在第4课中，你已经了解了跷跷板效应：利率上升，价格下跌。你也看到，期限会放大这一效应——在同一轮冲击下，5年期LTN下跌了8.5%，而1年期LTN只下跌了1.8%。于是，一个价值百万美元的问题悬而未决：能不能只用一个数字，预测一只债券会晃动多少？可以。这个数字叫作久期（duration），它可能是全世界固定收益管理者最常用的概念。在本课中，你将学会如何计算久期，如何用它在几秒钟内估算损益，以及如何认识它的“出厂校正”——凸性（convexity）。这是目前为止本课程数学性最强的一课，也最能区分真正操作固定收益的人和只是投资固定收益的人。1. 正确的问题：一只债券真正的期限是多少？先来看一个谜题。两只债券都恰好在3年后到期：债券A是一只LTN：到期时一次性支付R$ 1.000。债券B每年年末支付R$ 100的票息，并在第3年返还R$ 1.100（本金+最后一期票息）。两只债券都“在3年后到期”。但它们对利率的敏感度一样吗？当然不一样！债券B会提前返还部分资金——而提前收回的资金，暴露在利率变化下的时间更短。仅看期限，会产生误导。麦考利久期（duration de Macaulay）修正了这一点：它是各笔现金流按其现值加权后的平均收款期限。它不再问“债券什么时候到期”，而是问“我的资金平均需要多长时间才能回到手中”。一个立刻就能解决一半考试题的结论是：对于零息债券（如LTN），久期等于到期期限]——所有资金在最后一次性收回。对于附息债券，久期总是短于到期期限。一只LTN（零息债券）恰好在4年后到期。它的麦考利久期是……答案：4年，与到期期限相同，因为只有一笔到期现金流——没有中间支付时，加权平均期限就是到期期限本身。这一等式只适用于零息债券。2. 计算麦考利久期我们来计算债券B的久期：每年支付R$ 100的票息，第3年返还R$ 1.100，市场利率为年利率12%。第1步——计算每笔现金流的现值：第1年：100 / 1,12 = R$ 89,29第2年：100 / (1,12)² = R$ 79,72第3年：1.100 / (1,12)³ = R$ 782,96债券价格 = 各现值之和 = R$ 951,96第2步——计算每笔现金流在债券价格中的权重：第1年：89,29 / 951,96 = 9,4%。第2年：79,72 / 951,96 = 8,4%。第3年：782,96 / 951,96 = 82,2%。第3步——按权重计算期限平均值：D = 1 × 0,094 + 2 × 0,084 + 3 × 0,822 = 2,73年解读：尽管债券将在3年后到期，但资金的“重心”位于2,73年处。就利率敏感度而言，这只债券就像一只2,73年期的LTN。3. 修正久期：损伤放大器麦考利久期衡量的是期限。要把它转换为价格敏感度，就要除以总利率，从而得到修正久期（duration modificada）：Dmod = D / (1 + i)在本例中：Dmod = 2,73 / 1,12 = 2,44下面是管理者整天都会使用的公式：价格变动% ≈ − Dmod × 利率变动（以百分点计）来测试一下：如果利率从12%上升到13%（+1个百分点），债券B的价格大约会下跌2,44 × 1 = −2,44%。再用完整计算验证：将三笔现金流按13%重新定价后，价格从R$ 951,96变为R$ 929,17，跌幅为−2,39%。久期估算只差了0,05个百分点。仅靠心算就能得到这样的结果，已经相当不错了——我们马上就会解释这点小差异从何而来。回顾第4课：12%利率下的2年期LTN，其D = 2，Dmod = 2/1,12 = 1,79。在那一课的+2个百分点冲击下，估算跌幅为−3,57%；实际跌幅为−3,48%。计算结果是吻合的。一只债券的麦考利久期为5年，交易利率为年利率10%。如果市场利率上升1个百分点，那么根据修正久期估算的价格跌幅约为……答案：4,55%——Dmod = 5/1,10 = 4,545；变动幅度≈ −4,545 × 1个百分点≈ −4,55%。选择5%是因为忘记除以(1+i)：那是把麦考利久期当成修正久期使用，是最常见的错误。4. 哪些因素会让久期上升或下降三个调节器决定任何一只债券的久期：期限：到期期限越长，久期越大。（主导因素。）票息：票息越大，久期越小——更多资金会提前返还，资金重心也会向前移动。因此，NTN-B Principal（零息）比同期限、带半年付息的NTN-B更敏感。市场利率：利率越高，久期越小——更重的折现会压低远期现金流的现值，将资金重心拉向近端。现在，你已经掌握了解释第5课悖论的全部词汇：NTN-B 2060之所以大幅波动，是因为它同时具备极长的期限和较低的票息（Principal甚至没有票息）——这正是巴西市场最大久期的配方。