Por que estudar logaritmoMuitos concursos não permitem o uso de calculadora, e é aí que o logaritmo entra: com ele, calculamos montantes e prazos em juros compostos usando só alguns valores que a própria prova fornece. O logaritmo surgiu, sobretudo, como ferramenta para resolver equações exponenciais, e hoje está presente em modelos matemáticos de várias áreas.A grande utilidade dele é transformar potências em multiplicações e multiplicações em somas. Uma equação exponencial, em que a incógnita está no expoente, vira uma equação do primeiro grau, que se resolve com conta de lápis e papel.Definição: sendo a e b números reais positivos, com a diferente de 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual a deve ser elevado para que a potência resultante seja igual a b.\[log_a b = x <=> a^{x} = b\]Ou seja, o logaritmo nada mais é que um expoente. Dizemos que "a" é a base, "b" é o logaritmando e "x" é o logaritmo. Quando a base não aparece escrita, ela é 10 (logaritmo decimal, o mais usado nas provas); ln indica o logaritmo natural, de base e ≈ 2,718.Propriedades do logaritmoI) O logaritmo de 1, em qualquer base, é igual a zero;II) O logaritmo cuja base é igual ao logaritmando é igual a um;III) Numa mesma base, dois logaritmos são iguais se, e somente se, os logaritmandos são iguais;IV) Logaritmo do produto:\[log_c(a · b) = log_c(a) + log_c(b)\]V) Logaritmo do quociente:\[log_c(\frac{a}{b}) = log_c(a) - log_c(b)\]VI) Logaritmo da potência:\[log_c(a^{b}) = b · log_c(a)\]VII) Logaritmo de uma raiz:\[log_c(a^{\frac{1}{b}}) = \frac{log_c(a)}{b}\]Com essas propriedades, poucos valores dados na prova bastam para muitas contas. Por exemplo, com log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, obtemos log 1,08 = log(2² · 3³) - log 100 = 0,60 + 1,44 - 2 = 0,04.Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, quanto vale log 12?Gabarito: 1,08 — 12 = 2² · 3, então log 12 = 2 · log 2 + log 3 = 0,60 + 0,48 = 1,08. A opção 0,78 vem de somar log 2 e log 3 esquecendo que o 2 aparece ao quadrado; 0,144 vem de multiplicar os logaritmos, o que nenhuma propriedade permite.Logaritmo na matemática financeira e em concursosPartimos da fórmula já conhecida dos juros compostos e aplicamos o logaritmo dos dois lados:\[ M_t = C · (1 + i)^{t} \]\[ log(M_t) = log(C · (1 + i)^{t}) \]\[ log(M_t) = log(C) + log((1 + i)^{t}) \]\[ log(M_t) = log(C) + t · log(1 + i) \]A equação, que era exponencial, passa a ser linear em t. Em outras palavras: a cada período que passa, o logaritmo do montante aumenta sempre a mesma quantia, log(1 + i), não importa em que momento estejamos.ExemplosUma importância de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros compostos de 2% ao mês durante 125 meses. Sabendo-se que log(1,02) = 0,008, qual o montante dessa operação?\[ log(M_t) = log(C) + t · log(1 + i) \]\[ log(M_t) = log(10.000) + 125 · log(1 + 0,02) \]\[ log(M_t) = 4 + 125 · 0,008 = 5 \]\[ M_t = 10^{5} = 100.000 \]O montante é R$ 100.000,00 com o dado fornecido. Atenção: 0,008 é uma aproximação grosseira (o valor real de log 1,02 é 0,0086), escolhida para dar uma conta redonda. Com o valor exato, o montante seria cerca de R$ 118.856,00. Na prova, use sempre os valores que o enunciado fornece.Júlio dispõe de uma quantia Q, em reais, e pretende aplicá-la no sistema de juros compostos, à taxa de 2% ao mês. Considerando log 2 = 0,3010 e log 1,02 = 0,0086, quanto tempo será necessário para que essa quantia seja quadruplicada?