IntroduçãoNos juros simples, o juro de cada período é sempre calculado sobre o capital inicial. No regime de capitalização composta é diferente: os juros de cada período são somados ao montante do período anterior, e esse novo montante passa a render juros no período seguinte. É o famoso juro sobre juro.Fórmula do montante em juros compostosConsidere um capital C aplicado a uma taxa de juros i por período. Vamos calcular o montante obtido a juros compostos após t períodos.Montante no período zero:\[ M_0 = C \]Montante após 1 período:\[ M_1 = C + C \cdot i = C \cdot (1 + i) \]Montante após 2 períodos (o juro agora incide sobre M1):\[ M_2 = C \cdot (1 + i) + i \cdot C \cdot (1 + i) = C \cdot (1 + i) \cdot (1 + i) = C \cdot (1 + i)^{2} \]Montante após 3 períodos:\[ M_3 = C \cdot (1 + i)^{2} + i \cdot C \cdot (1 + i)^{2} = C \cdot (1 + i)^{3} \]Seguindo o padrão, o montante após t períodos é dado por:\[ M_t = C \cdot (1 + i)^{t} \]Assim como nos juros simples, a taxa i e o prazo t têm de estar na mesma unidade de tempo.ExemplosUm capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante três meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e o total de juros auferidos?\[ C = 6.000;\ i = 2\% \text{ a.m.};\ t = 3 \]\[ M_t = C \cdot (1 + i)^{t} = 6.000 \cdot (1 + 0{,}02)^{3} = 6.367{,}25 \]\[ J = 6.367{,}25 - 6.000 = 367{,}25 \]A juros simples, o juro seria 6.000 · 0,02 · 3 = 360,00. A diferença de R$ 7,25 é o juro sobre juro.Que capital, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% a.m., produz um montante de R$ 3.500,00 após um ano?\[ M = 3.500;\ i = 2{,}5\% \text{ a.m.};\ t = 12 \]\[ 3.500 = C \cdot (1 + 0{,}025)^{12} \]\[ 3.500 = C \cdot 1{,}3449 \]\[ C = \frac{3.500}{1{,}3449} = 2.602{,}42 \]Quanto rende de juros um capital de R$ 10.000 aplicado por 2 anos a juros compostos de 10% a.a.?Gabarito: R$ 2.100 — M = 10.000 · 1,10² = 12.100, e o juro é 12.100 - 10.000 = 2.100. R$ 2.000 seria o juro simples; os R$ 100 a mais são o juro do segundo ano sobre os R$ 1.000 de juro do primeiro. R$ 12.100 é o montante, não o juro.Calculadoras financeirasPara cálculos rápidos e precisos, podem-se usar calculadoras financeiras (como a HP 12C) ou as funções financeiras das planilhas, feitas para esse tipo de problema. Nelas:PV (present value, valor presente) é o capital;FV (future value, valor futuro) é o montante;i é a taxa de juros por período;n é o número de períodos, o nosso t.Na maioria das calculadoras, PV e FV aparecem com sinais trocados, porque elas seguem a convenção do fluxo de caixa: a saída de dinheiro é representada por um número negativo, e a entrada, por um número positivo. Quem aplica R$ 1.000 digita PV = -1.000 e recebe um FV positivo.A calculadora é uma grande aliada não só por facilitar as contas, mas também por guardar os números com todas as casas decimais. No exemplo anterior, o fator (1,025)12 = 1,344889 foi arredondado para 4 casas (1,3449), o que levou ao resultado de R$ 2.602,42. Sem arredondar o fator, o resultado correto é R$ 2.602,45.Taxas equivalentesComo nos juros simples, taxas equivalentes são as que geram o mesmo montante quando aplicadas ao mesmo capital pelo mesmo prazo. Se t1 e t2 são os números de períodos de cada taxa contidos nesse prazo:\[ C \cdot (1 + i_1)^{t_1} = C \cdot (1 + i_2)^{t_2} \]\[ (1 + i_1)^{t_1} = (1 + i_2)^{t_2} \]Ou:\[ 1 + i_1 = (1 + i_2)^{\frac{t_2}{t_1}} \]\[ i_1 = (1 + i_2)^{\frac{t_2}{t_1}} - 1 \]Ao contrário dos juros simples, aqui não basta dividir ou multiplicar a taxa: 1% a.m. a juros compostos não equivale a 12% a.a., e sim a (1,01)12 - 1 = 12,68% a.a.ExemplosEm juros compostos, qual a taxa trimestral equivalente a 15% a.a.?Um ano tem 4 trimestres:\[ t_1 = 4;\ i_1 = ? \]\[ t_2 = 1;\ i_2 = 15\% \]\[ (1 + i_1)^{4} = (1 + 0{,}15)^{1} \]\[ 1 + i_1 = (1 + 0{,}15)^{\frac{1}{4}} = 1{,}0356 \]\[ i_1 = 1{,}0356 - 1 = 0{,}0356 = 3{,}56\% \text{ a.t.} \]Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 8% a.t.?Um trimestre tem 3 meses:\[ t_1 = 3;\ i_1 = ? \]\[ t_2 = 1;\ i_2 = 8\% \]\[ i_1 = (1 + 0{,}08)^{\frac{1}{3}} - 1 = 0{,}0260 = 2{,}60\% \text{ a.m.