単回帰分析

最小二乗法です。点と直線の縦方向のずれを二乗して合計したものが最小になる直線を選びます。傾きは x と y の共分散を x のばらつきで割ったもので、直線は必ず両者の平均を通ります。

これはどんな点の集まりに対しても答えを一つ返します。便利であり、同時に落とし穴でもあります。そこに直線がふさわしいかどうかに関係なく、返してしまうからです。

y の上下のばらつきのうち、直線が説明する割合です。3 分の 2 なら、直線が変動の 3 分の 2 を説明し、残りは別の何かが説明していることになります。

形が適切かどうかについては何も言いません。左の欄から読み込める 4 つのデータセットはどれも同じ 3 分の 2 になりますが、直線がふさわしいのはそのうち 1 つだけです。

平均もばらつきも相関も直線も同じで、小数第 2 位まで一致するのに、見た目がまったく似ていないからです。1 つはありふれた散らばり、1 つはきれいな曲線、1 つは完全な直線に点が 1 つだけ遠くへ引きはがされたもの、1 つは同じ x が並ぶ列と、傾きを独りで決める孤立した 1 点です。

Francis Anscombe が 1973 年にこれらを作ったのは、要約された数字が一致していてもデータはまったく食い違いうる、と示すためでした。順に読み込んで、表が動かないまま絵だけが変わるのを見てください。

いいえ。点を通る直線は、この標本で二つが一緒に動いたと言っているだけで、一方が他方の原因だという主張よりずっと弱いものです。

第三の何かが両方を動かしているかもしれず、向きが逆かもしれず、点が少なければ偶然かもしれません。このページの計算はそれらを区別できませんし、ほかのどんな計算にもできません。