\[ log(M_t) = log(C) + t · log(1 + i) \]\[ log(4 · Q) = log(Q) + t · log(1 + 0,02) \]\[ log(4 · Q) - log(Q) = t · log(1,02) \]\[ log(\frac{4 · Q}{Q}) = t · log(1,02) \]\[ log(4) = t · log(1,02) \]\[ log(2^{2}) = t · 0,0086 \]\[ 2 · log(2) = t · 0,0086 \]\[ 2 · 0,3010 = t · 0,0086 \]\[ t = \frac{0,6020}{0,0086} = 70 \text{ meses} = \text{5 anos e 10 meses} \]Repare que o valor de Q não importa: ele some na divisão. O prazo para quadruplicar depende só da taxa.Um capital é aplicado a juros compostos de 2% ao mês. Usando log 2 = 0,30 e log 1,02 = 0,0086, em quanto tempo, aproximadamente, ele dobra?Gabarito: 35 meses — dobrar significa M/C = 2, então t = log 2 / log 1,02 = 0,30 / 0,0086 ≈ 34,9, ou seja, cerca de 35 meses. A opção 70 meses é o prazo para quadruplicar (dobrar duas vezes); 50 meses é o que daria em juros simples.Cálculo do prazo em diasQuando a taxa é dada para um período de m dias (por exemplo, 30 dias) e queremos o prazo n em dias, o expoente passa a ser n/m. Vamos descobrir o prazo de uma operação conhecendo apenas a taxa, o montante e o capital:Taxa de juros: 1% a cada 30 dias;Montante: R$ 10.803,46;Capital: R$ 10.000,00.\[ M = C · (1 + i)^{\frac{n}{m}}\]\[ \frac{M}{C} = (1 + i)^{\frac{n}{m}}\]\[ ln(\frac{M}{C}) = \frac{n}{m} · ln(1 + i)\]\[ n = m · \frac{ln(\frac{M}{C})}{ln(1 + i)}\]Substituindo os valores:\[ n = 30 · \frac{ln(\frac{10.803,46}{10.000})}{ln(1 + 0,01)} = 233,0014\]O prazo entre a data do empréstimo e a data do pagamento é, portanto, de 233 dias. A fórmula funciona com logaritmo natural (ln) ou decimal (log), desde que se use o mesmo nos dois lados da fração.Um capital de R$ 10.000,00 aplicado a 1% a cada 30 dias resultou em R$ 10.201,00. Qual foi o prazo da aplicação?Gabarito: 60 dias — M/C = 1,0201 = 1,01², logo n/30 = 2 e n = 60 dias. Nem é preciso calcular logaritmo: basta reconhecer 1,0201 como 1,01 ao quadrado. Os 0,01% a mais que 2% são os juros sobre juros do segundo período, e não um terceiro período.Exercícios1) Um investimento rende juros compostos a uma taxa de 6% ao ano. Depois de quantos anos um valor inicial de R$ 1.000,00 chegará a R$ 10.000,00 com esse investimento? (Use log(1,06) = 0,025.)2) Um investidor comprou por R$ 1.000,00 um lote de ações de uma empresa e o revendeu, após n meses, por R$ 4.000,00. Admitindo-se que a valorização dessas ações tenha sido de 8% ao mês e utilizando as aproximações log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, qual é o valor de n?3) Saulo aplicou R$ 45.000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava R$ 135.000,00 e se valoriza à taxa de 8% ao ano. Nessas condições, quantos anos, a partir da data da aplicação, serão necessários até que Saulo consiga comprar a casa? (Use a aproximação log 3 = 0,48.)4) (PUC-SP) Um capital C, aplicado a juros compostos a uma taxa i por período, produz, ao final de n períodos, o montante M, dado por M = C · (1 + i)^n. Nessas condições, utilizando log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o capital de R$ 2.000,00, aplicado a juros compostos à taxa de 20% a.a., produzirá o montante de R$ 5.000,00 ao final de um período de quanto tempo?5) (CESGRANRIO-2008) Um investimento de R$ 1.000,00 foi feito sob taxa de juros compostos de 3% ao mês. Após um período t, em meses, o montante foi de R$ 1.159,27. Qual o valor de t? (Dados: ln(1.000) = 6,91; ln(1.159,27) = 7,06; ln(1,03) = 0,03.)6) (ESPM) Uma importância de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros compostos de 4% ao mês durante 10 meses. Sabendo-se que log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17, podemos concluir que os juros obtidos nessa aplicação foram de quanto?7) (Pode usar calculadora) Para liquidar um financiamento de R$ 175.000,00 foi pago o valor de R$ 197.338,77. Considerando a taxa de juros de 2% a cada 30 dias, calcule o prazo desse financiamento.8) (Pode usar calculadora) Uma conta é remunerada pelo resultado de uma carteira de ações, cujo histórico de rentabilidade é de 4,20% a cada 30 dias. Em quanto tempo cada R$ 1,00 depositado se transformará em R$ 2,12023?9) (Pode usar calculadora) Calcule em quanto tempo um capital gera 40% de juros se for investido à taxa de 35,02% a cada 365 dias.Gabarito1) 40 anos.2) 15 meses.3) 12 anos.4) 5 anos.5) t = 5 meses.6) R$ 4.800,00.7) 182 dias.8) 548 dias.9) 409 dias.
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