} \]A juros compostos, qual taxa anual equivale a 2% a.m.?Gabarito: 26,82% a.a. — (1,02)¹² - 1 = 1,2682 - 1 = 0,2682. Os 24% vêm de multiplicar 2% por 12, que só vale nos juros simples; nos compostos, os juros de cada mês também rendem nos meses seguintes.Certificado de depósito bancário e recibo de depósito bancárioOs certificados de depósito bancário (CDBs) são títulos emitidos pelos bancos para captar recursos que eles usam nos seus financiamentos. São títulos nominativos e podem ser transferidos a outro investidor.Os recibos de depósito bancário (RDBs) são semelhantes aos CDBs, mas são intransferíveis.Esses títulos podem ter remuneração prefixada (a taxa é conhecida no dia da aplicação) ou pós-fixada (atrelada a um indicador, como o CDI). Nas duas formas, o rendimento paga imposto de renda, retido pelo banco no resgate ou no vencimento. A alíquota segue a tabela regressiva da Lei 11.033/2004, válida desde janeiro de 2005 e ainda em vigor em 2026: quanto mais tempo o dinheiro fica aplicado, menor a alíquota.Tempo de permanênciaAlíquota do IR sobre o rendimentoAté 180 dias22,5%De 181 a 360 dias20,0%De 361 a 720 dias17,5%Acima de 720 dias15,0%Resgates feitos antes de 30 dias pagam ainda o IOF, que incide sobre o rendimento e diminui dia a dia até zerar no 30º dia. Nos exemplos abaixo, os prazos são de 30 dias ou mais, e por isso o IOF não entra na conta.Para medir o ganho efetivo do investidor, calcula-se a taxa de juros da operação descontando o imposto de renda pago. Essa é a taxa líquida; a taxa anunciada pelas instituições financeiras, que não considera o imposto, é a taxa bruta.ExemplosUm investidor aplicou R$ 20.000,00 em um CDB prefixado de 90 dias, à taxa de 10% a.a. Qual o montante, o imposto de renda (22,5%), o montante líquido e a taxa líquida no período?Usando o ano comercial de 360 dias, 90 dias correspondem a 90/360 do ano (na prática, os bancos costumam contar dias úteis, na base de 252 por ano, mas o raciocínio é o mesmo):\[ M_{90} = 20.000 \cdot (1 + 0{,}10)^{\frac{90}{360}} = 20.482{,}27 \]\[ IR = 0{,}225 \cdot (20.482{,}27 - 20.000) = 108{,}51 \]\[ M_{líquido} = 20.482{,}27 - 108{,}51 = 20.373{,}76 \]\[ i_{líquida} = \frac{20.373{,}76}{20.000} - 1 = 0{,}0187 = 1{,}87\% \text{ no período (90 dias)} \]Um CDB de 2 anos e 1 mês rendeu R$ 4.000 de juros brutos. Quanto o investidor recebe de rendimento líquido, pela tabela regressiva do IR?Gabarito: R$ 3.400 — o prazo passa de 720 dias, então a alíquota é de 15%: IR = 0,15 · 4.000 = 600 e o líquido é 4.000 - 600 = 3.400. R$ 3.300 usaria a alíquota de 17,5%, que vale só até 720 dias.Exercícios1) Se hoje depositar $ 25.000 numa conta remunerada com taxa de juro de 0,98% ao mês, pelo prazo de 12 meses e com capitalização mensal dos juros, calcule quanto será resgatado no final de um ano.2) Com a taxa de juro de 1,05% aos trinta dias, foi aplicado o valor de $ 20.000 durante duzentos e setenta dias. Calcule o valor resgatado.3) O banco financiou $ 20.000 pelo prazo de 12 meses à taxa de juro de 3,5% ao mês. Calcule o juro e o valor do pagamento final considerando juro composto.4) Para sua próxima viagem, daqui a 7 meses, será necessário dispor de $ 5.000. Calcule quanto deveria aplicar hoje, considerando a taxa de juro de 1,25% ao mês no regime de juro composto.5) Recebendo a taxa de juro de 0,96% ao mês, foi resgatado o valor de $ 49.040,69, aplicado durante nove meses. Calcule o valor aplicado.6) Calcule a taxa de juro mensal que permite triplicar um capital em três anos.7) A relação entre o valor futuro e o valor presente de uma operação financeira é 1,16578. Se o prazo dessa operação foi de 12 meses, calcule a taxa de juro mensal no regime de juro composto.8) Uma aplicação por 61 dias foi realizada com taxa de juro de 32,8% aos 365 dias. Calcule a taxa equivalente de juro com período de 30 dias.9) Numa operação foram investidos $ 8.000 e, depois de 60 dias, foi resgatado o valor de $ 8.240. Calcule a taxa diária de juro da operação.10) Ao aplicar um certo capital em um CDB prefixado de 30 dias, um investidor pretende ganhar uma taxa líquida de 1% no período. Sabendo que o imposto de renda é de 22,5% do juro, qual taxa bruta deverá aceitar?Gabarito1) $ 28.103,762) $ 21.971,363) J = $ 10.221,37; M = $ 30.221,374) $ 4.583,585) $ 45.0006) 3,10% ao mês7) 1,29% ao mês8) 2,36% aos 30 dias9) 0,04927681% ao dia10) 1,29% no período (30 dias)Referências[1] http://www.bb.com.br/pbb/pagina-inicial/voce/produtos-e-servicos/investimentos/investimentos-de-baixo-risco-a-longo-prazo/cdb-di#/[2] BRASIL. Lei nº 11.033, de 21 de dezembro de 2004, art. 1º (alíquotas do imposto de renda sobre aplicações de renda fixa).
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