Внутренняя норма доходности (IRR, ВНД) — это ставка дисконтирования, при которой чистая приведённая стоимость (NPV, ЧДД) проекта равна нулю. Если IRR выше минимально приемлемой нормы доходности (MARR; в Бразилии её называют TMA, Taxa Mínima de Atratividade), проект, как правило, считается целесообразным.IRR — один из самых распространённых показателей в анализе инвестиций, но в нём скрыто допущение о том, что происходит с деньгами, которые проект возвращает до своего завершения. Модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR) нужна для того, чтобы сделать это допущение явным и более реалистичным. Чтобы её понять, нужно одно понятие: ставка реинвестирования — процентная ставка, которую, как предполагается, компания может получить, повторно вкладывая положительные денежные потоки проекта до конца срока его жизни.В чём проблема IRR?IRR содержит неявное допущение: все деньги, полученные в ходе проекта, можно реинвестировать по ставке, равной самой IRR.Например, пусть IRR проекта составляет 28% годовых. Тогда предполагается, что любой поток, полученный до окончания проекта, тоже будет приносить 28% годовых до его завершения, а на практике это удаётся редко. Чем выше IRR, тем менее реалистично это допущение.В действительности компания обычно реинвестирует эти деньги по ставке, близкой к:своей средневзвешенной стоимости капитала (WACC);своей минимально приемлемой норме доходности (MARR);доходности других доступных инвестиционных возможностей или финансовых вложений.Есть и вторая проблема: если знак денежных потоков меняется больше одного раза (например, инвестиция, затем поступления, затем новый крупный платёж), уравнение IRR может иметь несколько решений или не иметь ни одного. Тогда непонятно, какую IRR использовать.IRR проекта равна 35% годовых, а компания может размещать свободные деньги под 10% годовых. Что IRR предполагает о промежуточных поступлениях проекта?Ответ: Что они реинвестируются под 35% годовых, по самой IRR — это неявное допущение расчёта IRR. Поскольку компания получает лишь 10% годовых, IRR склонна завышать реальную доходность; MIRR исправляет это, используя 10% как ставку реинвестирования.Что такое модифицированная внутренняя норма доходности?Модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR; в русской литературе также МВНД) устраняет эти ограничения. В ней используются две разные ставки:Ставка финансирования: по ней платежи (отрицательные потоки) приводятся к текущей стоимости, на момент 0.Ставка реинвестирования: по ней поступления (положительные потоки) наращиваются до конца проекта, на момент n.После этого проект сводится к двум величинам: суммарному платежу в момент 0 и суммарному поступлению в момент n. MIRR — это ставка, которая переводит одно в другое, то есть уравнивает приведённую стоимость инвестиций с будущей стоимостью реинвестированных поступлений. Поскольку есть только один отток и один приток, ответ всегда единственный.Формула:\[ \text{MIRR} = \left( \frac{FV_{\text{поступлений}}}{-PV_{\text{платежей}}}\right)^{1/n}-1 \]где \(FV_{\text{поступлений}}\) — будущая стоимость поступлений на момент n (по ставке реинвестирования), \(PV_{\text{платежей}}\) — приведённая стоимость платежей на момент 0 (по ставке финансирования; она отрицательна, отсюда знак минус), а \(n\) — число периодов проекта.Пример 1: реинвестирование под 10% годовыхРассмотрим следующий проект:ГодДенежный поток (R$)0-100 000130 000240 000350 000Пусть ставка реинвестирования равна 10% годовых. Единственный платёж приходится на момент 0, поэтому он уже выражен в текущей стоимости: 100 000 R$.Поступление 30 000 R$ в 1-м году можно реинвестировать ещё на два года:\[ 30\,000 \times (1{,}10)^2 = 36\,300 \]Поступление 40 000 R$ во 2-м году можно реинвестировать на один год:\[40\,000 \times 1{,}10 = 44\,000 \]А 50 000 R$, полученные в 3-м году, не успевают ничего принести:\[50\,000\]Таким образом, к концу проекта накопленная стоимость поступлений составит:\[36\,300+44\,000+50\,000=130\,300\]Применяем формулу:\[ \text{MIRR} = \left(\frac{130\,300}{100\,000}\right)^{1/3}-1 \approx 9{,}2\% \text{ годовых} \]Для сравнения, IRR этого проекта — около 8,9% годовых. Здесь MIRR оказалась выше IRR, потому что ставка реинвестирования (10%) больше самой IRR: в обычных проектах, где вся инвестиция сделана в момент 0, MIRR всегда лежит между IRR и ставкой реинвестирования.Пример 2: разные ставки финансирования и реинвестированияРассмотрим инвестицию 100 000 R$, которая приносит:ГодПоток (R$)0-100 000140 000250 000360 000Пусть ставка финансирования = 8% годовых, а ставка реинвестирования = 10% годовых.