两只债券拥有相同的发行人、相同的利率，并且都在10年后到期。债券X支付丰厚的半年期票息；债券Y为零息债券。关于它们对利率的敏感度，正确的说法是……答案：Y更敏感，因为它的久期大于X——零息债券的久期=10年；票息丰厚时，资金会提前返还，久期会明显低于10年。到期期限相同并不意味着风险相同：这就是本课的核心信息。5. 凸性：对你有利的曲率估算跌幅−2,44%与实际跌幅−2,39%之间的差异从何而来？久期是在价格×利率的关系上画出一条切线。但真实关系是一条曲线——一条凸曲线，腹部朝下。实际意义非常优雅：当利率变动幅度较大时，久期这条直线会夸大损失并低估收益。利率上升时，实际价格跌幅小于久期的预测；利率下降时，实际价格涨幅大于久期的预测。换句话说：凸性是投资者的朋友。两只债券久期相同的情况下，凸性更高的债券在两种情形下表现都更好——因此，市场愿意为它支付稍高的价格。对于较小的冲击（最高约1个百分点），单靠久期就够用了；对于较大的冲击，管理者会在估算中加入凸性调整。某位管理者根据修正久期估算，一只债券在利率大幅上升时将下跌8%。考虑凸性效应后，实际跌幅往往会……答案：小于8%，因为价格曲线是凸的——久期这条直线会高估跌幅、低估涨幅。在大幅冲击下，凸性总会“返还”一部分估算出的损失。6. 实际用途：免疫与管理久期不只是温度计，也是方向盘。市场上有两种主要用途：免疫：如果投资者有一项确定日期的资金义务（例如5年后支付R$ 10 million），就会构建一套久期等于负债期限的投资组合。这样，两个方向相反的风险就会相互抵消：利率上升时，投资组合价格下跌，但现金流再投资将获得更高收益；利率下降时，价格上涨，抵消再投资收益变差的影响。最理想的情况是期限匹配的零息债券：用一只5年期LTN匹配一项5年期负债，从结构上消除问题。这就是养老基金以及第5课中Beatriz所采用的逻辑。主动管理：预计利率下降的人会延长投资组合久期（增加长期NTN-B和长期固定利率债券），以捕捉价格上涨；预计利率上升的人则会缩短久期（增加LFT和短期债券）。投资组合久期其实就是各只债券久期按其持仓价值加权后的平均值——用一个数字概括数百万资金分散在不同债券中的风险。“久期是固定收益投资的方向盘：它无法改变利率这条道路，却决定每个弯道会把乘客摇晃到什么程度。”- 管理台总结7. 总结全部内容本课的核心内容：麦考利久期是按现值加权后的现金流平均期限——也就是资金的“重心”。对于零息债券，久期=期限；对于附息债券，久期总是更短。修正久期（D/(1+i)）将期限转换为敏感度：ΔP% ≈ −Dmod × Δ利率。久期随期限增长，并随票息增加和利率上升而下降。凸性修正了久期这条直线：实际损失小于线性估算，实际收益大于线性估算——因此凸性是受欢迎的特征。免疫让投资组合久期与负债期限匹配；主动管理则在预期利率下降时延长久期，在预期利率上升时缩短久期。下一课，我们将把固定收益部分的所有内容串联起来——市场定价、久期和收益率曲线——进入策略与风险管理：专业人士如何构建、保护并压力测试一套真正的固定收益投资组合。课堂讨论练习有明确日期的保险箱。让我们一起来思考。一家公司的财务部门必须在恰好5年后支付R$ 10 million（一笔自有债券到期）。这笔资金已经存在，并且正在进行投资。三位董事分别主张三种策略：董事A：“LFT。没有惊吓，跟随Selic利率，安心睡觉。”董事B：“到期日为5年的LTN，与付款期限匹配。今天锁定利率，然后不再操心。”董事C：“NTN-B 2045，久期约为12年。未来几年利率将大幅下降；我们要乘上价格上涨的东风，赚出足够的钱来偿还债务。”与小组讨论：(a) 每种策略的久期分别是多少（近似值）？哪一种策略对5年期负债实现了免疫？(b) 董事A的策略看起来最安全。假设Copom将Selic利率削减一半，考虑5年后资金的累计价值，这一策略暗中承担着什么风险？(c) 如果董事C的判断正确，利率下降2个百分点，估算（通过久期）他的头寸将获得多少收益。如果他判断错误，利率上升2个百分点，偿还债务的能力会发生什么变化？(d) 为什么策略B被称为“通过构建实现”的免疫？是什么让它既能抵御利率上升，也能抵御利率下降？(e) 是否存在某种情形，使得财务部门选择C具有合理性？风险管理与下注之间的区别是什么？给教师的指导：（a）A：久期 ≈ 0（每日后定、价格几乎不敏感）；B：久期 = 5（零息债券）= 期限 → 已实现免疫；C：久期 ≈ 12，与负债错配 +7 年。（b）再投资风险：LFT并不能锁定任何利率——如果Selic减半，5年后累积的金额可能低于预期；价格安全不等于目标安全。