Desconto simples: moratória, título e seu valor líquido

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Desconto simples comercial (por fora) e racional (por dentro), valor nominal e atual, moratória e a relação entre taxa de desconto e de juros.

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Valor nominal e valor atual (ou presente)

Costuma-se chamar de valor nominal o valor de uma dívida na data do seu vencimento. Já o valor que, aplicado numa data anterior ao vencimento, produz um montante igual ao valor nominal é chamado de valor atual, valor real ou valor presente.

Comparando com as fórmulas que já aprendemos, o valor nominal faz o papel do montante, e o valor atual faz o papel do capital (o valor inicial).

A distinção existe para não haver confusão sobre qual valor está sendo apresentado. Muitas vezes é mais útil trabalhar com o valor presente, porque ele pode ser comparado diretamente com valores de hoje, que já conhecemos.

O mesmo raciocínio vale no sentido contrário. Quando o devedor pede para adiar o pagamento, concede-se uma moratória (prorrogação do prazo), e o credor cobra juros pelo tempo extra: o valor nominal da dívida é levado para a nova data. Por exemplo, uma dívida de R$ 10.000 que vence hoje, prorrogada por 3 meses a juros simples de 2% a.m., passa a valer 10.000 · (1 + 0,02 · 3) = R$ 10.600 na nova data.

Desconto simples

A ideia de desconto está associada ao abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições. Por exemplo, quando uma compra é feita em grande quantidade, é comum o vendedor conceder um desconto no preço por unidade.

Outra situação ocorre quando uma empresa vende um produto a prazo. Nesse caso, o vendedor geralmente emite uma duplicata, que lhe dá o direito de receber do comprador o valor combinado na data futura. Se o vendedor precisar do dinheiro antes, pode ir a um banco e fazer o chamado desconto da duplicata: a empresa cede ao banco o direito de receber a duplicata e, em troca, recebe o dinheiro antecipadamente, com um abatimento.

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Da mesma forma, uma empresa pode descontar notas promissórias ou cheques pré-datados em um banco. Por ser muito comum, esse tipo de desconto tem um sistema de cálculo próprio, chamado de desconto comercial ou bancário, que passaremos a estudar.

Desconto comercial ou bancário (por fora)

No desconto comercial usa-se uma taxa parecida com a taxa de juros, a taxa de desconto, que incide sobre o valor nominal do título. Por isso ele também é chamado de desconto "por fora". A notação é:

  • D: valor do desconto
  • N: valor nominal do título (o valor no vencimento)
  • Vd: valor líquido do título (o que se recebe ao descontá-lo)
  • d: taxa de desconto
  • t: número de períodos até o vencimento

\[ D = N \cdot d \cdot t \]

\[ V_d = N - D \]

Logo:

\[ V_d = N - N \cdot d \cdot t \]

\[ V_d = N \cdot (1 - d \cdot t) \]

\[ \frac{V_d}{N} = 1 - d \cdot t \]

\[ d \cdot t = 1 - \frac{V_d}{N} \]

Exemplos

Uma duplicata de R$ 18.000,00 foi descontada em um banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. Obtenha o desconto e o valor líquido pago à empresa.

\[ D = N \cdot d \cdot t = 18.000 \cdot 0{,}025 \cdot 2 = 900 \]

\[ V_d = 18.000 - 900 = 17.100 \]

Nesse caso, o banco paga R$ 17.100 hoje e recebe R$ 18.000 dois meses depois.