Единственный платёж приходится на момент 0, поэтому ставка финансирования здесь ничего не меняет: приведённая стоимость платежей равна 100 000 R$. (Она важна только тогда, когда платежи есть и в более поздние моменты, как в упражнении 4.)Положительные потоки наращиваются до 3-го года:Год 1: \(40\,000 \times (1{,}10)^2 = 48\,400\)Год 2: \(50\,000 \times 1{,}10 = 55\,000\)Год 3: \(60\,000\)Суммарная будущая стоимость:\[ 48\,400+55\,000+60\,000=163\,400 \]Следовательно, MIRR равна:\[ \text{MIRR} = \left(\frac{163\,400}{100\,000}\right)^{1/3}-1 \approx 17{,}8\% \text{ годовых} \]IRR того же проекта — около 21,6% годовых. Разница почти в 4 процентных пункта объясняется именно допущением о реинвестировании: IRR предполагает, что 40 000 R$ и 50 000 R$ приносят 21,6% годовых, а MIRR — лишь те 10%, которые компания реально может получить.Проект требует 200 000 R$ сегодня, а после наращения всех поступлений по ставке реинвестирования к концу 4-го года накапливается 320 000 R$. Чему примерно равна MIRR?Ответ: 12,5% годовых — MIRR = (320 000 / 200 000)^(1/4) − 1 = 1,6^(0,25) − 1 ≈ 12,5%. Вариант 15% получается делением 60% прироста на 4 года, что не учитывает сложные проценты.Почему MIRR реалистичнее?MIRR заменяет допущение о реинвестировании по самой IRR более правдоподобной ставкой, например:средневзвешенной стоимостью капитала (WACC) компании;доходностью доступных финансовых вложений;минимально приемлемой нормой доходности (MARR), принятой в компании.Интуитивный примерПредставьте, что вы вкладываете 1 млн R$ в фабрику.В первый год она приносит 300 тыс. R$ денежного потока.Вы не оставляете эти деньги лежать на расчётном счёте: вкладываете их в другую инвестицию или используете в другом проекте компании.Вопрос: под какую ставку эти деньги будут работать до конца проекта?Это и есть ставка реинвестирования. Она отражает лучшую оценку доходности, которую компания может получить, повторно вкладывая средства, созданные проектом. Поэтому MIRR обычно даёт более реалистичную оценку доходности, чем традиционная IRR, особенно когда IRR очень высока.IRR проекта равна 18% годовых, а ставка реинвестирования компании — 9% годовых. Чего ожидать от MIRR?Ответ: Она окажется между 9% и 18% годовых — MIRR всегда лежит между IRR и ставкой реинвестирования: промежуточные поступления теперь приносят 9%, а не 18%, но у проекта остаётся собственная доходность. Ровно 9% она была бы только у проекта, который не даёт никакой доходности сверх этого.Когда использовать каждый показатель?IRR: подходит для вводного анализа, когда денежные потоки стандартные (первоначальная инвестиция, за которой следуют только поступления), а IRR не слишком далека от ставок, доступных компании.MIRR: предпочтительнее в профессиональном анализе, так как опирается на более реалистичные допущения о реинвестировании и устраняет проблему множественных IRR.В целом MIRR считается более надёжным показателем доходности проекта, особенно когда компания знает свои ставки финансирования и реинвестирования. Тем не менее, будучи ставкой, она не показывает размер выигрыша: при выборе между проектами разного масштаба решающим критерием остаётся NPV. В русской версии Excel эта функция называется МВСД(значения; ставка_финанс; ставка_реинвест), в английской — MIRR.В какой из этих ситуаций MIRR особенно предпочтительнее IRR?Ответ: Когда знак потоков меняется больше одного раза и у IRR два решения — MIRR сводит проект к одному оттоку в момент 0 и одному притоку в момент n, поэтому ответ всегда единственный. Чтобы узнать, за сколько лет окупится инвестиция, нужен срок окупаемости (payback).Упражнения1) Пекарня собирается купить новую промышленную печь за 180 000 R$. Ожидается, что оборудование принесёт следующие чистые денежные потоки:ГодДенежный поток (R$)0-180 000155 000265 000370 000480 000Компания использует:ставку финансирования 9% годовых;ставку реинвестирования 11% годовых.Требуется:a) Рассчитать MIRR проекта.b) Следует ли принять инвестицию, если MARR составляет 10% годовых?2) Стартап вложит 500 000 R$ в разработку программного обеспечения.Ожидаемые потоки:ГодПоток (R$)0-500 0001100 0002180 0003250 0004300 000Условия:ставка финансирования = 12% годовых;ставка реинвестирования = 8% годовых.Требуется:a) Рассчитать MIRR.b) Объяснить, почему ставка реинвестирования отличается от ставки финансирования.3) У компании есть средства для вложения только в один из двух проектов.Проект AГодПоток (R$)0-250 000190 0002110 0003120 000Проект BГодПоток (R$)0-250 000140 000290 0003220 000Данные:ставка финансирования = 10% годовых;ставка реинвестирования = 9% годовых.