（c）收益 ≈ +2 × 12 = +24%（经过微调后会略低一些，但凸性有利会带来额外收益）；反向情景下约为 −24%：公司可能在第5年到来时仍凑不齐R$ 10 milhões——这是偿付能力风险，而非波动风险。（d）5年期零息债券会在负债到期的确切日期交付恰好R$ X：既不需要再投资，也不需要提前出售——两条风险渠道会同时消失。（e）只有当公司有意识地划出一笔风险资本用于押注，并设定限额和止损时才可以这样做——而那已经不是用于偿付负债的资金了。结论：资金管理部门应使久期与负债相匹配（对冲）；用别人的钱进行久期错配，就是在做主动管理——区分两者的道德与技术边界，在于授权范围的大小。练习1)（原创题——CESGRANRIO风格）一只3年期到期的LTN（零息债券），其麦考利久期为：A) 3年。B) 少于3年，因为现金流经过折现。C) 多于3年，因为采用复利计算。D) 1.5年，为期限的一半。E) 如果不知道市场利率，就无法确定。2)（原创题——CESGRANRIO风格）一只债券的麦考利久期为5年，按年利率10%交易。其修正久期约为：A) 4.55。B) 5.00。C) 5.50。D) 4.00。E) 0.50。3)（原创题——CESGRANRIO风格）一只修正久期为6的债券，市场利率上升0.5个百分点。根据久期估算，其价格约变动：A) −3.0%。B) −6.0%。C) +3.0%。D) −0.5%。E) −12.0%。4)（原创题——FGV风格）一只债券每年支付R$ 100,00的票息，并在2年后返还R$ 1.100,00（本金加最后一期票息）。按年市场利率10%计算，其价格为R$ 1.000,00，各期现金流的现值分别为R$ 90,91（第1年）和R$ 909,09（第2年）。该债券的麦考利久期约为：A) 1,91年。B) 2,00年。C) 1,50年。D) 1,10年。E) 2,10年。5)（原创题——FGV风格）在其他因素保持不变的情况下，一只固定收益债券的麦考利久期：A) 票息率上升时缩短。B) 票息率上升时延长。C) 与票息率无关。D) 到期日延后时缩短。E) 始终等于到期期限。6)（原创题——CESGRANRIO风格）一只养老金基金需要在8年后支付一笔集中到期的福利，并希望使其固定收益投资组合免受利率波动影响。为此，应将投资组合构建为：A) 久期约为8年，与负债期限相同。B) 久期尽可能短，集中投资于LFT。C) 久期尽可能长，以最大化凸性。D) 所有债券最迟在1年内到期，并不断滚动持仓。E) 投资组合中只包含到期日在20年以上的固定利率债券。7)（原创题——CEBRASPE风格，判断题）判断下述说法：“由于价格与利率之间存在凸性关系，面对利率大幅上升时，一只固定利率债券的实际损失往往会大于修正久期所估算的损失。”（ ）正确 （ ）错误8)（原创题——CEBRASPE风格，判断题）判断下述说法：“固定收益投资组合的久期，可以按各债券在投资组合价值中的占比，对构成投资组合的各债券久期进行加权平均后得到。”（ ）正确 （ ）错误答案1) A——零息债券只有一笔在到期日支付的现金流，因此加权平均期限就是债券本身的期限。久期 = 3年，与利率无关。2) A——Dmod = D/(1+i) = 5/1,10 = 4,545。忘记除以(1+i)就会选B——这是最典型的错误。3) A——ΔP% ≈ −Dmod × Δi = −6 × 0,5 = −3,0%。负号表示：利率上升，价格下跌（第4课讲的跷跷板关系，现在用数字表示出来了）。4) A——权重为：第1年的90,91/1.000 = 9,09%，第2年的909,09/1.000 = 90,91%。D = 1 × 0,0909 + 2 × 0,9091 = 1,909年。由于存在票息，久期低于2年的到期期限。5) A——更高的票息意味着更早收到更多资金，会把现金流的重心拉近，因此久期缩短。期限越长，久期越长（D项说反了）；而“久期 = 期限”只适用于零息债券（E项）。6) A——免疫就是使投资组合久期与负债期限（8年）相匹配：价格风险与再投资风险将相互抵消。缩短久期（B项）虽然能保护价格，却会将再投资风险暴露无遗。7) 错误——恰恰相反：在利率上升时，凸性会使实际价格跌幅小于久期直线所预测的跌幅（而在利率下降时，涨幅会更大）。曲线弯曲的特性有利于投资者。8) 正确——投资组合久期是各项资产久期按其市场价值加权后的平均值——投资组合管理部门正是通过这种方式，用一个数字概括整个投资组合的利率风险。
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