Uma nota promissória de R$ 12.000,00 foi descontada em um banco 42 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. Qual o desconto? Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo que o banco cobrou uma taxa de serviço de 0,5% do valor da promissória, paga no dia do desconto? Qual a taxa efetiva de juros da operação no período?

\[ D = 12.000 \cdot \frac{0{,}02}{30} \cdot 42 = 336 \]

\[ \text{Taxa de serviço: } 0{,}005 \cdot 12.000 = 60 \]

\[ \text{Valor líquido recebido pela empresa: } 12.000 - 336 - 60 = 11.604 \]

\[ \text{Taxa efetiva de juros: } i = \frac{12.000}{11.604} - 1 = 0{,}0341 = 3{,}41\% \text{ no período (42 dias)} \]

Repare que a taxa efetiva (3,41% em 42 dias) é maior que a taxa de desconto proporcional (2,8% em 42 dias): a taxa de desconto incide sobre o valor nominal, mas a empresa recebe menos do que isso, e a taxa de serviço encarece ainda mais a operação.

Ao descontar uma duplicata com prazo de 72 dias até o vencimento, um banco pretende ganhar uma taxa de juros de 6% no período. Qual taxa de desconto mensal deverá cobrar?

Ganhar 6% no período significa que o valor nominal é 6% maior que o valor líquido pago pelo banco. Tomando N = 100:

\[ \frac{100}{V_d} - 1 = 0{,}06 \]

\[ V_d = \frac{100}{1{,}06} = 94{,}34 \]

Então o desconto no período é de 100 - 94,34 = 5,66, ou seja, d · t = 5,66%. Como 72 dias correspondem a 72/30 = 2,4 meses:

\[ d \cdot 2{,}4 = 0{,}0566 \]

\[ d = \frac{0{,}0566}{2{,}4} = 0{,}0236 = 2{,}36\% \text{ a.m.} \]

Um cheque de R$ 5.000 é descontado 3 meses antes do vencimento, com desconto comercial de 3% a.m. Quanto a empresa recebe?

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Gabarito: R$ 4.550 — D = 5.000 · 0,03 · 3 = 450 e V = 5.000 - 450 = 4.550. R$ 4.850 desconta só um mês; R$ 4.587,16 seria o desconto racional (5.000 / 1,09), que é calculado sobre o valor atual e não sobre o nominal.

Desconto racional (por dentro)

No desconto racional, ou desconto "por dentro", a taxa incide sobre o valor atual, e não sobre o valor nominal. É exatamente o raciocínio dos juros simples: o valor atual Vr, aplicado à taxa i durante t períodos, produz o valor nominal N.

\[ N = V_r \cdot (1 + i \cdot t) \]

\[ V_r = \frac{N}{1 + i \cdot t} \]

\[ D_r = N - V_r = \frac{N \cdot i \cdot t}{1 + i \cdot t} \]

Voltando à duplicata de R$ 18.000,00 descontada dois meses antes, agora com desconto racional de 2,5% a.m.:

\[ V_r = \frac{18.000}{1 + 0{,}025 \cdot 2} = \frac{18.000}{1{,}05} = 17.142{,}86 \]

\[ D_r = 18.000 - 17.142{,}86 = 857{,}14 \]

Com a mesma taxa, o desconto racional (R$ 857,14) é menor que o comercial (R$ 900,00), porque incide sobre uma base menor. Por isso, na prática bancária, usa-se o desconto comercial, mais vantajoso para o banco.

Um título de R$ 22.000 é descontado 5 meses antes do vencimento à taxa de 2% a.m. Qual a diferença entre o desconto comercial e o desconto racional?

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Gabarito: R$ 200 — comercial: 22.000 · 0,02 · 5 = 2.200; racional: valor atual = 22.000 / 1,10 = 20.000, logo desconto = 2.000. A diferença é 2.200 - 2.000 = 200: o comercial incide sobre o valor nominal (22.000), o racional sobre o valor atual (20.000).

