Relações básicas dos juros simplesChamando de C o capital, M o montante, J o juro e i a taxa (do inglês interest, que significa juro), temos, para um único período, as seguintes relações [2]:\[ J = C \cdot i \]ou:\[ i = \frac{J}{C} \]E, para o montante:\[ M = C + J \]\[ M = C + C \cdot i \]\[ M = C \cdot (1 + i) \]\[ \frac{M}{C} = 1 + i \]Quando a operação dura mais de um período, introduzimos n, o número de períodos. No regime de juros simples, o juro de cada período é sempre calculado sobre o capital inicial, por isso ele é igual em todos os períodos e basta multiplicar por n:\[ J = C \cdot i \cdot n \]ou:\[ i = \frac{J}{C \cdot n} \]A fórmula do montante vem em seguida:\[ M = C + J \]\[ M = C + C \cdot i \cdot n \]\[ M = C \cdot (1 + i \cdot n) \]\[ \frac{M}{C} = 1 + i \cdot n \]Atenção: i e n têm de estar na mesma unidade de tempo (taxa mensal com prazo em meses, taxa anual com prazo em anos).ExemplosUm capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples durante 3 anos, à taxa de 12% a.a. Obtenha o juro e o montante.\[ J = 5.000 \cdot 0{,}12 \cdot 3 = 1.800 \]\[ M = 5.000 + 1.800 = 6.800 \]Uma televisão é vendida à vista por R$ 1.500,00 ou a prazo, com R$ 300,00 de entrada mais uma parcela de R$ 1.308,00 após três meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?A entrada é paga na hora, então só o restante é financiado:\[ \text{Capital financiado: } C = 1.500 - 300 = 1.200 \]\[ \text{Montante: } M = 1.308 \]\[ \text{Juro: } J = 1.308 - 1.200 = 108 \]Assim:\[ 108 = 1.200 \cdot i \cdot 3 \]\[ i = \frac{108}{1.200 \cdot 3} = 0{,}03 = 3\% \text{ a.m.} \]Um capital de R$ 4.000 aplicado a juros simples de 2% a.m. rende quanto de juro em 5 meses, e qual é o montante?Gabarito: J = R$ 400 e M = R$ 4.400 — J = 4.000 · 0,02 · 5 = 400 e M = 4.000 + 400 = 4.400. R$ 80 é o juro de um único mês; R$ 416,32 seria o juro composto, em que o juro também rende juro.Taxas equivalentesNa fórmula dos juros simples, o prazo deve estar na mesma unidade da taxa. Também podemos fazer o contrário: expressar a taxa na unidade do prazo. Para isso, precisamos converter taxas de um período para outro de modo que sejam equivalentes [2].Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas ao mesmo capital e durante o mesmo prazo, produzem juros iguais.Nos juros simples, a conversão é proporcional: para passar de uma taxa mensal para anual, multiplica-se por 12; de anual para mensal, divide-se por 12; de mensal para diária (mês comercial), divide-se por 30. Por isso, nos juros simples, taxas equivalentes e taxas proporcionais são a mesma coisa.ExemplosEm juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1% a.m.?Igualando os juros de um ano (12 meses) nas duas taxas:\[ C \cdot i_{anual} \cdot 1 = C \cdot 0{,}01 \cdot 12 \]\[ i_{anual} = 0{,}01 \cdot 12 = 0{,}12 = 12\% \text{ a.a.} \]Se tivéssemos adotado outro prazo, por exemplo dois anos, chegaríamos ao mesmo resultado:\[ C \cdot i_{anual} \cdot 2 = C \cdot 0{,}01 \cdot 24 \]\[ i_{anual} = \frac{0{,}01 \cdot 24}{2} = 12\% \text{ a.a.} \]Qual a taxa anual de juros simples que um fundo de investimento rendeu, sabendo-se que o capital aplicado foi de R$ 5.000,00 e que o valor de resgate foi de R$ 5.525,00 após sete meses?