Требуется:a) Рассчитать MIRR каждого проекта.b) Определить, у какого проекта выше модифицированная доходность.c) Объяснить с экономической точки зрения, почему результаты различаются.4) Компания проведёт расширение в два этапа.ГодПоток (R$)0-300 0001-80 0002180 0003210 0004240 000Условия:ставка финансирования = 10% годовых;ставка реинвестирования = 12% годовых.Требуется:a) Привести все платежи к текущей стоимости.b) Нарастить все поступления до будущей стоимости.c) Рассчитать MIRR.5) Какое допущение реалистичнее?Два аналитика оценивают один и тот же проект. Аналитик A использует IRR, аналитик B — MIRR. Известно:IRR = 24% годовых;ставка реинвестирования компании = 9% годовых;стоимость капитала = 11% годовых.Ответьте:a) Какой показатель лучше отражает реальность компании?b) Почему IRR может завышать доходность?c) В каких ситуациях MIRR предпочтительнее?6) Завершите расчёт.Выполнив промежуточные расчёты, аналитик получил:приведённая стоимость платежей = 420 000 R$;будущая стоимость поступлений = 730 000 R$;срок жизни проекта = 5 лет.Требуется:a) Рассчитать MIRR.b) Дать экономическую интерпретацию полученного результата.7) Отметьте утверждения буквой В (верно) или Н (неверно) и обоснуйте неверные.I. ( ) MIRR учитывает ставку реинвестирования, заданную аналитиком.II. ( ) IRR всегда даёт только одно решение.III. ( ) MIRR устраняет проблему множественных IRR.IV. ( ) IRR предполагает, что все положительные потоки реинвестируются по самой IRR.V. ( ) Ставкой реинвестирования обычно служит стоимость капитала или MARR компании.8) Фабрика электровелосипедов. Промышленное предприятие рассматривает инвестиции в производство электровелосипедов.Первоначальные инвестиции составят 900 000 R$, прогноз чистых потоков:ГодПоток (R$)0-900 0001180 0002220 0003260 0004310 0005350 000Условия:ставка финансирования = 11% годовых;ставка реинвестирования = 9% годовых;MARR = 10% годовых.Требуется:a) Рассчитать будущую стоимость поступлений.b) Определить приведённую стоимость инвестиций.c) Рассчитать MIRR.d) Следует ли принять проект? Обоснуйте, сравнив MIRR с MARR.e) Объяснить, почему решение на основе MIRR может отличаться от решения на основе IRR.Ответы1) FV поступлений ≈ 313 006 R$; MIRR ≈ 14,8% годовых. Поскольку 14,8% > 10%, проект следует принять.2) a) FV поступлений ≈ 905 923 R$; MIRR ≈ 16,0% годовых. b) Ставка финансирования — это цена привлечения денег, а ставка реинвестирования — то, сколько компания может заработать, размещая деньги, которые возвращает проект. Это разные рынки, и обычно занимать дороже, чем размещать.3) a) MIRR проекта A ≈ 11,5% годовых (FV ≈ 346 829 R$); MIRR проекта B ≈ 13,5% годовых (FV ≈ 365 624 R$). b) Проект B. c) У B больше сумма поступлений (350 000 R$ против 320 000 R$), но они приходят позже; A получает деньги раньше. Поскольку ранние поступления до конца проекта приносят лишь 9% годовых, раннее получение у A не компенсирует лишних 30 000 R$ у B. При гораздо более высокой ставке реинвестирования преимущество ранних денег весило бы больше.4) a) PV платежей = 300 000 + 80 000/1,10 ≈ 372 727 R$. b) FV поступлений = 180 000 × 1,12² + 210 000 × 1,12 + 240 000 ≈ 700 992 R$. c) MIRR ≈ 17,1% годовых.5) a) MIRR, потому что она использует ставку, под которую компания реально может реинвестировать (9%). b) Потому что IRR предполагает, что промежуточные поступления приносят те же 24% годовых, чего компания добиться не может. c) Когда IRR сильно отличается от ставок, доступных компании; когда знак потоков меняется больше одного раза (множественные IRR); и когда компания знает свои ставки финансирования и реинвестирования.6) a) MIRR = (730 000 / 420 000)^(1/5) − 1 ≈ 11,7% годовых. b) Вложить 420 000 R$ сегодня — то же самое, что получить 730 000 R$ через 5 лет, то есть доходность около 11,7% годовых с учётом реинвестирования поступлений по ставке компании; проект привлекателен, если эта ставка выше MARR.7) I. В. II. Н: если знак потоков меняется больше одного раза, у IRR может быть несколько решений (или ни одного). III. В. IV. В. V. В.8) a) FV поступлений ≈ 1 535 797 R$. b) 900 000 R$ (инвестиция уже приходится на момент 0). c) MIRR ≈ 11,3% годовых. d) Да: 11,3% > 10% (NPV при 10% тоже положительна, ≈ 69 853 R$). e) IRR (≈ 12,7% годовых) предполагает реинвестирование под 12,7%, а MIRR — под 9%, доступные компании. В проекте, где IRR едва превышает MARR, MIRR может оказаться ниже MARR и изменить решение.
Реакции
0
0 Комментарии
Прокомментируйте первым
Здесь пока ничего.