Relação entre taxa de desconto e taxa de juros simples

Como o desconto racional é o próprio juro simples, alguns livros usam o termo juro onde outros dizem desconto "por dentro". Comparando as duas notações:

  • D (desconto) corresponde a J (juro)
  • N (valor nominal) corresponde a M (montante)
  • Vd (valor líquido) corresponde a C (capital)
  • d: taxa de desconto comercial (por fora)
  • i: taxa de juros (por dentro)
  • t: número de períodos

Para que as duas taxas sejam equivalentes, o valor que o banco paga e o valor que recebe têm de ser os mesmos nos dois cálculos, ou seja, o juro sobre o valor líquido tem de ser igual ao desconto comercial:

\[ J = D \]

\[ V_d \cdot i \cdot t = N \cdot d \cdot t \]

\[ i = \frac{N}{V_d} \cdot d \]

\[ i = \frac{N}{N - N \cdot d \cdot t} \cdot d \]

\[ i = \frac{d}{1 - d \cdot t} \]

A taxa de juros efetiva é sempre maior que a taxa de desconto comercial, e a diferença cresce com o prazo.

Exemplos

Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m. e o prazo de vencimento de uma duplicata for de três meses, qual a taxa mensal de juros simples da operação?

d = 4% e t = 3:

\[ i = \frac{0{,}04}{1 - 0{,}04 \cdot 3} = \frac{0{,}04}{0{,}88} = 0{,}0455 = 4{,}55\% \text{ a.m.} \]

Uma duplicata com prazo de vencimento de dois meses foi descontada em um banco, proporcionando-lhe uma taxa efetiva de juros simples de 3% a.m. Qual a taxa de desconto utilizada?

i = 3% e t = 2:

\[ 0{,}03 = \frac{d}{1 - 2d} \]

\[ 0{,}03 \cdot (1 - 2d) = d \]

\[ 0{,}03 - 0{,}06d = d \]

\[ 0{,}03 = 1{,}06d \]

\[ d = \frac{0{,}03}{1{,}06} = 0{,}0283 = 2{,}83\% \text{ a.m.} \]

Um banco desconta títulos de 5 meses com taxa de desconto comercial de 2% a.m. Qual a taxa mensal de juros simples que ele realmente ganha?

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Gabarito: 2,22% a.m. — i = d / (1 - d · t) = 0,02 / (1 - 0,10) = 0,02 / 0,90 = 0,0222. A taxa efetiva nunca é igual à de desconto, porque o banco cobra 2% sobre o valor nominal, mas só empresta o valor líquido, que é menor. 1,82% seria a conta invertida, d / (1 + d · t).

Erros de aproximação na vida real

Cuidado ao arredondar valores intermediários! Guarde todas as casas decimais até o fim da conta e arredonde só a resposta: em operações de valores altos, ou repetidas muitas vezes, pequenos arredondamentos viram diferenças grandes.

Veja alguns erros de arredondamento e aproximação que causaram desastres históricos:

