IntroduçãoDiferido (escrito com i) significa adiado, protelado.Há situações em que o comprador só começa a pagar depois de um período de carência: "compre hoje e comece a pagar daqui a três meses". Nesta aula vamos calcular o valor presente dessas sequências adiadas e, em seguida, o montante (valor futuro) de uma sequência uniforme.Sequências uniformes diferidasUma sequência uniforme é diferida quando o primeiro pagamento não ocorre na data 1, mas na data m + 1. Na linha do tempo: as datas 1, 2, …, m não têm pagamento (é a carência), e as n parcelas iguais a R vencem nas datas m + 1, m + 2, …, m + n.Para calcular o valor presente (VP) dessa sequência na data 0, fazemos em duas etapas:1. Calculamos o valor da sequência na data m (Vm), isto é, um período antes do primeiro pagamento. Nessa data a sequência é uma sequência uniforme comum, e vale a fórmula da aula anterior:\[ V_m = R \left[\frac{(1 + i)^n - 1}{(1 + i)^n \cdot i}\right] \]2. Trazemos Vm da data m para a data 0, descontando m períodos:\[ VP = \frac{V_m}{(1+i)^m} \]Cuidado com o m: ele é o número de períodos antes do primeiro pagamento menos um. Se a primeira parcela vence três meses após a compra, m = 2, e não 3.ExemploUm terreno é vendido à vista por R$ 50.000 ou a prazo em seis prestações mensais iguais, vencendo a primeira três meses após a compra. Se a taxa de juros do financiamento for de 2% a.m., qual o valor de cada prestação?m = 2 (a primeira parcela vence na data 3)n = 6i = 0,02VP = 50.000R = ?Primeiro levamos o valor à vista até a data m = 2:\[ 50.000 = \frac{V_2}{(1+0{,}02)^{2}} \Rightarrow V_2 = 52.020 \]Na data 2, as seis parcelas formam uma sequência uniforme comum:\[ V_2 = R \left[\frac{(1 + 0{,}02)^{6} - 1}{(1 + 0{,}02)^{6} \cdot 0{,}02}\right] \]\[ 52.020 = R \cdot 5{,}601431 \]\[ R = 9.286{,}91 \]Cada prestação é de R$ 9.286,91.Uma loja anuncia: compre hoje e pague em 5 parcelas mensais iguais, a primeira daqui a 4 meses. Ao usar a fórmula do valor presente diferido, quanto vale m?Gabarito: m = 3 — a fórmula da sequência uniforme dá o valor um período antes do primeiro pagamento; se ele ocorre na data 4, esse valor fica na data 3, que precisa ser trazida 3 períodos até a data 0. Usar m = 4 é o erro mais comum: desconta um mês a mais.Um bem custa R$ 10.000,00 à vista ou 5 prestações mensais iguais, a primeira 4 meses após a compra, a 2% a.m. Qual o valor de cada prestação?Gabarito: R$ 2.251,44 — com m = 3, V3 = 10.000 × 1,02³ = 10.612,08, e R = 10.612,08 / 4,713460 = 2.251,44. R$ 2.296,47 é o que sai com m = 4, e R$ 2.121,58 é a prestação sem carência.Montante de uma sequência uniformeVimos o valor presente de uma sequência uniforme. Veremos agora o seu montante, isto é, o valor futuro.Chamamos de montante da sequência, na data n, a soma dos montantes de cada parcela R, aplicada desde a data em que foi feita até a data n. Com depósitos nas datas 1, 2, …, n, a última parcela (feita na própria data n) não rende nada, a penúltima rende um período, e assim por diante, até a primeira, que rende n − 1 períodos.Indicando o montante por M:\[ M = R + R \cdot (1+i)^{1} + R \cdot (1+i)^{2} + ... + R \cdot (1+i)^{n-1} \]É de novo uma progressão geométrica, agora com n termos, primeiro termo R e razão (1 + i). Pela fórmula da soma da PG:\[ S = \frac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1} \]temos:\[ M = \frac{R \cdot ((1+i)^n - 1)}{1 + i - 1} \]\[ M = R \left[\frac{(1+i)^n - 1}{i}\right] \]Esse é o montante no instante do último depósito.ExemplosUm investidor aplica mensalmente R$ 2.000,00 em um fundo de investimentos que remunera as aplicações à taxa de juros compostos de 1% a.m. Se o investidor fizer sete aplicações, qual o montante no instante do último depósito?R = 2.000i = 1% a.m.n = 7\[ M = 2.000 \left[\frac{(1+0{,}01)^{7} - 1}{0{,}01}\right] = 14.427{,}07 \]O montante é R$ 14.427,07.Um executivo, pensando em sua futura aposentadoria, decide fazer 240 depósitos mensais de R$ 700,00 cada em um fundo que rende 0,4% a.m. (taxa real). Ele objetiva com isso gerar um montante que permita a ele sacar x reais por mês, durante 360 meses até esgotar seu saldo. Obtenha o valor de x supondo