\[ J = M - C = 5.525 - 5.000 = 525 \]\[ i_{mensal} = \frac{J}{C \cdot n} = \frac{525}{5.000 \cdot 7} = 0{,}015 = 1{,}5\% \text{ a.m.} \]\[ i_{anual} = 12 \cdot i_{mensal} = 12 \cdot 1{,}5\% = 18\% \text{ a.a.} \]Em juros simples, qual taxa trimestral é equivalente a 30% a.a.?Gabarito: 7,5% a.t. — um ano tem 4 trimestres e, nos juros simples, a conversão é proporcional: 30% / 4 = 7,5%. Os 2,5% são a taxa mensal (30% / 12), e 6,8% seria a equivalente em juros compostos.Juro exato e juro comercialMuitas operações financeiras duram apenas alguns dias. Nesses casos usamos a taxa diária equivalente, e há duas convenções:Ano civil: 365 dias (ou 366, no ano bissexto), com cada mês com o seu número real de dias.Ano comercial: 360 dias, com todos os meses de 30 dias.O juro calculado pela primeira convenção se chama juro exato; pela segunda, juro comercial. Nos livros e nos exercícios, salvo indicação em contrário, adota-se o juro comercial. Repare que, para a mesma taxa anual, o juro comercial é um pouco maior, porque divide a taxa por 360 e não por 365.Um exemplo de operação de curtíssimo prazo é o hot money: empréstimos feitos por bancos a empresas, frequentemente por um único dia útil e renovados se necessário, para cobrir necessidades momentâneas de caixa. Nelas, a taxa costuma ser informada ao mês, e o custo de cada dia é obtido a partir dessa taxa mensal.ExemplosUm capital de R$ 5.000,00 foi aplicado por 42 dias à taxa de 30% a.a. no regime de juros simples. Obtenha os juros exatos e os juros comerciais.\[ J_{exatos} = \frac{5.000 \cdot 0{,}30 \cdot 42}{365} = 172{,}60 \]\[ J_{comerciais} = \frac{5.000 \cdot 0{,}30 \cdot 42}{360} = 175{,}00 \]Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado a juros simples por 72 dias; outro capital, de R$ 5.000,00, foi aplicado à mesma taxa durante 45 dias. Determine a taxa anual (convenção de juros comerciais), sabendo que a diferença entre os juros da 1ª aplicação e os da 2ª é de R$ 31,50.Chamando de i a taxa diária:\[ J_{1} = 4.000 \cdot i \cdot 72 = 288.000\,i \]\[ J_{2} = 5.000 \cdot i \cdot 45 = 225.000\,i \]Portanto:\[ 288.000\,i - 225.000\,i = 31{,}50 \]\[ 63.000\,i = 31{,}50 \]\[ i = \frac{31{,}50}{63.000} = 0{,}0005 = 0{,}05\% \text{ a.d.} \]Como o enunciado pede a taxa anual no ano comercial:\[ i_{anual} = 0{,}05\% \cdot 360 = 18\% \text{ a.a.} \]Um título de R$ 10.000 rende juros simples de 36% a.a. por 20 dias. Qual a diferença entre o juro comercial e o juro exato?Gabarito: R$ 2,74 — juro comercial: 10.000 · 0,36 · 20 / 360 = 200,00; juro exato: 10.000 · 0,36 · 20 / 365 = 197,26. A diferença é 200,00 - 197,26 = 2,74. A taxa anual é a mesma, mas o juro comercial divide o ano em 360 dias, e por isso cada dia rende um pouco mais.ExercíciosUm empréstimo de $ 28.000 pelo prazo de 121 dias foi fechado com a taxa de juro de 16% aos 365 dias, com a condição de pagar o juro junto com a devolução do empréstimo. Calcule o pagamento final com juros simples.Refaça o Exercício 1 considerando a mesma taxa de juro simples de 16%, mas com período de 360 dias.Para atrair clientes, o lojista informa que financia as compras em até 60 dias com juro simples à taxa de 43% aos 365 dias. Se um cliente comprou $ 2.650 em mercadorias e quer pagar 40 dias após a data da compra, calcule