Нормальное, биномиальное и Пуассона — и цена подмены одного другим

Нормальное распределение

Счёт из фиксированного числа попыток

Хвосты здесь считаются прямо через дополнительную функцию ошибок, а не как единица минус другое; именно это не даёт четырём или пяти отклонениям схлопнуться в округлённый ноль.

Результаты

Счёт, точно и приближённо

Правило, которому всех учат: нормальная кривая заменяет счёт, как только средний счёт достигает пяти. Ровно на этой границе, при двадцати попытках по двадцать пять из ста, точный ответ равен 0,091260, а кривая без поправки говорит 0,060668. Она ошибается на треть именно там, где её объявили безопасной.

Поправка на непрерывность — не уточнение, а большая часть точности. Прибавить полединицы перед чтением кривой превращает ошибку в минус тридцать три процента в плюс семь и восемь десятых, на тех же числах и без дополнительной информации. Пользоваться приближением без неё — значит выбирать ошибаться сильнее, чем стоит само приближение.

Где приближение становится честным

Каждая строка задаёт один и тот же вопрос на три счёта ниже среднего, поэтому сравнение остаётся честным по мере роста числа попыток. Ошибка падает примерно с восьми процентов до примерно половины одного — вот настоящая форма правила: не порог, который переступают, а склон, по которому спускаются.

Третья строка результатов — другое приближение с другой слабостью. Пуассон заменяет счёт, когда мал шанс каждой попытки, а не когда велико число попыток: при двадцати пяти из ста он ошибается на тридцать шесть процентов, а при одном из ста на тысяче попыток — на треть одного.

Значит, нет приближения, которое просто лучше. Одному нужно много попыток, другому — малый шанс, а точному ответу не нужно ни того, ни другого; поэтому страница его и вычисляет, а не хватается за кривую.