista é R$ 566.263,65.Uma loja vende um celular em 6 prestações mensais de R$ 200,00, a primeira um mês após a compra, com juros de 3% a.m. Qual é o preço à vista equivalente?Gabarito: R$ 1.083,44 — o fator de valor presente para n = 6 e i = 3% é 5,417191, e 200 × 5,417191 = 1.083,44. R$ 1.200,00 é a soma simples das parcelas, que ignora os juros; R$ 1.115,94 seria o preço se a primeira parcela fosse paga na compra.O mesmo celular passa a ser vendido em 6 prestações de R$ 200,00 com a primeira dada como entrada (3% a.m.). O preço à vista equivalente fica:Gabarito: Maior, porque cada parcela é paga um mês antes e é descontada por um mês a menos — o valor passa a 200 + 200 × 4,579707 = R$ 1.115,94, que é o valor anterior multiplicado por 1,03. A entrada reduz a dívida financiada, mas o que se compara aqui é o valor de toda a sequência na data da compra.Encontrando a taxa: a TIR de uma sequência uniformeQuando conhecemos o valor presente, a parcela e o número de parcelas, mas não a taxa, a pergunta é: qual taxa iguala o que se paga hoje ao valor presente do que se recebe? Essa taxa é a taxa interna de retorno (TIR). Não há fórmula fechada para isolar i, então ela é encontrada por tentativas (ou pela calculadora financeira e pela planilha, com a função TAXA ou TIR).Qual a taxa interna de retorno de um investimento de 5.000 reais para receber logo depois 12 parcelas mensais de 500 reais?investimento = 5.000R = 500n = 12Procuramos a taxa i que zera o valor presente líquido:\[ VPL = -5.000 + 500 \left[\frac{(1 + i)^{12} - 1}{(1 + i)^{12} \cdot i}\right] \]Testando algumas taxas:Taxa testadaValor presente líquido1%627,542%287,673%-23,00O VPL troca de sinal entre 2% e 3%, então a TIR está nesse intervalo. Ela não fica no ponto médio (2,5%): como o VPL a 3% está muito mais perto de zero, a TIR está bem mais perto de 3%. Uma interpolação linear dá uma boa estimativa:\[ TIR \approx 2\% + \frac{287{,}67}{287{,}67 + 23{,}00} \cdot 1\% \approx 2{,}93\% \]O valor exato, obtido com a função TIR da planilha, é 2,92% a.m.Um investimento tem VPL de +287,67 à taxa de 2% a.m. e de −23,00 à taxa de 3% a.m. Qual a melhor estimativa para a TIR?Gabarito: 2,93% a.m. — a TIR fica onde o VPL vale zero; como −23,00 está muito mais perto de zero do que +287,67, ela está perto de 3%: 2% + 287,67 / 310,67 × 1% ≈ 2,93%. O ponto médio, 2,50%, ignora o tamanho de cada VPL.Exercícios1) Obtenha o preço à vista de um automóvel financiado à taxa de 3% a.m., sendo o número de prestações igual a 10 e R$ 4.500,00 o valor de cada prestação mensal, vencendo a primeira um mês após a compra.2) Um carro é vendido à vista por R$ 40.000,00 ou a prazo em três prestações mensais iguais, sem entrada. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros do financiamento for de 1,9% a.m.?3) Um barco é vendido à vista por R$ 16.000,00 ou, então, com 20% de entrada mais quatro prestações mensais e iguais. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros for de 2% a.m.?4) Uma motocicleta é vendida em cinco prestações mensais de R$ 2.000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Qual o preço à vista se a taxa de juros do financiamento for de 2,5% a.m.?5) Um microcomputador é vendido à vista por R$ 2.500,00 ou, então, em quatro prestações mensais e iguais, sendo a primeira dada como entrada. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros for de 2,2% a.m.?6) Um apartamento, cujo preço à vista é de R$ 100.000,00, é vendido a prazo com 30% de entrada e o saldo em 100 prestações mensais iguais, depois corrigidas monetariamente. Qual o valor de cada prestação antes da correção se a taxa de juros do financiamento for de 1% a.m.?7) O aluguel mensal de um apartamento é R$ 2.000,00, reajustável a cada seis meses, e cada aluguel vence no fim do mês a que se refere. Se o locatário, ao fechar o contrato, quiser quitar antecipadamente o aluguel dos seis primeiros meses, qual o valor a ser pago se a taxa de juros for de 2,3% a.m.?8) Uma determinada empresa precisa tomar uma decisão: comprar uma máquina à vista por R$ 980.000,00 ou a prazo em 12 prestações mensais postecipadas de R$ 99.630,00. Sabendo-se que a taxa para aplicação oscila entre 2% a.m. e 3% a.m., qual a melhor alternativa para a empresa?9) Um banco concede um empréstimo a uma empresa no valor de R$ 60.000,00 para ser pago em quatro prestações mensais iguais postecipadas de R$ 16.850,00 cada uma. Qual a taxa de juros do financiamento?10) O preço à vista de um aparelho de som é de R$ 820,00. A prazo, o pagamento poderá ser feito em cinco prestações mensais iguais postecipadas de R$ 198,00 cada uma. Qual a taxa mensal de juros do financiamento?11) Uma grande empresa faz um empréstimo em um determinado banco a uma taxa de 3,5% a.m. Sabendo-se que o valor emprestado é de R$ 10.000,00, devendo ser pago em 24 prestações mensais iguais, vencendo a primeira um mês após o empréstimo, e sabendo-se que o banco cobra uma taxa de abertura de crédito igual a 2% do valor emprestado, calcule o valor de cada prestação e a taxa efetivamente paga pela empresa.Gabarito1) R$ 38.385,912) R$ 13.843,183) R$ 3.361,584) R$ 9.523,955) R$ 645,556) R$ 1.110,607) R$ 11.090,328) À vista: mesmo a 3% a.m., o valor presente das prestações (R$ 991.717,42) é maior que o preço à vista.9) 4,82% a.m.10) 6,63% a.m.11) R$ 622,73; 3,69% a.m.
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