o valor a ser recebido pelo lojista.O banco financiou $ 20.000 pelo prazo de 12 meses com uma taxa de juro de 3,5% ao mês. Calcule o juro e o valor do pagamento final considerando juro simples.Do investimento de $ 85.000, realizado com taxa de juro de 30% aos 360 dias, serão recebidos juros a cada 60 dias corridos, no regime de juros simples. Calcule o valor do juro periódico.O investimento de $ 24.000 pelo prazo de 182 dias foi fechado com a taxa de juro de 23,5% aos 365 dias. Calcule o juro e o resgate desse investimento no regime de juros simples.Conhecida a taxa de juro de 29% aos 360 dias, calcule a taxa proporcional aos 60 dias.Conhecida a taxa diária de juro de 0,045%, calcule a taxa proporcional aos 360 dias.O fabricante financia o pagamento em até 60 dias da data da compra, com juros simples à taxa de 78% aos 365 dias. Se o valor da mercadoria é $ 3.250 e o comprador pagará 35 dias depois da compra, calcule o valor a ser recebido pelo fabricante.Foram emprestados $ 15.000 pelo prazo de 12 meses à taxa de juro de 4% ao mês. Calcule o juro e o valor do pagamento final considerando juros simples.Depois de 210 dias foram resgatados $ 97.614 de um investimento de $ 85.000. Calcule a taxa de juro com período de 30 dias no regime de juros simples.Roberto emprestou $ 25.000 com a promessa de receber, antes de três meses, o valor emprestado mais os juros, à taxa de 55% aos 365 dias. Considerando juros simples, calcule o prazo desse empréstimo se Roberto recebeu $ 27.561,64.O investidor recebe juros de $ 733,68 a cada 31 dias. Calcule o valor do investimento considerando a taxa de juro de 24% aos 360 dias no regime de juros simples.Você investiu $ 100.000 com taxa de juro de 30% aos 360 dias, com a condição de receber juros a cada 90 dias. Calcule o valor dos juros no regime de juros simples.Foram investidos $ 100.000 durante 300 dias com taxa de juro de 2,85% aos 30 dias. Calcule o valor do resgate no regime de juros simples.Foram aplicados $ 20.000 pelo prazo de 192 dias seguidos. Calcule o valor do resgate considerando a taxa de juro constante de 1,04% aos 31 dias no regime de juros simples.De um investimento de $ 40.000 foram resgatados $ 46.496. Se o prazo desse investimento foi de 290 dias no regime de juros simples, calcule a taxa de juro com período de 30 dias.Foram resgatados $ 121.650,06 de um investimento realizado com taxa de juro de 7,23% aos 181 dias. Calcule o capital investido se o prazo do investimento foi de 542 dias no regime de juros simples.Calcule o prazo do empréstimo com as seguintes características: valor emprestado $ 32.000, valor devolvido $ 38.552, taxa de juro de 2,45% aos 28 dias no regime de juros simples.Resolução$ 29.485,15$ 29.505,78$ 2.774,88J = $ 8.400 e M = $ 28.400$ 4.250,00J = $ 2.812,27 e M = $ 26.812,274,833% aos 60 dias16,20% aos 360 dias$ 3.493,08J = $ 7.200 e M = $ 22.200i = 2,12% aos 30 diasn = 68 diasCom a taxa de juro i = 2,0667% aos 31 dias, C = $ 35.500,65J = $ 7.500,00M = $ 128.500M = $ 21.288,26i = 1,68% aos 30 diasC = $ 100.000n = 234 diasReferências[1] LAPPONI, Juan Carlos. Matemática financeira. 1998.[2] HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. Saraiva, 2007.
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