Exercícios

  1. Calcule a taxa mensal de juros por dentro usada numa operação de desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é R$ 10.000,00 e cujo valor do principal é R$ 9.750,00.
  2. Calcule o valor do desconto simples de um título de R$ 1.000,00, com vencimento para 60 dias, sabendo que a taxa de desconto “por dentro” é de 1,2% ao mês.
  3. Um título com valor de resgate de R$ 1.000,00, com 80 dias a decorrer até o vencimento, está sendo negociado a juros simples, com uma taxa de desconto “por fora” de 15% ao ano. Calcule:
    1. o valor do principal desse título;
    2. o valor do desconto simples; e
    3. a rentabilidade mensal desse título até o vencimento.
  4. Imagine que o título do Problema 3 seja vendido com garantia de recompra num prazo de três dias, e que nessa operação de três dias seja assegurada uma rentabilidade de 1,2% ao mês. Calcule:
    1. o valor do título por ocasião da recompra; e
    2. a rentabilidade mensal e a taxa de desconto anual (“por fora”) desse título para o prazo remanescente de 77 dias até o vencimento.
  5. Um investidor aplicou um principal de R$ 1.000,00 para receber um montante de R$ 1.300,00 no prazo de 36 meses. Calcule, no regime de juros simples:
    1. a rentabilidade trimestral do investidor; e
    2. a taxa de desconto mensal (“por fora”) que corresponde à rentabilidade do item a.
  6. Um banco comercial empresta R$ 15.000,00 a um cliente, pelo prazo de três meses, com uma taxa de 1% ao mês, juros simples, cobrados antecipadamente. Assim, o valor líquido liberado pelo banco é de R$ 14.550,00, e o cliente deve pagar os R$ 15.000,00 no final do 3º mês. Além disso, o banco exige um saldo médio de R$ 1.500,00 durante todo o prazo do empréstimo. Calcule a taxa de rentabilidade mensal do banco nessa operação, a juros simples.
  7. Uma empresa deseja descontar títulos num banco comercial que opera com uma taxa de desconto comercial de 1% ao mês, juros simples. O primeiro título vale R$ 10.000,00 e vence em 90 dias. O segundo vale R$ 10.000,00 e vence em 180 dias. Calcule o valor a ser creditado pelo banco na conta da empresa pelo desconto desses títulos.
  8. Uma empresa obtém num banco comercial um empréstimo de R$ 10.000,00, com taxa de 1,2% ao mês (desconto “por dentro”), juros simples, que pode ser liquidado no final de qualquer mês. Decorridos três meses, a empresa resolve liquidar esse empréstimo com recursos de um novo empréstimo no mesmo banco, com taxa de 1% ao mês, também a juros simples. Alguns meses depois, a empresa decide liquidar o segundo empréstimo e verifica que o total de juros acumulados nos dois empréstimos é de R$ 981,60. Calcule:
    1. o valor do segundo empréstimo, suficiente para liquidar o primeiro;
    2. o valor do pagamento final para liquidar o segundo empréstimo;
    3. o prazo do segundo empréstimo; e
    4. a taxa média mensal, a juros simples, paga pela empresa, considerando os dois empréstimos em conjunto.
  9. Um investidor deposita uma determinada importância numa instituição financeira. No final de quatro meses, ao encerrar a conta, verifica que o montante acumulado totaliza R$ 10.480,00. Esse valor é então depositado em outra instituição financeira por cinco meses. No final desse período, o montante acumulado na segunda instituição é de R$ 11.108,80. Sabendo que as duas instituições operam com juros simples e com a mesma taxa, calcule:
    1. a taxa mensal de juros simples das duas instituições; e
    2. o valor do depósito inicial na primeira instituição.
  10. Um banco comercial realiza suas operações de desconto de títulos com uma taxa de desconto de 1,2% ao mês (“por fora”), mas exige um saldo médio de 20% do valor da operação como forma de reciprocidade bancária. Uma empresa procura esse banco para descontar R$ 100.000,00 em títulos, todos com vencimento em 90 dias. Considerando o mês com 30 dias, calcule o valor a ser creditado na conta da empresa e a rentabilidade mensal do banco, a juros simples, sem o saldo médio e com o saldo médio.

Resolução

  1. i = 1,282% ao mês
  2. D = R$ 23,44
  3. a) PV = R$ 966,67; b) Desconto = R$ 33,33; c) i = 1,293% ao mês
  4. a) FV = R$ 967,83; b) i = 1,295% ao mês; d = 15,04% ao ano
  5. a) i = 2,5% ao trimestre; b) d = 0,641% ao mês (equivale a 1,92% ao trimestre)
  6. i = 1,1494% ao mês
  7. PV = R$ 19.100,00
  8. a) PV2 = R$ 10.360,00; b) FV2 = R$ 10.981,60; c) n2 = 6 meses; d) i médio = 1,0907% ao mês
  9. a) i = 1,2% ao mês; b) PV1 = R$ 10.000,00
  10. Valor creditado: R$ 96.400,00. Rentabilidade sem o saldo médio: 1,2448% ao mês; com o saldo médio: 1,5707% ao mês

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