正規・二項・ポアソン、そして片方を片方で代用する代価

正規分布

決まった回数のうちの成功数

ここでの裾は、一から引くのではなく、相補誤差関数から直接計算しています。四シグマや五シグマが丸めのゼロに潰れないのは、そのためです。

結果

成功数を、厳密と近似で

誰もが習う規則は、平均の成功数が五に達したら正規曲線で代用してよい、というものです。ちょうどその境目、二十回の試行で百分の二十五なら、厳密な答えは 0.091260 で、補正なしの曲線は 0.060668 と言います。安全だと宣言されたその地点で、三分の一ずれているのです。

連続性の補正は仕上げの小技ではなく、精度のほとんどそのものです。曲線を読む前に半単位を足すだけで、同じ数字のまま、追加の情報もなしに、マイナス三十三パーセントの誤差がプラス七・八になります。これを入れずに近似を使う人は、近似そのものの代価より大きく外れることを選んでいるわけです。

近似が正直になる地点

どの行も平均より三つ下という同じ問いを立てているので、試行回数が増えても比較は公平です。誤差はおよそ八パーセントからおよそ〇・五パーセントまで落ちます。これが規則の本当の形です。越える境界線ではなく、下っていく坂なのです。

結果の三行目は、別の弱点を持つ別の近似です。ポアソンが成功数の代わりになるのは、一回あたりの確率が小さいときであって、試行回数が多いときではありません。百分の二十五では三十六パーセントずれ、千回の試行で百分の一なら誤差は〇・三パーセントほどに落ちます。

つまり、単純に優れた近似というものはありません。片方は多くの試行を必要とし、もう片方は小さい確率を必要とします。厳密な答えはそのどちらも必要としません。このページが曲線に手を伸ばさずに厳密に計算しているのは、そのためです。