que o 1º saque seja feito um mês após o último depósito. Suponha que todos os valores monetários sejam dados em termos reais em relação à data do início dos depósitos.Montante dos depósitos logo após o 240º depósito:\[ M = 700 \left[\frac{(1+0{,}004)^{240} - 1}{0{,}004}\right] = 281.172{,}52 \]Esse montante é o valor presente dos saques, que começam um mês depois. Portanto:\[ 281.172{,}52 = x \left[\frac{(1+0{,}004)^{360} - 1}{(1+0{,}004)^{360} \cdot 0{,}004}\right] \Rightarrow x = 1.475{,}21 \]O executivo poderá sacar R$ 1.475,21 por mês, em valores de hoje.Confira a planilha abaixo e faça uma cópia para seus próprios experimentos com a aposentadoria.https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xYi51tznE1N46asp-zQE7YbpWJmR6Fv5dCEwaDbTju8/edit?usp=sharingVocê deposita R$ 500,00 por mês, durante 24 meses, em uma aplicação que rende 1% a.m. Qual o montante logo após o último depósito?Gabarito: R$ 13.486,73 — M = 500 × (1,01^24 − 1) / 0,01 = 500 × 26,973465. R$ 12.000,00 é só a soma dos depósitos, sem juros; R$ 14.121,60 seria o saldo um mês depois do último depósito (ou com 25 depósitos).Na fórmula do montante, por que o último termo da soma é R × (1 + i) elevado a n − 1, e não a n?Gabarito: Porque o primeiro depósito rende n − 1 períodos até a data n, e o último não rende nada — com depósitos nas datas 1 a n, o feito na data 1 fica aplicado n − 1 períodos e o feito na data n é contado pelo valor nominal. Por isso a soma tem n termos, de expoente 0 a n − 1.Exercícios1) Uma pessoa deposita mensalmente, durante sete meses, R$ 3.500,00 em um fundo que remunera seus depósitos à taxa de 0,9% a.m. Qual o montante logo após o último depósito?2) Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente, durante 15 meses, em um fundo de investimentos que rende 1,8% a.m., para que, logo após o último depósito, tenha um montante de R$ 60.000,00?3) Uma empresa deve pagar um título de R$ 50.000,00 daqui a um ano. Quanto deverá investir mensalmente, a partir de hoje, se os depósitos forem iguais e remunerados a 0,85% a.m., para que, um mês após o último depósito, o saldo seja suficiente para pagar o título?4) Quanto deverei depositar mensalmente, em um fundo de investimentos que paga 0,8% a.m. de juros, para que, ao final do 18º depósito, tenha um montante de R$ 2.000.000,00?5) Um executivo, prevendo a complementação de sua aposentadoria, resolve fazer 180 depósitos mensais de R reais cada nas datas 1, 2, 3, …, 180, visando a retiradas de R$ 1.500,00 por mês nas datas 181, 182, …, 420. Obtenha o valor de R, supondo que o dinheiro aplicado renda 0,5% a.m.6) Suponha que você se aposente aos 70 anos com uma poupança de R$ 800.000,00 aplicada em um fundo. Quanto você poderá sacar desse fundo e gastar por ano, pelos próximos 25 anos, supondo esses gastos constantes em termos reais? Suponha uma taxa real de 4% a.a. de rendimento do fundo e o primeiro saque um ano após a aposentadoria.7) Seguindo o exercício anterior: quanto você deveria aplicar por ano (depósito constante em termos reais) nesse fundo, dos 35 aos 70 anos (36 depósitos), para conseguir uma poupança de R$ 800.000,00?8) Um conjunto de sofás é vendido à vista por R$ 6.000,00 ou a prazo em quatro prestações mensais e iguais, vencendo a primeira três meses após a compra. Qual o valor de cada prestação se a taxa de juros do financiamento for de 2,8% a.m.?9) A venda de uma moto é anunciada em dez prestações mensais e iguais a R$ 2.000,00 cada, vencendo a primeira dois meses após a compra. Qual o preço à vista se a taxa de financiamento for de 3,5% a.m.?10) Um conjunto de som é vendido por R$ 2.300,00 à vista. A prazo é vendido em seis prestações mensais e iguais, sendo dados ao cliente dois meses de carência, isto é, a primeira prestação só é devida três meses após a compra. A taxa de juros cobrada pela loja é de 2% a.m. Obtenha o valor de cada prestação.Gabarito1) R$ 25.171,512) R$ 3.519,953) R$ 3.941,94 (12 depósitos, nas datas 0 a 11; o título vence na data 12)4) R$ 103.746,145) R$ 719,946) R$ 51.209,577) R$ 10.309,508) R$ 1.697,679) R$ 16.070,7310) R$ 427,20
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